ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
LỜI GIỚI THIỆU
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác
học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối
như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh
đều được học công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản
đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các
vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân ,
trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu .
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn
xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác
“sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề
này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực
tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình
vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có
rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó
khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp cho
học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ
thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như
tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học
sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học ,
học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để
luyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ .
Tài liệu này gồm các phần :
- Phần một :
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay .
1/ Những khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải .
2/ Hướng khắc phục .
- Phần hai

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 .
Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một
hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , ,
đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh
(kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) .
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện
tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn
có của mình khi nghiên cứu vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư
duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng ,
vật tròn xoay đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác
nặng nề ,khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc ,
khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia
nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà
học sinh thường gặp phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu
trong khoảng (a ; b).

3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham
khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực
quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới
khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải ,hoctoancapba. com số còn lại để học sinh tự thảo luận làm
nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
PHẦN HAI
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
b ; a
.
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
có diện tích là S và được tính theo công thức :
∫
=
b
a
dxxfS )(
(1)
 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .
• Nếu
[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≥xf
thì

[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≥xf
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì

[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≤xf
-Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vd 1 : Tính
dxxI
∫
−
+=
0
2
42
Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x -∞ -2 0 +∞
f(x)=2x + 4
- 0 +  +
Suy ra
[ ]
2;0-x , 042 ∈∀≥+x

0121)2)(1(1'
2
<−=−=−−−=∆
, a = - 1 < 0
Suy ra f(x) < 0
R∈∀x
x -∞ 0 3 +∞
f(x)= -x
2
+ 2x - 2 - -2 - -5 -
Suy ra
[ ]
0;3x , 0)( ∈∀<xf
0
3
)2
3
()22(22
2
3
3
0
2
3
0
2
xx
x
dxxxdxxxJ +−=+−=−+−=
∫∫

2
– 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và



=
=
⇔=+−
2
1
023
2
x
x
xx
x -∞ 0 1 2 +∞
f(x)= x
2
- 3x + 2 + 2 + 0 - 0 +
Suy ra
[ ]
0;1x , 0)( ∈∀≥xf
và
[ ]
1;2x , 0)( ∈∀≤xf
Do đó :
∫∫∫
+−−+−=+−=
2
1

5
-
)
6
1
(−
=1
Cách 2
1
6
1
6
5
)23()23(23
2
1
2
1
0
2
2
0
2
=
−
+=+−++−=+−=
∫∫∫
dxxxdxxxdxxxK

3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.

[ ]
4)2(4)2(0
2
0
)4()42(42
22
0
2
0
2
=−+−−=
−
+=+=+=
∫∫
−−
xxdxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 2 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục hoành Ox, trục tung Oy
và đường thẳng x = - 2 .
y
x
f
x
( )
= -2
⋅
x-4
4
-2
O

−−
xxdxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 3 . Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây :
y
x
f
x
( )
= x
3
4
-2
O
1
A
B
Hình 3
Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3.
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
=
3
0
Vì
[ ]
0;3x , 0 ∈∀≥x
2
9

3
4
-2
O
1
A
B
Hình 4
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
, trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2.
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
=
2
0
2
Vì
[ ]
0;2x , 0
2
∈∀≥x
3
8
3
0
3
2

-4
-1
-2
O
1
A
B
Hình 5
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
−=
2
1
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;2-x , 0
2
∈∀≤x
3
3
1
3
8
3
)1(
3

f
x
( )
= -x-2
3
-4
2
-1
-2
O
1
A
B
Hình 6
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−−=
3
0
2
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
0;3x , 02 ∈∀≤−− x
2
21
6
2
9

Cho hàm số y = -x
2
+2x – 2 có đồ thị (C ) .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục hoành
và hai đường thẳng x =0 , x = 3
(C)
y
x
f
x
( )
=
-
x
2
+2
⋅
x
(
)
-2
3
-4
2
-1
-2
O
1
A
B
Hình 7

xx
x
dxxxdxxxS +−=+−=−+−=
∫∫
6069
3
27
0.20
3
0
3.23
3
3
2
3
2
3
=−+−=






−−−+−=
(đvdt)
Bài toán 8. Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây:
8
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y

