PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường chúng ta thấy chuyên đề về
phương trình, bất phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt các
năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết” dành cho học sinh
lớp dưới đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình và hoàn thiện cơ bản các nội
dung về phương trình đại số ở cấp hai. Đến bậc phổ thông và chuyên nghiệp
kiến thức về phương trình càng chuyên sâu, đa dạng đồng nghĩa với độ khó khăn
và phức tạp hơn. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh phải nắm bắt
được và có kĩ năng giải một cách thành thạo. Qua giải phương trình học sinh
nắm được kiến thức cơ bản như tập hợp, quan hệ thứ tự, tập hợp số…
Tuy nhiên vấn đề về phương trình lại là một trong những vấn đề khó, yêu
cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt các phương pháp để giải bài toán phương trình. Đó là một trở ngại không
nhỏ khiến cho nhiều học sinh khi gặp các bài toán về giải các loại phương trình
trong học tập cũng như với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi.
Hơn nữa, có nhiều dạng phương trình nên việc tập hợp, phân loại, hệ thống cũng
khiến cho các em gặp khó khăn.
Bản thân em là người giáo viên dạy toán tương lai muốn hoàn thành nhiệm
vụ của mình thì ngay từ khi đang là sinh viên cần phải biết nỗ lực tìm tòi kiến
thức, tổng hợp cho bản thân mình những kinh nghiệm làm hành trang cho tương
lai. Từ khó khăn của bản thân và của học sinh trong việc học và giải phương
trình em đã tìm kiếm tài liệu cũng như tổng hợp kiến thức để làm đề tài “ Phân
loại một số dạng phương trình thường gặp ở bậc trung học phổ thông và phương
pháp giải ” mong rằng sẽ hình thành kiến thức, tạo nền tảng giúp cho các em học
sinh có điều kiện giải các bài Toán mà không bị sai lầm, góp phần đổi mới và
nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giới thiệu phân loại một số dạng phương trình thường gặp ở bậc trung học
vận dụng một số phương pháp giải phương trình bằng những ví dụ cụ thể.Trên
cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, cung cấp

khai thác hết giả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán, để từ
đó định hướng cách giải. Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan
trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hướng giải, nhiều em không học
lí thuyết mà vận dụng ngay, không giải được thì chán nản, bỏ không giải và giở
sách giải ra chép vv
Trong quá trình học tập và tìm hiểu, ta thấy các dạng phương trình đa dạng và
phong phú mà ta phải vận dụng nhiều kĩ năng biến đổi đại số như sử dụng hằng
đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi
tương đương và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử
Công cụ giải phương trình không đồi hỏi cao xa cái quan trọng là học sinh
phải n ắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các
khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với
học sinh khá, giỏi; phải biết hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phương
trình, biết đặc biệt hóa và tổng quát hóa những vấn đề cần thiết.
I. NGUỒN GỐC SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Lý thuyết phương trình đại số có lịch sử rất lâu đời. Từ năm 2000 trước
Công Nguyên, người Ai Cập đã biết giải các phương trình bậc nhất, người
Babylon đã biết giải các phương trình bậc hai và tìm ra được những bảng đặc
biệt để giải phương trình bậc ba.Tất nhiên các hệ số của phương trình được xét
đều là những số đã cho nhưng cách giải của người xưa chứng tỏ rằng họ cũng đã
biết đến các quy tắc tổng quát.Trong nền toán học của người Hi Lạp, lý thuyết
phương trình đại số được phát triển trên cơ sở hình học, liên quan đến việc phát
minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng.Vì lúc đó, người Hi Lạp chỉ biết các
số nguyên dương và phân số dương nên đối với họ phương trình x
2
= 2 vô
nghiệm. Tuy nhiên, phương trình đó lại giải được trong phạm vi các đoạn thẳng
vì nghiệm của nó là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1.
Đến thế kỷ VII, lý thuyết phương trình bậc nhất và bậc hai được các nhà
toán học Ấn Độ phát triển, họ cho ra đời phương pháp giải phương trình bậc hai

thuộc
n
C
là một
điểm trong không gian phức n chiều
n
C
. Khi đó các hàm số f (
n
xxx , ,,
21
) và
g (
n
xxx , ,,
21
) được gọi là các hàm một biến f(x), g(x) trong
n
C
.
Trong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng
nhau đối với một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số. Viết một
cách tổng quát một phương trình là:

(
)
(
)
ii
xxxgxxxf , ,,, ,,

gọi tên theo loại đó.
Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số thì (1) là phương
trình đại số, trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình siêu việt.
Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức
hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) gọi là phương trình đại số hữu tỉ. Ðặc biệt, nếu
f(x) và g(x) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1) được gọi là phương
trình đa thức hoặc phương trình đại số nguyên. Nếu trái lại, ít nhất một trong hai
biểu thức f(x) hoặc g(x) là phân thức hữu tỉ thực sự và biểu thức còn lại là đa
thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức.
Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) là đại số vô tỉ (tức là có
chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được gọi là phương
trình vô tỉ.
Ví dụ:
Phương trình đa thức: x
2n
+ x
n
+ 1 = x
2
+ x + 1.
Phương trình phân thức:
2
=
x-1
2x - 3
x +x+1
.
Phương trình vô tỉ: .
IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Cho hàm số f(x), ngoài đối số ra còn có các chữ số a, b, c … nếu trong việc

) không có nghĩa với mọi giá trị bằng số của x trên trường số
đã cho thì
α
,
β
,…,
γ
là một hệ thống giá trị không thừa nhận được của các tham
số.
Phương trình f(x, a, b, …,c) với ẩn số x và các tham số a, b, …, c
được gọi là phương trình chứa tham số. Khi có một hệ thống giá trị thừa nhận
được của tham số, phương trình này trở thành phương trình cụ thể:
f(x,
α
,
β
,…,
γ
) = 0
với ẩn số x và không chứa tham số nữa và tập nghiệm của nó hoàn toàn
xác định. Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó
với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số.
Ví dụ 1: Các phương trình
ax + b = 0
ax
2
+ bx + c = 0
là các phương trình chứa tham số a, b, c. Các tham số này có thể lấy mọi
giá trị thực bất kì. Với mỗi hệ thống giá trị (thực bất kỳ, đều thừa nhận được)
của các tham số, ta được một phương trình cụ thể và có thể giải chúng để tìm tập

2
được gọi là hệ quả của
(
)
xP
1
trên S nếu tập nghiệm
1
M
của
(
)
xP
1
là tập con của tập nghiệm
2
M
của
(
)
xP
221
MM
⊆

Ta kí hiệu
(

1
=
M
,
{
}
2,1
2
−
=
M
, do đó
21
MM
⊂
, vậy
(
)
(
)
xPxP
21
⇒

Định nghĩa 2: Giả sử
)(),(
21
xPxP
là hai phương trình một ẩn hay n ẩn.
)(


)(
1
xP
⇔
)(
2
xP
hoặc
)(
1
xP
~
)(
2
xP

Ví dụ 1: Các phương trình

01
2
=+x01
4
=+x01





±±= iM.12, ,1,0,
2
sin
2
cos
2






−=






++




⇔
f(a)+ h(a) = g(a)+ h(a)
là một mệnh đề luôn luôn đúng, là một tính chất của đẳng thức.Vậy (1) là hằng
đúng.
Hệ quả 1: Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình,
nhưng phải đổi dấu của nó.
Thật vậy, nếu ta cộng vào hai vế của phương trình
f(x) + h(x) = g(x)
cùng một biểu thức –h(x) thì ta được phương trình tương đương
f(x) = g(x) – h(x)
Phương trình sau được biến đổi tương đương từ phương trình trước, bằng cách
chuyển h(x) sang vế phải và đổi dấu nó.
Hệ quả 2: Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế phải bằng không.
Vì thế, ta luôn có thể kí hiệu phương trình là F(x) = 0
Định lí 2. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác
không trong miền xác định của phương trình đã cho thì
f(x) = g(x)
⇔
f(x).h(x) = g(x).h(x)
Chứng minh: Tương tự như chứng minh ở định lí 1
Định lí 3. Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta
được một phương trình tương đương với phương trình đã cho ( trên trường số
thực )
Chứng minh:
Thật vậy, nếu a là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) tức là f(a) = g(a) là
đúng thì ta có:

(
)
[

{
}
5
1
=
M
;
Phương trình (x – 3)
2
= 2
2
có tập nghiệm là
{
}
1,5
2
=
M
.

KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Ở chương này đã làm rõ cho ta biết được lịch sử hình thành hoàn thiện về
phương trình đồng thời cũng giúp ta biết được thế nào là phương trình , để từ
đó ta có thể phân loại các phương trình và đưa ra các phương pháp giải phù hợp.
CHƯƠNG II
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
VÀO GIẢI TOÁN

I. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở

x

Giải

093
=
−
x93
=
⇔
x⇔

3
=
x

Vậy nghiệm của phương trình là
3
=
x

Ví dụ 2 Giải phương trình:

1 1 1


1 3 4
x x
⇔ − = ⇔ =

Ví dụ 3 Giải phương trình:
1
4
3
12
25
3
12
+
−
=
+
−
−
xxx

Giải
Ta có:
1
4
3
12
25
3
12

xxx

⇔

90
=
x

Vậy phương trình vô nghiệm
1.4 Một số bài tập vận dụng
Bài 1 Giải và biện luận phương trình sau
(1)
Giải
Phương trình (1) tương đương với: -Nếu
013
≠
+
m
thì
3
1
−≠m

Phương trình có nghiệm duy nhất là
1
3
15

=
m
m
x

- Nếu , phương trình vô nghiệm
Bài 2 Giải phương trình

Giải
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai theo x là mọi phương trình có dạng hoặc
có thể đưa về dạng : ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số đã biết với a
≠
0. Biểu thức ở vế trái
f(x) = ax
2
+ bx + c
được gọi là tam thức bậc hai đối với biến x.
Ðể phương trình (1) ta biến đổi như sau (phương pháp đề xuất bình phương đủ):

2


b) Nếu , khi đó (1) có một nghiệm kép là:

c) Nếu phương trình (1) vô nghiệm trên R, nhưng có hai nghiệm phức
liên hợp trên C là:

Chú ý: Nếu b là số chẵn, b = 2b’ thì = 4(b’
2
- ac)
Ðặt b’
2
– ac = ’ và gọi biệt thức thu gọn. Khi đó nếu ’ , phương trình
có hai nghiệm thực (phân biệt hoặc kép) là:

Giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (1) ta có định lí thuận và đảo sau
đây của Viét, là trường hợp riêng quan trọng của định lí Viét.
Ðịnh lí Viét: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
, x
2
thì:

a
b
xx
−
=+
21

a b c
= ≠ = =
mà nghiệm là x=0
ax
2
+ bx = 0 (
0
a
≠
,
c=0) mà nghiệm là x
1
= 0,
a
b
x
−
=
2

ax
2
+ c = 0 (
0
a
≠
,c= 0) mà nghiệm là
a
c
x

Ví dụ 3 Cho phương trình:
(
)
043212
2
=+++− mxmx
(*)

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
b) Tính biểu thức
3
2
3
1
xx +
theo m.

c) Tìm m có một nghiệm bằng ba nghiệm kia.

d) Viết phương trình bậc hai có nghiệm là
2
1
x
và
2
2
x
, trong đó
1
x

d)

Vậy phương trình cần tìm là:

Tìm hai số biết tổng và tích.
Ví dụ 1 Tìm các số x, y thỏa mãn điều kiện:

Giải
Vì , do đó có thể coi x, y là các nghiệm phương trình:

Ta có
Giải ra ta được
Ví dụ 2 Cho phương trình . Tìm các giá
trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn điều kiện

Giải
Ðiều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép) là
.

.
Với phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x

ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
V
ậ
y m = 2 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài tập vận dụng
Cho ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m c và d, ph
ươ
ng trình
có hai nghi
ệ
m a và b. Tính a, b, c, d bi
ế
t r
ằ
ng các s

T
ừ
(2), do ta có
T
ừ
(4) do ta có
Thay vào (1), ta
đượ
c suy ra

Ðiều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.
Ta đã biết phương trình bậc hai có nghiệm khi
và chỉ khi . Từ đó suy ra phương trình bậc hai
có nghiệm thường có các cách sau:
Cách 1: Chứng tỏ rằng .
Bài tập Cho phương trình x
2
– 2(2a – 1)x + a – 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của
tham số a.
b) Tìm hệ thức giữa các nghiệm
1
x
và
2
x

c) Tìm tất cả các giá trị của a để ta có:

4

2
x
với mọi giá
trị của tham số a.
b) Theo định lí Viet, ta có:




+=
−=+
⇔



−=
−=+
3
24
3
)12(2
21
21
21
21
xxa
axx
axx
axx


x
và
2
x
độc lập đối với a là:

(
)
010.4
2121
=
+
+
−
xxxx

c)
+) Theo định lí Viet và giả thiết, ta có:






=−
−=
−=+
⇔



– 5a = 0
⇔
a = 0 và a =
4
5

Vậy có hai giá trị của a thỏa a = 0 ; a =
4
5

+) Ta có:
8
2
2
2
1
≥+ xx

⇔
(
1
x
+
2
x
)
2
- 2
1
x


8
1

∨
a
≥
1
Cách 2: Chứng tỏ rằng (Thật vậy, nếu thì
)
Ví dụ Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:

Giải:
Xét tích
Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
Chú ý
a) Nếu mà ta cũng có nên phương trình
có nghiệm.
b) Chỉ với điều kiện , chưa đảm bảo phương trình có
nghiệm. Chẳng hạn ta xét phương trình , ta có
, nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành , vô
nghiệm
Như vậy khi gặp trường hợp , phải xét hai trường hợp: .
Bài tập vận dụng

Bài 1 Chứng minh rằng nếu bm = 2(c + n) thì ít nhất một trong hai phương
trình sau có nghiệm.Bài 2 Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm:






−=+−=∆
′
bb
ababa

b)
Nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai.
Ví dụ 1 Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phương trình sau là số
hữu tỉ:

Giải
+)Với phương trình có nghiệm
+)Với ta phải có là số chính phương, tức là
.
Suy ra Gộp cả trường hợp ta có các giá trị phải tìm
của m là với mọi
Ví dụ 2
Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỉ
nếu a, b, c là những số nguyên lẻ.
Giải
Giả sử a, b, c là các số nguyên lẻ. Do nên phương trình là bậc hai. Xét
sẽ chứng minh rằng không là số chính phương.
Do a, b, c lẻ nên A còn B (Với A, B nguyên), do đó
(8A+1) (2B+1) A B
không là số chính phương (vì số chính phương lẻ chia cho 8 phải dư 1).

Vậy n
3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
3.1 Phương pháp giải
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
- Giải phương trình vừa nhận được.
- So sánh điều kiện và kết luận.
3.2 Ví dụ
Ví dụ Giải phương trình:

Giải
ĐKXĐ của phương trình là:
Quy đồng mẫu hai vế của phương trình:

Từ đó suy ra:
Như vậy, ta đã khử mẫu trong phương trình (1)
Giải phương trình (1a) - Do việc khử mẫu, phương trình (1a) có thể không tương đương với phương
trình (1) đã cho. Vì thế, cần thử lại xem giá trị

2
1
−

có đúng là nghiệm của

+
+
+
22

b) Dạng 2:
0
2
2
2
2
=
++
++
+
++
++
cqxax
cpxax
cnxax
cmxax

c) Dạng 3:
.0
22
2
=
++
+
++

4
2 2
3 1 1
x x
x x x x
+ = −
− + + +

Bài 2 Giải các phương trình sau:
1 1
3
4 13
3
x x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
+ = +

1 1
3
13
3
x x

đặ
t
2
4 9 7
x x y
− + =
, tìm
đượ
c y = 0 ho
ặ
c y = 7x. T
ừ

đ
ó tìm
đượ
c x.
b) Chia t
ử
và m
ẫ
u c
ủ
a m
ỗ
i phân th
ứ
c cho x r
ồ
i

ứ
c cho x r
ồ
i
đặ
t
1
y x
x
= +
đượ
c y =
3
−
và
5
2
y
=

Đ
áp s
ố
: 2;
1
2
;
3 5
.
2

Ðáp s
ố
:
2 3; 2 3
± − ±

4. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
4.1 Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu căn
thức
4.2 Phương pháp chung
Khi giải các bài toán chứa căn thức, trước tiên phải đặt những điều kiện cho
bài toán có nghĩa sau đó tùy theo dạng toán để tìm ra phương pháp giải phù hợp
để giải.
4.3 Các định lí tương đương cơ bản:
Ðịnh lí 1:

Ðịnh lí 2:

Ðịnh lí 3:

Ðịnh lí 4:

4.4 Các dạng phương trình vô tỉ
Dạng 1:
,)( cxf =
hằng số (1)
-Nếu c < 0: (1) vô nghiệm
-Nếu c = 0: Ta có (1)
⇔
f(x) = 0 (1a)