Sở GD & ĐT Hà Nam
TRUNG TÂM GDTX DUY TIÊN

CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARÍT

BÙI QUỸ


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

MỤC LỤC

2 Các
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

VIE

TM

ATH
S.N

ET

Bài tập về lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit . . . . . .
2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản .
2.5.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit .
2.5.4 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit .
2.7 Bài tập về hệ phương trình mũ và hệ phương trình lôgarit . .
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5

19
22
23
34
35
37
43
46


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

§1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 LUỸ THỪA
1.1.1

Luỹ thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa
• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương. Luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là an , được
xác định như sau
an = a.a. . . . .a a ∈ R, n ∈ N∗ ,
n thừa số

trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:
Cho a > 0, n ∈ N∗ . Khi đó

1.1.3

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

m
m
Cho số thực a và số hữu tỉ r = , trong đó m ∈ Z, b ∈ N∗ và
là phân số tối giản. Khi đó, nếu
n
n
√
n
am có nghĩa thì
√
m
ar = a n = n am .
1.1.4

Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho số dương a, α là một số vô tỉ và (rn ) là một dãy số hửu tỉ sao cho lim rn = α. Khi đó
n→+∞

aα = lim arn .
n→+∞

3


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

ATH
S.N

• Nếu 0 < a < 1 thì α > β khi và chỉ khi aα < aβ .

ET

• (ab)α = aα bα ; aα > 0;

Hàm số y = xα , với α ∈ R, được gọi là hàm số luỹ thừa.
1.2.2

Tập xác định

Tập xác định D của hàm số luỹ thừa y = xα tuỳ thuộc vào giá trị của α, cụ thể như sau:

TM

• Nếu α nguyên dương thì D = R;

• Nếu α nguyên âm thì D = R\{0};

1.2.3

Đạo hàm

VIE

• Nếu α không nguyên thì (0; +∞


α=1
α 0, a = 1).
1.3.2

Các tính chất

Với a > 0, a = 1, b > 0, α ∈ R ta có
loga 1 = 0; loga a = 1;
aloga b = b; loga (aα ) = α.
1.3.3

Các quy tắc tính

• Với a, b1 , b2 > 0, a = 1, ta có
loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 ;

; loga b =
(b = 1); loga b = 0 (b = 1);
logc a
logb a
1
logaα b = loga b (α = 0).
α
1.3.4

ATH
S.N

loga b =

Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân. Ta thường viết log10 b là lg b hoặc log b.
Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên. Ta thường viết loge b là ln b.

1.4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
1.4.1

Hàm số mũ

TM

• Hàm số y = ax (a > 0, a = 1) được gọi là hàm sô mũ cơ số a.

• Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi x và (ax ) = ax ln a. Đặc biệt, (ex ) = ex .
• Các tính chất

b) Khi a > 1 thì hàm số luôn đồng biến;
Khi 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến.
c) Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm phía bên
phải trục tung.

1.5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1.5.1

Phương trình mũ

• Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa.
• Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng ax = b (a > 0, a = 1).
Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm;
Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = loga b.
1.5.2

Phương trình lôgarit

• Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.
• Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng loga x = b (a > 0, a = 1).
Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = ab .
1.5.3

Hệ phương trình mũ và lôgarit

Hệ phương trình mũ là hệ phương trình có chứa ít nhất một phương trình mũ.
Hệ phương trình lôgarit là hệ phương trình có chưa ít nhất một phương trình lôgarit.

1.5.4



ATH
S.N

Đối với luỹ thừa, các dạng bài tập chủ yếu là: tính toán, rút gọn biểu thức, so sánh các số,...
Phương pháp giải. Đây đều là các bài tập đơn giản, để giải các bài tập này ta chỉ cần sử dụng
định nghĩa và các tính chất cơ bản của luỹ thừa đã nêu ở mục trước.
Chú ý. Để so sánh các căn thức, ta thường đưa chúng về cùng một căn bậc n nào đó để so sánh
(thông thường n này là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số của các căn thức đó). Sau đây là các ví
dụ.

(a, b > 0).