1
1
2
22
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;1-x , 022
2
∈∀≥++ xx
1
1
)2
3
()22(22
2
3
2
1
2
1
1
2
−
++=++=++=
∫∫
−−
xx
x
dxxxdxxxS
3



−−+
−
−++=
(đvdt)
Bài toán 9.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x
3
–x
2
+ 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
y
x
f
x
( )
=
x
3
-
x
2
(
)
+2
3
6
2
-1

2
1
23
−
+−=+−=+−=
∫∫
−−
x
xx
dxxxdxxxS
12
85
2
3
1
4
1
4
3
8
4)2
3
1
4
1
(4
3
8
4
16

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
x
f
x
( )
=
-x-2
x-1
3
-4
2
-1
-2
O
1
A
B
Hình 10
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dx
x
x
S
∫
−
−
−−
=

1
0
1
0
1
)
1
3
1()
1
3)1(
)
1
2
(
1
2
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
S
12ln32ln311ln.30)2ln31()1ln30(

Hình 11
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
=
2
3
1
3
Từ hình vẽ , suy ra
[ ]
1;0-x , 0
3
∈∀≤x
và






∈∀≥
2
3
0;x , 0
3
x
0

+
−
−=+−=+==
∫∫∫ ∫∫
−−−
64
97
64
81
4
1
0
64
81
)
4
1
0(
4
0
4
)
2
3
(
)
4
)1(
4
0

)
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 .
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :

dxxxS
∫
+−=
2
0
23
23
Cách tính 1
Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1 .
Hơn nữa x
3
-3x

4
2
021
4
1
1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4
3
4
3
4
xx
x
xx
x
2
5
21
4
1

1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4
3
4
=+=
−
+=+−++−= xx
x
xx
x
(đvdt)
Bài toán 13 Cho hàm số y = x
4
- 3x
2
+ 2 có đồ thị ( C ) . (Hình 13 )
11
Ghi nhớ :
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x
1

x
2
(
)
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 13
Hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành , và hai đường thẳng x = - 1 , x = 1.
Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = -1 , x = 1 được tính bởi
công thức :

dxxxS
∫
−
+−=
1
1
24
23
Dựa vào đồ thị , suy ra x
4

+ 5x
2
- 4 có đồ thị (C ) (Hình 14)
(C)
y
x
f
x
( )
=
-
x
4
+5
⋅
x
2
(
)
-4
3
-4
2
-1
-2
O
1
A
B
Hình 14

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị (C ) cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là
( -2 ; 0) , ( -1 ; 0) , ( 1 ; 0) , (2 ; 0) .
b/ Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị (C ) ,trục hoành và hai đường thẳng x =- 2 ,
x = 2.
12
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :

dxxxS
∫
−
+−=
2
2
24
23
Dựa vào đồ thị , suy ra -x
4
+5x
2
- 4 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -2 ; -1] ∪[ 1; 2]
- x
4
+ 5x
2
– 4 ≤ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
Do đó
dxxxdxxxdxxxdxxxS )45()45( )45(45

b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.
(C)
y
x
f
x
( )
=
-
x
3
-x
(
)
+1
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 15
Giải
a/ Vì y’ = -3x
2
– 1 < 0 ∀ x∈ (- ∞ ; + ∞)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - ∞ ; + ∞)

3
O
1
A
e
Hình 16
13
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S cần tìm là
∫∫
==
ee
xdxxdxxxS
11
lnln
Đặt







=
=
⇒



1
2
1
22
1
+
=−=−=−==
∫∫∫
e
e
xe
xdx
e
x
x
xd
x
x
e
x
x
xdxxS
eee
(đxdt)
Bài toán 17. Cho hàm số
1
2
2
+
−+




