BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ HONG TUYET
Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG
GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS. Trần
Văn Bằng, những người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự
hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi
trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Gradient trong
không gian vô hạn chiều” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 1 năm 2014 Tác giả
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Mục lục
Mở đầu


Hệ gradient tổng quát trong R
d

Không gian Bochner - Lebesgue
Hệ gradient Euclidean
Tích phân Bochner
Chương 2.
3
1
3
1
312.1
2.1.1
.
Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Gradient của dạng toàn phương
gian vô hạn chiều
Khái niệm gradient
2.1.3. Không gian Sobolev trên ri
2.1.4. Toán tử Dirichlet Laplace
2.1.5. Toán tử Dirichlet - p -

Laplace
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gradient
Hệ gradient không autonom
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với

tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
Luận văn tìm hiểu về:
- Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, trong không gian vô hạn
chiều.
- Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
1.1.1. Gradient Euclidean của hàm trên Rd
Kí hiệu Rd = {u = (ui, ,Ud)\uị

e M, 1 < ỉ < d}.

Phần tử của Md được kí
hiệu là u

hoặc (Uị

) hoặc (Wj)i<j<d hoặc (ui, ,Uđ).
Tích vô hướng Euclidean trên Md được xác định bởi
d
(u, V ) = {u, v) euc = ^2 U ịVị, u = (Ui), V = ( Vị) e R d.
i=

1
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng ||w|| := {u,uỶ ■
Kí hiệu (Mdy là không gian đối ngẫu của Rd, tức là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Md —>


+ h)

được xấp xỉ bởi hàm afine h

—»• £{ù) + (u',h

)
với sai số o{\\h\\).

Phiếm hàm v!

biểu diễn số hạng tuyến tính được xác định một cách
duy nhất.
Đạo hàm của £

là hàm S' :

и

—>

(Mdy cho tương ứng mỗi и

£

и

với
phiếm hàm tuyến tính u'


có đạo hàm theo mọi hướng h
G Rd tại u và:
!^(u) = E'(u)h.
Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean). Cho u c R

d

là tập mở, £:[/—>■ M là hàm khả vi.
7
Gradient Euclidean của £

là hàm Veuc£ cho tương ứng mỗi điểm u

G u

với một phần tử
duy nhất V

eu c

E(ù)

€ sao cho
S'(u)v = <v
euc
£(u),v)c u c, Vv e ra*. (1.3)
Theo Bố đề biếu diễn (Bố đề 1.1), gradient Euclidean V
eu c



£{u)

= ||£'(u)||v.
Bổ đề 1.6. Cho u CI
á
lầ một tập mở và cho £ : u —> M ỉà một hàm khả vi. Khi
đó s là khả vi liên tục nếu và chỉ nếu gradient Euclidean V
e u c
£ : u —> M
dlà liên tục.
1.1.2. Hệ gradient Euclidean
Định nghĩa 1.7 (Hệ gradient Euclidean). Hệ gradient Euclidean là
hệ phương trình vi phân thường có dạng:
8
ù + veuc£{ù) = 0, (1.4)
trong đó s

là một hàm thực khả vi liên tục đã cho trênmột tập mở
u c Rd.
Ân hàm u

của phương trình này là một hàm giá trị, xác định trên một khoảng I

c R. Nói
chung I


s
Nếu u

là một nghiệm của hệ gradient (1.4), thì đạo hàm theo biến
thời gian của u

luôn luôn bằng — V£{u)

và do đó nó chỉ lượng giảm sâu
nhất (Bổ đề L5). Vì thế, một cách tự nhiên ta kì vọng rằng năng lượng s

luôn giảm dọc
theo nghiệm bất kỳ của hệ gradient.
Bổ đề 1.8. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.4) và s là khả vi
liên tục thì hàm hợp £(u) = s o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm hợp £
(u) không đổi thì nghiệm u cũng không đổi.
Chứng minh.