1

1

D = a2 − b2

2

VIE

TM

Ví dụ 2.1. Rút gọn các biểu thức sau
−2
−2 −7
−4
a) A = (0,

= 62 + 53 = 161.
5√ √
√
√
√
√
√
a8
a 5+3 .a5− 5
a 5+3+5− 5
a 5+3 .a 5( 5−1)
√
√
√
=
= a.
=
=
c) C =
a8−1
a7
(a2 2−1 )2 2+1
a(2 2)2 −12
d) Ta có
: b − 2b

√
√
√
= ( a − b)2 : b 1 − ba

2

Ví dụ 2.2. So sánh các cặp số sau
√
√
3
a) 4 6 và
5;
√
10−3
π
c)
và 1;
5
8

b)

√

10 và

√

d) e

3+1

√
3

√
12
3
12
5 = 54 = 625.
√
√
Mà 216 < 625 nên 4 6 < 3 5.
b) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 6, ta có
√
√
√
6
6
10 = 103 = 1000;
√
√
√
6
3
6
30 = 302 = 900.
√
√
Mà 1000 > 900 nên 10 > 3 30.
c) Ta có
√
π 10
√
π 10−3

√
√
√
√
( 3 + 1)2 − ( 7)2 = 3 + 1 + 2 3 − 7 = 2 3 − 3.
Hơn nữa
Do đó

√

3+1>

√

√
(2 3)2 − 32 = 4.3 − 9 = 3 > 0.
√

7, mà e > 1 nên e

3+1

√

> e 7.

Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức
a) A =

5

5

A=
Do đó

1

5

a2+2 − a2+
1

a2+

−1
2

1

−3
2
3

− a2+2

=

a3 − a
= −a.
1 − a2

Bài tập tương tự.

1

1

− a3 b3 + b3

2

1

= a3

√

a) A = 43+ 2 .21− 2 .2−3− 2 ;

√

2

√

− 72

2

√



−1

1

11

TM

√
a 3 a a, (a > 0);

a) A =

= a + b.

ATH
S.N

√

123+ 5
√ ;
√
b) B =
42+ 5 .31+ 5
c) C = 491+

3


b) B =

a
b
2

1
7

.

b
a
2

c) C = a 3 . a 3

1
35

2

=

− a

a
b
−1
3

= a3 . a3 − a

−2
3

=

a
b

4
35

;

= a2 − 1;

d) Ta có
√
√
√
D = 1 + (a − 1)[( a + 1)2 − ( 4 a)2 ](a − a + 1)
√
√
= 1 + (a − 1)(a + a + 1)(a − a + 1)
√
= 1 + (a − 1)[(a + 1)2 − ( a)2 ]
= 1 + (a − 1)(a2 + a + 1) = 1 + (a3 − 1) = a3 .
Bài tập 2.3. Tính giá trị các biểu thức
√

1
2

BÙI QUỸ

3

− b2

b +b

−1
2

với a = 3 −

√

2, b =

√

2 − 2.

Đáp số. a) A = a = 3, 14; b) B = a + b = 1.
Bài tập 2.4. So sánh các cặp số
√
5

√

√
5
20.

8−3

1
e
1
π

√

8−3

1,4

và 1;
√

và π − 2 .

> 1.

1 3,14
1 π
1


của hàm số đó, cụ thể
• Nếu số mũ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi cơ số là số thực;
• Nếu số mũ là 0 hoặc số nguyên âm thì hàm số xác định khi cơ số khác 0;
• Nếu số mũ là hữu tỉ hoặc số thực thì hàm số xác định khi cơ số dương.
Trên cơ sở đó, ta dễ dàng có lời giải cho bài toán.
π
Lời giải. a) Hàm số y = (x3 − 8) 3 xác định khi và chỉ khi x8 − 8 > 0
⇔ (x − 2)(x2 + 2x + 4) > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2.
Vậy tập xác định của hàm số là (2; +∞).
Đạo hàm của hàm số là
y =

π
π
π
π 3
π
.(x − 8) .(x3 − 8) 3 −1 = .3x2 .(x3 − 8) 3 −1 = x2 (x3 − 8) 3 −1 .
3
3

11


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 + x − 6 > 0 ⇔ x < −3, hoặc x >= 2.
Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; −3) ∪ (2; +∞).

b)

ET

a) 0, 3π ; 0, 30,5; 0, 3 3 ; 0, 33,15 ;

Lời giải. a) Ta có cơ số a = 0, 3 < 1 và 3, 15 > π >

2
> 0, 5 nên thứ tự tăng dần là
3

2

0, 33,15; 0, 3π ; 0, 3 3 ; 0, 30,5.

b) Vì số mũ π > 0 nên hàm số luỹ thừa y = xπ luôn đồng biến. Mặt khác
√
1
√ < 2 < 1, 8 < π,
2
nên thứ tự tăng dần là

π

√

TM

1


Bài tập 2.7. Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần
a) 0, 5
Hướng dẫn. a) y = x

−2
3

−2
3

; 1, 3

−2
3

;π

−2
3

1
;
e

−2
3

;


c) C = log3 log2 8; d) D = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45.
3
3
3
2
1 5
5
5
Lời giải. a) A = log5−2 5 4 = − . . log5 5 = − .
2 4
8
1