−=
=
⇔





−≠



−=
=
⇔



≠+
=−+
⇔=
+
−+
⇔=
2
1
1

xx
S
∫∫∫
+
−+
+
+
−+
=
+
−+
=
3
1
2
1
0
2
3
0
2
1
2
1
2
1
2
1
3
)1ln2

xdx
x
x
2ln4
2
9
2ln2
2
1
4ln2
2
9
2ln2
2
1
−=+−−+−=
(đvdt)
Bài toán 18 .
Tính diện tích hình phẳng sau,biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số y = e
2x
.
14
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
(C)
y
x
f
x
( )
=

1
0
2
1
102
0
1
2
e
eeedxeS
xx
−=−=
−
==
−
−
∫
hoctoancapba .com (đvdt)
Bài toán 19.
Tính diện tích của hình phẳng sau , biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số
45 += xy
(C)
y
x
f
x
( )
=
5
⋅

)827(
15
2
)49(
15
2
4
9
15
2
4
9
2
3
.
5
1
5
1
5
1
333
2
3
9
4
2
1
9
4


15
38
4545
1
0
1
0
=+=+−=
∫∫
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 21 .
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
23
2
+−= xxy
, trục hoành , trục tung và đường
thẳng x = 3
(C)
y
x
f
x
( )
=
x
2
-3
⋅

2
∈∀<+− xxx
∫ ∫ ∫∫∫
+−++−−+−=+−=+−=
1
0
2
1
3
2
222
3
0
2
3
0
2
)23()23()23(2323 dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxS
6
11
6
5
6
1
6
5
=+
−
−=
(đvdt)

Giải :
Diện tích S cần tìm là
dx
x
x
S
∫
−
−
+
=
0
4
1
2
Ta có
[ ]
0; 2 x 02
−∈∀≥+
x
và
[ ]
2; 4 x 02
−−∈∀≤+
x
BAdx
x
x
dx
x

−−
−
−−
0
2
2
4
0
2
2
4
0
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Mà
4
2
)1ln3()
1
3
1(

dx
x
x
dx
x
x
A

2)3ln5(ln323ln35ln3)5ln34()3ln32(
−−=−−=−−−=

3ln32)3ln32(0
2
0
)1ln3()
1
3
1(
1
31
1
2
0
2
0
2
0
2
−=+−−=
−

Khi đó hình tròn đó có diện tích là :
2
rS
π
=
Giải : Ta có
22222
xryryx −±=⇔=+

(P)
x
y
-r
2
4
-1
2
-2
-1
r
3
O
1
Hình 23
17
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Với y ≥ 0 ta có :
22
xry
−=

=+
b
y
a
x
,
ab <<0
(P)
x
y
2
-b
4
-1
b
-a
-2
-1
r
a
O
1
Hình 24 a
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là :
π
baS .
=
(đvdt)
Bài toán 23 . Cho hình phẳng sau . Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol (P) :
3

x
với y ≥ 0 hay (E ) :
2
9
3
1
xy −=

Gọi S
1
là diện tích của hình phẳng giới hạn bửa nửa elip (E) , trục hoành , trục tung .
Ta có
4
3
.1.3.
4
1
1
π
π
==S
(đvdt)
Gọi S
2
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = 3 .
Ta có
2
21
)3
3

2
, trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1
b) y = -x
2
+ 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1
c) y = e
x
, y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2
d) y = x
2
– 4 và trục hoành .
e) y = x
2
- 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3
f) y = x
3
- 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1
g) y = x
3
– 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1
h) y = x
3
– x
2
– 4x + 4 , y =0
i) y = x
4
– 5x
2
+ 4 , y = 0 , trục tung và đường thẳng x = 2

=
)(
)(
xgy
xfy
(1)
 Hoành độ x
0
của điểm chung M là một nghiệm của phương trình
)()( xgxf =
(*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x
0
của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x
0
vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .
2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
xxy 3
2
−=
và
3−= xy
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
33
2
−=− xxx

0)1(ln0lnln =−⇔=−⇔= xxxxxxxx
Vì x > 0 nên
exxxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln0)1(ln
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Vd3: Cho hai hàm số
33
23
+−−= xxxy
và
44
23
++−−= xxxy
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.
Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
0)12()12(01224433
2232323
=+−+⇔=−−+⇔++−−=+−− xxxxxxxxxxxx