Vì hàm s

và nghiệm u

là khả vi liên tục, nên hàm hợp S{ù)

cũng khả
9
vi liên tục. Ta chỉ cần chứng minh đạo hàm của S{ù)

không dương. Thật vậy:
J

M
là một hàm năng lượng của phương trình vi phân thường
ủ

+ F(u

) = 0, (1.6)
1
nếu với mỗi nghiệm u

của phương trình đó, hàm hợp £(u)

= £ o u

giảm (theo t

).
Theo Bổ đề 1.8, £

là hàm năng lượng của hệ grtadient (1.4).
Hàm năng lượng cũng được gọi là hàm Lyapunov và trong một số tài liệu về tối ưu nó
còn có tên là hàm chi phí (cost function). Các phương trình vi phân có hàm năng lượng
được gọi là hệ tiêu tán.
Bổ đề 1.10. Mọi điểm giới hạn của một nghiệm toàn cục của hệ gradient
Euclidean (1.4) đều là một điểm căn bằng của s. Nói cách khác, nếu
u : R
+
—»• R
d
là một nghiệm, và nếu ip = lim u(t


H- ®
lim u(t

n

+ s)

= lim (u(t

n) + / ủ) = ự)

đều theo s

€ [0,1],
n—>00 n—>00 J
tn
vì theo Bất đẳng thức Holder:
tn + s
tn “I” ® t
n
+ s
/
ủ II < sup I ||ủ|| < ( / ||ủ||
2
)2 —y 0 khi n —> 00.
se [0,1] J
J
tn tn tn
n—

n

+ s)ds —

0.
n—> 00 J
0
Vậy ta có điều phải chứng minh. □
1.1.3. Liên hệ đối với hệ phương trình đại số
Giả sử u C R

d

là một tập mở và cho F

: u —>

là hàm khả vi liên tục. Xét bài toán
tìm nghiệm ũ

G u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
Có một cách để giải bài toán này là xét hàm s : u —>

M xác định bởi £{ù)

= -||F(w)||
2, trong đó II • II là chuẩn Euclidean. Khi đó, ta có F(ũ) =

ù + F'(u)*F(u) = 0.
Mệnh đề 1.11. Giả sử rằng F'{y) khả nghịch với mọi V G u và tồn tại
một nghiệm (toàn cục) u : M
+
—> của (1/7) với tập giá trị compact tương đối
trong u. Khi đó tồn tại ũ e Ư sao cho F(ũ) = 0.
Chứng minh.

Vì u

có tập giá trị compact tương đối trong u nên tồn tại
một dãy (t

n

/*

00) và một phần tử ũ

G u sao cho lim u(t

n) = ũ.

Theo
ĩl

—>00
chứng minh trên, phương trình vi phân (1.7) là hệ gradient Euclidean
1
gắn với hàm: £(u

Ta nhắc lại rằng, tích vô hướng trên Rd là một dạng song tuyến tính, đối xứng, xác
định dương bất kì trên Rd.
Kí hiệu: £2(I^d;®0 là không gian tất cả các dạng song tuyến tính a

: Md X Md —
► R. Không gian này là không gian vecto với phép cộng và phép nhân với vô hướng
thông thường và nó là không gian Banach với chuẩn
||a|| := sup \\a(u,

f)||.
ỊHỊ<1
ÌMỈ<1
Kí hiệu Inner(Rd) là tập tất cả các tích vô hướng trên Rd thì Inner(Md) c £2(I^d;
và nó là không gian metric với metric cảm sinh bởi chuẩn trên £

2

{R

d

-,R).
Bổ đề 1.12 (Bố đề biểu diễn, xem PJ, Định lý 2.13). Giả sử (•, •) là một tích vô
hướng trên Khi đó với mọi phiếm hàm, tuyến tính u' e (M
d
y đều tồn tại
duy nhất một vectơ u £ sao cho
v!{v) = (u,v), G Md. (1-8)
Ta nói phiếm hàm u'


€ tuyến tính, liên tục. Theo Bổ đề biểu diễn, Bổ đề
áp dụng với tích vô hướng Euclide, tồn tại Qv

e Md sao cho v'(w) = (Qv, w)

eu c

với mọi
w

G Vậy Q thỏa mãn tính chất (iv). Từ tính song tuyến tính của (•, •), ta có Q là tuyến
tính. Theo định nghĩa của Q và tính đối xứng của các tích vô hướng,
(Qv,w}euc = (v,w) = (w,v) = (Qw,v}euc = {v,Qw}euc, \/v,w e
hay Q

đối xứng. Hơn nữa, với mọi V

G {Qv,v)

eu c

= (v,v)

eu c

>

0.
Cuối cùng, (Qv,w)


ta kí hiệu (-,-)5(u) là tích vô hướng g{u)

và II • ||s(u) là chuẩn sinh bởi tích vô hướng
g(u)

trên Rd.
Bổ đề 1.15. Giả sử g : u —> Inner(M
d
) là một metric Rieman và Q : u —>• £
(K
d
) là hàm cho bởi
(Q(u)v, w)euc = (V, w)
g{u)
, Vu£U, v,w £R

d
.
Khi đó Q liên tục.
1.
1
Chứng minh.