4

b) B = 9 2 log3 2−2 log27 3 = 3log3 2− 3 log3 3 =

2
.
= √
333
3
2

4
3

c) C = log3 log2 8 = log3 log2 23 = log3 3 = 1.
d) Ta có
√

a
Nhận xét. Đối với các bài tập dạng này, chúng ta thường phân tích các lôgarit cần tính và các
lôgarit đã cho về dạng lôgarit cơ số nguyên tố. Thông thường, các lôgarit đó có mối liên hệ với
nhau.
Lời giải. a) Chọn 2 làm cơ số, ta có
A = log6 16 =

4
log2 16
=
.
log2 6
1 = log2 3

x = log12 27 =

log2 27
3 log2 3
=
.
log2 12
2 + log2 3

Mặt khác

13


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT


+
.
1
1
1
1
+
+
log2 5 log3 5
log2 7 log3 7

Ta đi tính log2 5; log3 5; log2 7; log3 7 theo a, b, c. Từ

suy ra log3 5 = 3a, do đó

1
log3 5,
3

ATH
S.N

a = log27 5 = log33 5 =

ET

Do đó log2 3 =

BÙI QUỸ


3b 3b

TM

C=

Từ đó ta tính được

VIE

d) Điều kiện a > 0, a √
= 1, b > 0.
√
Từ giả thiết loga b = 3 suy ra b = a 3 . Do đó
√
√
3
√
√
√
3
3
3 1
b
b
−1
= a 2 ; √ = a 3 − 2 = a− 3
a
a


.

(với α =

√

3
− 1).
2

Ví dụ 2.8. Tính
1
1
1
a) A =
+
+···+
với x = 2007!;
log2 x log3 x
log2007 x
b) B = lg tan 10 + lg tan 20 + · · · + lg tan 890 .
Lời giải. a) Sử dụng công thức

1
= loga b, hơn nữa x = 2007! > 1 nên ta có
logb a

A = logx 2 + logx 3 + · · · + logx 2007
= logx (2.3 . . . 2007)
= logx x = 1.

b) Cho a = 10 1−lg b ; b = 10 1−lg c . Chứng minh rằng c = 10 1−lg a ;
Lời giải. a) Ta có
a2 + 4b2 = 12ab ⇔ (a + 2b)2 = 16ab.
√
Do a, b dương nên a + 2b = 4 ab. Khi đó, lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được
lg(a + 2b) = lg 4 +
hay

1
lg(ab)
2

1
lg(a + 2b) − 2 lg 2 = (lg a + lg b).
2
1

b) Giả sử a, b, c đều dương và khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút lg b từ biểu thức a = 10 1−lg b
1
và thế vào biểu thức b = 10 1−lg c (sau khi lấy lôgarit cơ số 10 hai vế). Ta có
1

a = 10 1−lg b ⇒ lg a =
1

Mặt khác, từ b = 10 1−lg c suy ra lg b =

1
1
⇒ lg b = 1 −


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Ví dụ 2.10. So sánh
a) log3 2 và log2 3;
b) log2 3 và
√ log3 11;
√
1
5+ 7
lg 5 + lg 7
c) + lg 3 và lg 19 − lg 2; d) lg
và
.
2
2
2

ET

Nhận xét. Thông thường, để so sánh các lôgarit, chúng ta so sánh chúng với một số nguyên nào
đó.
Lời giải. a) Ta có
log3 2 < log3 3 = 1 = log2 2 < log2 3.
b) Ta có
c) Đưa về cùng một lôgarit cơ số 10, ta có

ATH

√
5 7.

VIE

TM

√
19
1
vì vậy 3 10 < . Từ đó suy ra
+ lg 3 < lg 19 − lg 2.
2
2
d) Ta có
√
√ 1
lg 5 + lg 7
= lg(5 7) 2 = lg
2
√
√
5+ 7
. Ta có
Ta đi so sánh hai số 5 7 và
2
2

√
5 7 = 5 7;

2
√
√
√
5+ 7
5√
> 5 7, và
7 > 5 7. Do đó
Suy ra 8 +
2
2
√
√
lg 5 + lg 7
5+ 7
>
.
lg
2
2

Ví dụ 2.11. (Chứng minh các bất đẳng thức lôgarit)
16


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

5


(∗)

Hơn nữa, 2 log2 3 > 2 log2 2 > 1 nên 2 log2 3 − 1 > 0. Mà
log2 3 < log2 4 = 2 nên log2 3 − 2 < 0.
5
Từ đó suy ra (∗) luôn đúng. Vậy 2 < log2 3 + log3 2 < .
2
a+b
không âm. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
b) Vì a, b ≥ 1 nên ln a, ln b, ln
2
√
ln a + ln b ≥ 2 ln a. ln b.
Suy ra
Mặt khác

√
√
√
2(ln a + ln b) ≥ ln a + ln b + 2 ln a. ln b = ( ln a + ln b)2 .

