Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

DNG 1: Quan sát biu thc di du tích phân nhm tính xem đt mt b phn nào đó bng t đ sau khi
ly vi phân 2 v ta chuyn đc tích phân cn tính v tích phân c bn hoc đn gin hn.
Bài 1: Tính tích phân
1) HKB 2005 I=
2
22
00
sin2 .cos 2 os .sin
1 cos 1 cos
x x c x x
dx dx
xx





t: 1 + cosx = t , - sinxdx = dt.
x
0
2

2) I =
4 4 4
2
0 0 0
sin 4 2.sin 2 . os2 4.sin 2 . os2
1 os2
2 sin 3 os2
2
2
x xc x xc x
dx dx dx
cx
x c x
  




  
. t 3+ cos2x = t; -2 sin2x dx = dt
x
0
4


t
4
3
I = - 2
34


t
0
1
I =
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1 1
()
7 10 ( 5)( 2) 3 ( 5) ( 2)
dt
dt dt
t t t t t t
  
     
  
=
11
1
ln 5 ln 2
00
3
tt

  



4) I =

t
1 1 2xt  
, x =
2
2
2
tt
, dx =(t-1)dt.
x
0
4
t
2
4
I =
2
4 4 4
32
2 2 2
2 2 2
2
1
3 4 2 1 4 2 1
2
( 1) 3 2ln 2
24
tt
t t t
t dt dt t dt
t t t t

2
0
(sin cos )
(sin cos ) 1 2(sinx cos )
xx
dx
x x x


   


t sinx + cosx = t; (cosx - sinx)dx = dt

x
0
4


t
1
2

I = -
2 2 2
2
22
1 1 1
2 2 2
( 1) ( 1)

x x x x
   
  
  
   
   

t sinx +1= t; cosx dx = dt
x
0
2


t
1
2
I =
2 2 2
22
1 1 1
[1 4( 1) ] 4 8 3 3
( 4 8 )
t dt t t
dt t dt
t t t
    
    
  
=
2

0
6


t
0
1
3

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 - I =
11
33
4
2
22
11
1
( 1 )
11
t dt
t dt
tt

tt

  


=
11
33
00
10 1 (1 ) (1 )
2 1 1
93
d t d t
tt

  

  






=
11
10 1 10 1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
33
22

8) I =
32
44
32
00
sin (1 cos ).sin
cos cos
x x x
dx dx
xx




. t cosx = t, -sinxdx = dt
x
0
4


t
1
2
2

I = -
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2



. t cosx +1 = t.
10) I =
44
6 6 2
00
3
cos2 (sin cos ) cos2 (1 sin 2 )
4
x x x dx x x dx

  

. t sin2x = t.
11) I =
44
44
2
00
sin 4 2cos2 .sin 2
1
sin cos
1 sin 2
2
x x x
dx dx
xx
x


22
2
44
sin3
2 2 (4sin 3)
sin
t
dt t dt
t





=
2
4
2
( 4cos2 2) ( 2sin 2 2)
4
t dt t




    

= 2 -
2


xx





. t sinx =t
I =
1 1 1 1
0 0 0 0
1
2 3 (2 1) 4 4 (2 1)
(1 ) 2
0
2 1 2 1 2 1 2 1
t t d t
dt dt dt t
t t t t
   
    
   
   
=1- 2ln
1
2 1 1 2ln3
0
t
  
.
Bài 2: Tính tích phân

.
2) HKB 2010: I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx

. t 2+lnx = t, t: 23,
dx
dt
x

.
I =
3 3 3
22
2 2 2
33
( 2) 1 1 2 1 3
2 ) ln ln .
22
32
t dt
dt dt t
t t t t


2
3 3 3
1 1 1
( ) .
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dt
dt dt
t t t t t t
  
     
  

=
55
33
ln 2 ln 1 ln3 ln4 ln2 ln ln2 ln .
33
42
tt
        

4) I =
ln2 ln2
2
22
00
3 ( 3)
3 2 3 2
x x x x
x x x x



      

     

  

5) HKB 2012: I =
1
3
42
0
32
x
dx
xx

. t x
2
= t  2xdx = dt.
x
0
1
t
0
1
I=
1 1 1
2

2 1 2
x
dx
x



.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 - t
21xt
 2x+1=t
2
 2x = t
2
-1  4x = 2(t
2
-1), dx = tdt.
x
0
4
t
1

3 3 5
t
t t t


     




.

Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x


. t
3
2
2 ln xt
.

3 sin x
= t  3 + sin
2
x = t
2
, sinxcosxdx = dt.
x
0
3


t
3

15
2

4) I =
ln16
x
4
0
e1
1
x
dx
e




xx
xx





.
t
3
43
34x x t
 3x
4
- 4x
3
= t
3
, 12(x
3
-x
2
)dx = 3t
2
dt, t: 0 -1.
6) I =
33
00
1 1.(1 1)
1 ( 1)

0
2 2 2
33
e 2 2 1 1
ln 1 ln 1
1 ( 1)( 1) 1 1
e1
22
x
dx dt dt dt t t
t t t t t
e

       

    


   
Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun:
Hocmai.vn