HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LỜI NÓI ĐẦU
Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường
THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát
hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới
chân trời của tri thức và thành công. Đối với các trường THPT chuyên, công tác học
sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học. Hội
thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là
một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên. Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu,
học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực. Năm
năm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của các
trường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường
Chuyên.
Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên
Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê
lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học. Tại hội thảo
lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý
nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm
công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của
mình.
Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt
giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng
bằng Bắc bộ. Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng
khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo. Nhiều
chuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô,
tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học
sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình
Dương cũng như Olympic quốc tế.
Sau đây là nội dung của chuyên đề:
- Cơ sở lý thuyết.
- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức.
- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.
- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

2


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khối tâm
a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi,
gọi O là một điểm tùy ý, ta có
OG = rG =

∑m r = ∑m r
M
∑m
i i

i i

dt

(3)

Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong
hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở
tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.
p = mvG

b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*
*

Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*, v G và tổng động lượng
*

p của hệ S trong R

*
*

bằng không: p = 0 (4)
3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton
+ Lực:

∑F

ext

=



1
1
1
2
mi vi2 = ∑ mi viG
+ mvG2 (6)
∑
2
2
2

1
∑ miviG2 là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:
2
1
2

Định lý Koenig đối với động năng: K = mv 2 (G ) + K * (G )

(7)

5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng
a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S
trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.
L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8)

b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theo
định nghĩa là:
L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9)

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Biết rằng p = ∑ mi vi* = 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ
*

trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết
*

mô men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A = LG = L
*

*

*

Dùng định lý Koenig ta có: LG = LG = L
e) Mô men động lượng tại một điểm của trục
Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC RS (O,xS, yS, zS) gắn
với vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ωez = ' ez trong HQC R.
Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một
điểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với
vật rắn) trong R:
L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm
S

z

Với v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AM

H


)

AM = AH + HM = AM .ez ez + HM

Vậy ta được:
L A = Ω ∫∫∫ HM 2 dm − Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm (Vì HM 2 = AM 2 − AH 2 )
S

S

Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:
+ Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L A = Ω ∫∫∫S HM 2 dm
+

Một

thành

phần

vuông

góc

với

vec

tơ

của điểm A trên trục ∆.
+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay

H
r

M

là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J ∆ của vật
rắn đối với trục quay ∆ như sau: J ∆ = ∫∫∫S r 2 dm
Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho
mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến
theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.
6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực
+ Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:
M O = ∑ OM i ∧ mi ai

+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)
M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i
*

*

*

Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai*
Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào
chỉ số i và bằng gia tốc aG của điểm G.

(

Trường THPT Chuyên Thái Bình

6


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là
trong chuyển động của nó quanh G)
*

M 0 = M G + OG ∧ maG

(10)

7. Mô men lực trọng tâm:
Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC
trọng tâm R* không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô
*

men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A = M G = M
*

Dùng định lý Koenig ta có: M G = M G = M

*

*


I, ta được:
dLP
= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ext − ∑ mi ( ri − rP ) ∧ aP
dt

Thay tiếp

∑ m .r = mr
i i

G

, ta được

Trường THPT Chuyên Thái Bình

7


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

dLP
= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aP
dt

Vì

∑(r − r ) ∧ F
i

dt

c) Gia tốc aP / / ( rG − rP ) hay aG / / PG . Khi ấy ta có:

{

}

dLP
= ∑ M Pex aP / / PG
dt

(9)

9. Các chú ý về toán học:
Cho hai vec tơ: A = (ax , a y , az ) , B = (bx , by , bz )
+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + az bz )
+ Tích có hướng của hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx )
Với i, j , k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

Trường THPT Chuyên Thái Bình

8


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1.

'sin ), b( ' cos + ' cos ), 0)

Suy ra p = mv( A) + mv( B) = m(−b(2 'sin + 'sin ), b(2 ' cos + ' cos ), 0)
Và LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B) = mb 2 (2 '+ '+ 2 ' cos( − ))ez
Với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽ
Cách 2:
Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G
(trung điểm của AB) của hệ.
1
2

1
2

Ta có OG = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0)

Trường THPT Chuyên Thái Bình

9


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Và vận tốc khối tâm G là:
vG = OG ' = (−b( 'sin

+

1

A

Rõ ràng là ta tìm được
p = 2mv (G ) = m( −b(2 'sin

+

G
'sin ), b(2 ' cos +

y’

β

' cos ), 0)