1
a+b √
a+b
≥ ab ⇒ ln
≥ (ln a + ln b).
2
2
2


BÙI QUỸ

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
2 > logn+1 n + logn+1 (n + 2) > 2 logn+1 n. logn+1 (n + 2).
Do đó ta có 1 > logn+1 n. logn+1 (n + 2), và
logn (n + 1) > logn+1 (n + 2), ∀n > 1.

ET

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.8. Tính giá trị các biểu thức
a) A = log 1 5. log25

√
3
b) B = ( 3 9) 5 log5 3 ;

c) C = loga a2 . 4

d) D = lg log

ATH
S.N

3

1
;
27

d) D = log√ab √ biết loga b = 5.
a

VIE

√
a
9
2ac + 1
11 − 3 5
Đáp số. a) A =
; b) B = 12a − ; c) C =
; d) D =
.
2(a − 1)
b
abc + 2c + 1
4
Bài tập 2.10. (Chứng minh các đẳng thức có điều kiện)
a) Cho các số dương a, b, c (c = 1). Chứng minh rằng alogc b = blogc a ;
b) Cho a = log12 18, b = log24 54. Chứng minh rằng ab + 5(a − b) = 1;
c) Cho các số dương a, b thoả mãn a2 + b2 = 7ab. Chứng minh rằng
log7

a+b
1
= (log7 a + log7 b);
3
2



(chú ý rằng a = 2, b = 3).
3b − 1
2a − 1
=
suy ra điều phải chứng minh.
Từ hệ thức
2−a
3−b
a+b 2
c) Từ giả thiết suy ra
= ab. Lấy lôgarit cơ số 7 hai vế, ta được điều phải chứng minh.
3
2a + 3b √
= ab. Lôgarit hai vế với cơ số 10.
d) Từ giả thiết suy ra
4
Bài tập 2.11. So sánh
a) log3 5 và log7 4;

b) log0,3 2 và log5 3;
√
1 log6 2− 21 log√6 5
c) log2 10 và log5 50; d)
và 3 18.
6
Hướng dẫn. a) log3 5 > log3 3 = 1 = log7 7 > log7 4.
b) log0,3 2 = − log3 2 < 0 < log5 3.
c) log2 10 > log2 8 = 3 = log5 125 > log5 50.
d)

Lời giải. a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
x2 − 2x > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2.
Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi

x > 3,
x − 3 > 0,
⇔
1
x = 3 ≤
log 1 (x − 3) − 1 ≥ 0
3
3
Vậy tập xác định của hàm số là D = 3;

10
.
3

19

⇔3
0, 5

1

O

x

O

1

x

b) Hàm số y = 0, 5x là hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi qua
các điểm (0; 1), (1; 0, 4) (hình vẽ trên). c) Hàm số y = lg x là hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1 nên
luôn đồng biến. Đồ thị đi qua các điểm (1; 0), (10; 1). Đồ thị như sau
y
y
y = log 1 x

TM

y = lg x

1
1

10


2006
1
+f
+···+f
.
S=f
2007
2007
2007
Lời giải. Ta có nhận xét rằng nếu a + b = 1 thì
4a
4b
4a (4a + 2) + 4b (4b + 2)
+
=
4a + 2 4b + 2
(4a + 2)(4b + 2)
2.4a + 2.4b + 8
4a+b + 2.4a + 4a+b + 2.4b
=
= 1.
=
4a+b + 2.4a + 2.4b + 4
2.4a + 2.4b + 8

f (a) + f (b) =

20



S = 1 + 1 + · · · + 1 = 1003.
1003 số hạng

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.12. Tìm tập xác định của các hàm số
x−4
;
b) y = logπ (2x − 2);
a) y = log0,3
x+4
√
√
c) y = log3 ( x2 − 3x + 2 + 4 − x); d) y = 2 |x−3|−|8−x| +

− log0,5 (x − 1)
√
.
x2 − 2x − 8

Đáp số. a) D = (−∞; −4) ∪ (4; +∞); b) D = (1; +∞);
x2 − 3x + 2 ≥ 0,
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi √ 2
⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2.
x − 3x + 2 + 4 − x ≥ 1
Tập xác định là D = (−∞; 1] ∪ [2; +∞).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi


|x
−

x − 2x − 8 > 0
x < −2 ∨ x > 4
11
; +∞ .
2
Bài tập 2.13. Hình dưới đây là đồ thị của 4 hàm số

Tập xác định là D =

y = log√2 x; y = log 1 x;
e

y=

log√

5

x; y = log 1 x.
3

Hãy chỉ rõ đồ thị tương ứng của mỗi hàm số và giải thích.
y
C1

y

C2
x
O


ET

a) y = 3x − 2; b) y = 3x + 3;
c) y = |3x − 2|; d) y = 2 − 3x .