Với mọi UI ,U
2
£



и

—>

R là hàm khả vi liên tục. Ta biết rằng, với mỗi и

£
u và mọi V e R

ẵ

đạo hàm và gradient Euclide của £

liên hệ với nhau bởi
£'{u)v = (’Veuc£(u),v)euc.
Từ đây và Bổ đề biểu diễn 1.12, ta tổng quát hóa khái niệm gradient theo hai cách như
sau:
Cách 1: Với một tích vô hướng bất kì (•, •) trên Md, ta định nghĩa gradient của £

đối với
tích vô hướng này là hàm V£ cho tương ứng mỗi и

£

и

với phần tử duy nhất V5(m) € Md
sao cho
£'{u)v = (V£{u), v), VveR

(u), v

)g{u), Mv

G R

d

.
1
Nếu metric g

đã rõ ràng thì ta có thể bỏ qua chữ g

trong kí hiệu gradient.
Rõ ràng, sự khái quát hóa thứ hai chứa sự khái quát hóa thứ nhất vì cách thứ nhất
tương ứng với trường hợp metric Rieman không đổi trong cách thứ hai.
Bổ đề 1.16. Nếu £ : u —»• M khả vi liên tục, và g là một metric Rieman trên
u, thì gradient V g£ : u —¥ ỉỉên tục.
Chứng minh.

Gọi Q là hàm xác định trong Bổ đề 1.15, ta có Vg£(u

) =
Q(u

)
1

V

cũng khả vi liên tục. Vì thế, ta chỉ cần
chứng tỏ đạo hàm của £{u

) là không dương. Thật vậy
Jt£{u) = £'{u)ù = (Vg£{u),ủ)g{u] = - (ủ:ủ}g{u) < 0
nên £(u

) giảm. Nếu £(u

) không đổi, thì {ù, ù)

(u )

= 0 nên ủ =

0 hay u
không đổi.
1
(1.
u
□
Sự tồn tại nghiệm địa phương của hệ gradient được khẳng định nhờ Định lý Caratheodory
cho phương trình vi phân tổng quát hơn sau đây.
Định lý 1.19 (Caratheodory, xem [|3Ịj, Định lý 2.6). Cho D

c R X Rd là tập mở, F

: D
sao cho với mọi t € I
(1.14)
Ví dụ 1.20. a) Hàm u(t

) = —-—,t

€ [0,1), là nghiệm của
1 t
ủ

— u

2

=

0,
nhưng không thể thác triển thành nghiệm toàn cục (xác định trên
[0,oo)).
1
(1.1
Có thể thấy, cả hai phương trình trên đều là hệ gradient.
Nghiệm u : [t

0

, t

0


toán
ũ + Vg£{u

) = /,
u(tQ) = UQ
b) Hàm
u(t)
bài toán
0 và u(t) = -t
2
, t € M+ là hai nghiệm phân biệt của
1
1
Hệ quả 1.21. Với các giả thiết của Định lý
tồn tại một nghiệm cực đại của bài toán (1.13)
Chứng minh. Xem [3J, Hệ quả 2.8.
Từ Định lý 1.19 ta có hệ quả sau:
với mỗi (t
0
,u
0
) e D
1.1
□
(1.1
CÓ nghiệm địa phương. Nghĩa là tồn tại một khoảng không suy biến J
= [tữ,tữ + a\ c I và tồn tại một hàm liên tục u \ J —¥ R
d
sao cho với
mọi