B

Và tổng mô men động lượng của hệ:
LO = L*G + OG ∧ 2mv (G ) = mb 2 (2 '+

'+ 2 ' cos( − ))ez

x’

x

Ví dụ 2
Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối
lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’

mv (G ) = mb 2 '2 (1)
2
2

b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động

Trường THPT Chuyên Thái Bình

10

B


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Thế năng của thanh là: U = mgb(1 − cos ) (2)
+ Cơ năng của hệ là:
E = K +U =

1 2 2
mb ' + mgb(1 − cos ) = mgb(1 − cos
2

0

) = const (3)

Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: " b + g sin = 0 (4)
< 10o → sin


d
d
d
LO =
OM ∧ v( M )dm = (ma 2 )ez = 0
∫
dt
dt vòng
dt

1
2

+ Động năng K = J ∆

2

=

1
ma 2
2

2

Ví dụ 4
Chứng minh định lý Huygens bằng cách:
a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.
b) Dùng chứng minh hình học.

2

Với HH G = a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G và
HH G .H G M = HH G .GM vì HH G .H G G = 0

S
G
H

M

HG

∆
∆G
Để ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta
suy ra: J ∆ = ma 2 + J ∆G + 2 HH G ∫∫∫S GM dm
Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của
khối tâm G nên: J ∆ = ma 2 + J ∆G
Ví dụ 5
Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm
thanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R,
người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m
có dạng là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính.
Vị trí của con lắc được xác định theo góc α giữa thanh
OA và đường thẳng đứng hướng xuống. Xác định tổng
động lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực
đối với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào α và

Trường THPT Chuyên Thái Bình

B

C

+ Mô men lực: M O =

d LO d
= ( ∫ OM ∧ v(M )dm) = mR '' ez
dt
dt B

1
2

Và động năng: K = mR 2 '2

Ví dụ 6.
Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b
và khối tâm G là trung điểm của AB. Thanh
tựa lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bức
tường thẳng đứng. Vị trí của thanh được xác
định theo góc

(

y

G

)

OG = ( b cos , b sin , 0 )

Vận tốc khối tâm: v(G ) =

d
OG = ( −b 'sin , b ' cos , 0 ) (1)
dt

2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt Ω = Ωez
Ta cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau:
v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG

Biết rằng OA = 2b cos .ex suy ra v( A) =

d
OA = −2b 'sin .ex
dt

Từ đây suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2 ') sin ; −bΩcos ;0) (2)
Cho (1) bằng (2) ta được Ω = − ' ez
Ví dụ 7.
Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB
giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài
2b và nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong
mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của

O
α

A


Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O:
LO (OA) = J Oz (OA). ' ez =

4 2
mb ' ez
3

Động năng của thanh OA:
K (OA) =

1
2
J Oz (OA). '2 = mb 2 '2
2
3

Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:

Trường THPT Chuyên Thái Bình

14


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LO ( AB ) = OG2 ∧ mv(G2 ) + J G2 z ( AB ). ' ez
K ( AB ) =




Và động năng: K ( AB ) =  mb 2 (4 '2 + '2 + 4 '. ' cos( − ) + mb 2 '2 
2
6
1

1





Đối với cả hệ con lắc kép:
4
 16
'+
LO = LO (OA) + LO ( AB ) = mb 2 
3
 3

8 2 2
K = K (OA) + K ( AB ) = mb 2 
' +
3
3

'+ 2( '+




15


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật
chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là

v
còn
2

vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.
Giải:
mi

a)
Ta cần chứng minh:

LO = LG + ( ∑ mi ) rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG

rG + ri
G

Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có:

LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi )


v

v

G2

Trường THPT Chuyên Thái Bình

ri

16


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:

mv1' + mv2' = mv − mv = 0 ⇒ v1' = −v2' = −v '
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.
Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là
bằng nhau.
ban đầu thì LG2 = mvd

Ta có,

sau đó thì L 'G2 = mv ' d '+ I1
Mà


2

2

2

d'

=0⇒d'= 2 d −

I1 1
mv

2

1

I1
m

0

>0
d

= mv 2

I
m
⇒d'= 2 d ± 1
I1
m

Vậy:
a) LO = LG + M rG ∧ vG

Trường THPT Chuyên Thái Bình

17

I1
m


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) d ' =

mvd − I1 1 − I 2
mv '

c) d ' = 2 d ±

2

O

Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối
lượng m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn,
cùng chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ. Góc tạo bởi

α
A

các dây treo và thanh là α = 60 . Hệ quy chiếu Trái Đất được
o

xem là HQC quán tính.
a) Hệ cân bằng. Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A.
b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh
AB còn chưa kịp dịch chuyển). Tính tỉ số
Đáp số: a) T0 =

mg
3

b) T =

T
T0

2 3mg T
6
; =
T0 13

D