ATH
S.N

Hướng dẫn. a) Đồ thị hàm số y = 3x − 2 nhận được từ đồ thị hàm số y = 3x bằng phép tịnh tiến
song song với trục tung xuống dưới 2 đơn vị.
b) Tương tự câu a).
3x − 2, khi 3x − 2 ≥ 0
c) Ta có y = |3x − 2| =
−3x + 2, khi 3x − 2 < 0.
Do đó đồ thị hàm số y = |3x − 2| bao gồm:
− Phần đồ thị của hàm số y = 3x − 2 ứng với 3x − 2 ≥ 0 (nằm phía trên trục hoành);
− Phần đồ thị của hàm số y = 3x − 2 ứng với 3x − 2 < 0 lấy đối xứng qua trục hoành.
d) Ta có y = 2 − 3x = −(3x − 2), do đó, đồ thị của hàm số y = 2 − 3x đối xứng với đồ thị của hàm
số y = 3x − 2 qua trục hoành.

TM

Bài tập 2.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2|x| trên đoạn [−1; 1].
Hướng dẫn. Trên đoạn [−1; 1] ta có
y = 2|x| =

2x , khi x ∈ [0; 1]
2−x , khi x ∈ [−1; 0].


dung cụ thể.
2.5.1

Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản

Đây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng. Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit
cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá.
a) Đưa về cùng một cơ số
Ví dụ 2.15. Giải các phương trình mũ sau
a) 3x

2 −4x+5

b) 1, 55x−7 =

= 9;

c) 22x−1 + 4x+2 = 10;

2
3

x+1

;
√
3
2
8


2
33
33
Vậy nghiệm của phương trình là x = log4
d) Đưa hai vế về cùng cơ số 2, ta được

20
.
33

2−3 .24x−6 = 2
Do đó

−5
2

−x

5

hay 24x−9 = 2 2 x .

5
3
4x − 9 = x ⇔ x = 9 ⇔ x = 6.
2
2
23



;
2

ATH
S.N

c) log5 x3 + 3 log25 x + log√125

⇔ x > 0. Phương trình đã cho tương đương với

lg x(x + 9) = lg 10 ⇔ x(x + 9) = 10 ⇔ x = 1 ∨ x = −10.
Vì x > 0 nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 1.
b) Điều kiện x > 0. Đưa về cùng cơ số 2, ta có

1
1
11
log2 x + log2 x = 11 ⇔
log2 x = 11.
2
3
6

TM

log2 x + log22 x + log23 x = 11 ⇔ log2 x +
Do đó log2 x = 6 và x = 26 = 64.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64.
c) Điều kiện x > 0. đưa về cùng cơ só 5, ta có
√

log2 x log2 x
log2 x
+
=
log2 3 log2 4
log2 20
1
1
1
=0
+ −
⇔ log2 x. 1 +
log2 3 2 log2 20
3
⇔ log2 x.
+ log3 2 − log20 2 = 0.
2

log2 x + log3 x + log4 x = log20 x ⇔ log2 x +

24


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

3
3
+ log3 2 − log20 2 > + 0 − 1 > 0. Do đó từ phương trình trên ta phải có log2 x = 0 hay

d) 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3 .

Hướng dẫn. a) Lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế. Đáp số. x =

log2 7
.
−1 + log2 7

1
b) Lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế. Đáp số. x = 2; x = ± √ .
2
3 1
4
c) Viết 0, 75 = ; 1 = . Đáp số. x = −2.
4 3
3
d) Phương trình tương đương với 5.5x − 5x = 2.2x + 23 .2x . Đáp số. x = 1.
Bài tập 2.17. Giải các phương trình lôgarit sau

4
3
a) ln(x
√+ 1) + ln x + 3 = ln(x + 7); b) lg x + lg 4x = 2 + lg x ;
lg( x + 1 + 1)
√
c)
= 3;
d) log4 log2 x + log2 log4 x = 2.
lg 3 x − 40