Định lý 1.23 (Sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ gradient). Cho s : R
d
—> M là
hàm bức, khả vi liên tục, và g là một metric Rieman trên R
d
sao cho
\\v\\g{u) < C\\v\\eucì Vu,v e Rd, trong đó c > 0. Khỉ đó, với mọi u0 G và
với mỗi hàm f : [0,T] —>
1
2
M
d
(T > 0), hệ gradient không autonom
ủ + Vg£{u) = /,
u(0) = Mo
luôn có nghiệm cực đại trên [0,T]. Hơn nữa,
{u(t):t£[0,T]}CK
c
,
c
T
trong đó c = £(u
0
) -ị f II f lleĩic chỉ phụ thuộc vào dữ liệu u
ữ
, f và
hằng
2 0
số nhúng c.
kì của hệ gradient không autonom (1.16); sự tồn tại của nghiệm cực đại

v
Theo định nghĩa của gradient và quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có (V

g

£{u),ủ}

g{ u )

=
£'{u)ũ = J

t

£{u).
Điều này và bất đẳng trên suy ra
t T
ị Ị IMIỈ(„) + í («(í)) < £(«o) + I / II/IIL =:
0 0
Vế phải của bất đẳng thức trên độc lập với t

e [0,Tmax), và số hạng thứ nhất ở vế
trái dương. Do đó tập giá trị {u(t

) : t

e [0, Tmax)} là một tập con của tập mức dưới
K

c

nên sup ||Vg£(M(í))||eílc < oo. Do đó, phương trình
íe[0,Tlax)
vi phân (1.16) suy ra HủỊỊeuc bị chặn và khả tích trên [0,Tmax). Vì thế, u

thác triển
thành một hàm liên tục trên khoảng đóng [0,Tmax].
Nếu Tmax < T

thì ta có thể thác triển nghiệm u

lên một khoảng lớn hơn bằng
cách giải hệ gradient ũ +

Vg£(ù)

= / với thời điểm ban đầu ^max và giá trị ban đầu
w(Tmax). Điều này mâu thuẫn với giả thiết u

là nghiệm cực đại. Vậy Tmax < T

là
không thể xảy ra hay Tmax = T

và u

là nghiệm toàn cục. □
Ta có thể sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gradient trong việc nghiên
cứu tìm nghiệm của phương trình đại số như sau.
Cho u



khả nghịch với mọi u

€ t/, và ta
định nghĩa g ■. u

Inner(Rd) bởi
w)9(u) = (-F'(wK F\u)w)
euc
, u e u, V, w e Rd
Rõ ràng, với mỗi u

G u

thì ánh xạ (•, xác định như trên là song
tuyến tính và đối xứng. Hơn nữa, với mỗi u

€ u, V € M
d
,
M

g{ u )

= {F'{u)v,F>{u)v)euc = \\F'(u)v\\lc > 0,
hay (■) ')g(u)

là nửa xác định dương. Nếu (v,v}

g { u )


£ J = s'{u)v

(định nghĩacủa gradient)
= (F(u),F'(u)v)

eu c

(tính£')
= ự{u)F>{u)-lF{u),F>{u)v)euc
= (F

/

(u)~

1

F(u),v

) ^ ^ (định nghĩa của mêtric g

).
Vậy
V

g

£(u)


II • II, cho íì

c Kd là một tập mở và kí hiệu A

là ơ -

đại số Lebesgue các tập con của ri,
nghĩa là, ơ -

đại số nhỏ nhất chứa ơ -

đại số Borel (là ơ

đại số sinh bởi các tập mở) và
tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo Lebesgue trên Q

được kí hiệu
là ịi.
Hàm / : íì

—»• X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy {A

n

)

ç A



= M, định nghĩa này tương đương với cách định nghĩa
"nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.26 (Xem [3] Bổ đề 5.1). Cho X,Y

là hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàmliên tục f : ri —> X đều là hàm đo được.
b) Nếu / : —> X
đo được thì 11/11 : —> M cũng đo được.
c) Nếu f : n X đo được và g : X —>■ Y liên tục thì hàm hợp g о / : íỉ — »■ Y đo
được.
d) Nếu f : ri —>■ X và g : ri —)■ R đođược thì tích f g : Q — ^ X đo được.
e) Nếu f : —> X
và g : Q —> X' đo được thì tích (g, f )

x

,

x: Q — »• M đo
được.
f) Nếu ( f
n
) là một dẫy các hàm đo được từ— »• X sao cho fn —>• / hầu khắp nơi
thì Ị đo được.
Định lý 1.27 (Pettis, xem [3J, Định lý 5.2). Hàm f : íĩ —> X là đo được nếu và chỉ nếu
( x

f