±=
−
=
⇔



=−
=+

.
Bài toán 23 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x =
1 , x = e
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
0)1(ln0lnln =−⇔=−⇔= xxxxxxxx
Vì x > 0 nên
exxxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln0)1(ln
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Trên đoạn
[ ]
e; 1
phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng
x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :
dxxxxS
e
∫
−=
1
ln
Vì
[ ]
exxxx ;1 0ln ∈∀<−
nên
∫∫∫∫
+−=+−=−=
eeee
xdxxxdxxxxdxxxxS
1111

Giải:
dxxxdxxxxxxS
∫∫
−+=++−−−+−=
2
0
2
2
0
2323
)1)(12()44(33
20
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
0)12()12(01224433
2232323
=+−+⇔=−−+⇔++−−=+−− xxxxxxxxxxxx
[ ]
[ ]
[ ]







∉−=
∈=
∉

)1)(12()1)(12(
2
1
2
1
0
2
=+
−
=−++−+=
∫∫
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 25.
(C)
y
x
f
x
( )
=
-
x
4
+5
⋅
x
2
(
)

1
4
1
045
2
2
24
x
x
x
x
xx
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là :
(-2 ;0) , (-1;0) , (1 ; 0) , (2 ; 0).
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
∫
−+−=
2
0
24
)45( dxxxS
Từ hình đồ thị suy ra :
[ ]
0;1x , 045
24
∈∀≤−+− xx
và
[ ]
1;2x , 045
24

y
4
-3
-2
-1
3
2
1
-3
-2
-1
4
3
2
O
1
Hình 26
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x
2
-3x + 2 và đường thẳng
y = x – 1 là :



=
=
⇔=+−⇔−=+−
3
1

()34(
2
3
3
1
2
=
−
−=+−−=+−−=
∫
xx
x
dxxxS
(đvdt)
Cách 2 : Xét dấu tam thức x
2
- 4x + 3 ta có :
x -∞ 1 3 + ∞
x
2
– 4x + 3 + 0 - 0 +
Do đó x
2
– 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]

3
4
3
4
1

1
2
3
1
2
=
−
=+−=+−=+−=
∫∫
xx
x
dxxxdxxxS
Bài toán 27 . Cho hình phẳng ở hình 25
a/ Viết phương trình của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó , biết rằng đồ thị (C ) có phương trình
y = x
3
– 3x + 2 .
22
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(C)
d
x
y
4
-3
-2
-1
3

b
ba
Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :



±=
=
⇔=−⇔=−⇔+=+−
2
0
0)4(04223
233
x
x
xxxxxxx
Diện tích của hình phẳng trên là :
∫∫
+−+−++−+−=
−
2
0
3
0
2
3
)2(23)2(23 dxxxxdxxxxS
dxxxdxxxS
∫∫

(C)
x
y
-5
2
-2
-3
-1
3
1
-3
-2
-1
4
3
2
O
1
Hinh 28
Giải :
b/ y = x
3
– 3x + 2
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
y’ = 3x
2
- 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2 ; 4 ) là y = 9(x -2) + 4 hay y = 9x - 14
c/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là :hoctoancapba.com

4
-3
-1
3
2
1
-3
-2
-1
4
3
2
O
1
Hình 29
24
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :



±=
=
⇔



=

dxxxdxxxdxx
x
dxx
x
S
∫∫ ∫∫
+++=+++=
−−
2
0
2
2
0
0
2
22
0
2
2
43
4
1
43.
4
1
43
4
43
4
dxxxA

16
2
3
6
1
6
1
6
1
333
2
3
16
4
2
1
16
4
−=−−=−=−=−=−=
∫∫
u
u
duuuA
Tương tự ta có
9
56
=B
9
28
4.9

(C)
d
x
y
2
-2
4
-3
-1
3
2
1
-3
-2
-1
3
O
1
Hình 30
Giải :
a/ Ta có
1
1
1
1)1(
1
1
2
−
−=

Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
25