CHƯƠNG III:
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Dạng 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết:
 Cho ba điểm: A( x A ; y A ) ; B( xB ; yB ) ; C ( xC ; yC ) . Ta có:
 Tọa độ véctơ AB = ( xB − x A ; yB − y A ).

 x + xB y A + y B 
I A
;

2 .
 Tọa độ trung điểm I của AB là:  2
 x + xB + xC y A + yB + yC 
G A
;

3
3
.
 Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC là: 
 Cho hai véctơ: a = ( a1; a2 ); b = ( b1; b2 ) . Ta có:

 a + b = ( a1 + b1; a2 + b2 ) .
 a − b = ( a1 − b1; a2 − b2 ) .
 a.b = a1.b1 + a2 .b2 .
 k .a = ( k .a1; k .a2 ) .


a = a12 + a22

a) Chứng minh ∆ABC cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC ⊥ MA
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
1
MG = GA.
2
d) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Chứng minh

e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A.
Page 1


C. Bài tập vận dụng:
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5); B(-3;2); C(4;1).
a) Chứng minh ∆ABC cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC ⊥ MA
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
1
MG = GA.
2
d) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Chứng minh

e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại B.
Dạng2: Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết:
1. Nhắc lại kiến thức về đường thẳng.
Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, trong đó k gọi là hệ số góc của đường thẳng.
a2
Hệ số góc k = tan α = a1 ( α là góc hợp bởi d với trục Ox, a = (a1; a2 ) là VTCP của d).


a
Cho  = (a1; a2 ) là VTCP của d.
n = ( A; B ) là VTPT của d .
Điểm M( x0 ; y0 ) thuộc d.
Ta có :
 PT tham số của d: x = x0 + a1t

y = y0 + a2t
Page 2


x − x0 y − y0
=
a2
 PT chính tắc của d: a1
 PT tổng quát của d: A( x − x0 ) + B( y + y0 ) = 0 hoặc: Ax + By + C = 0

 Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(o;b) thì ptđt d viết theo
đoạn chắn là:
x y
+ =1
a b

4. Góc và khoảng cách:
 Góc giữa hai đường thẳng:
 
a1.a2
n1 .n2
Cos( d1 ; d 2 ) = cos(n1; n2 ) =   = cos(a1 ; a2 ) =
n1 . n2


2
1

2

2

B:Bài tập điển hình:
1. Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại B. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình tham số của đt AB; chính tắc của đt AC; tổng quát của BC.
c) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.
h) Viết phương trình đường thẳng (h) đi qua A và vuông góc AC.
k) Gọi K là giao điểm giữa (h) và trung trực cạnh BC. Tìm tọa độ điểm K. Chứng minh
ABHK là hbh.
l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy sao cho tam giác ACD vuông tại C.
m) Viết phương trình đường thẳng DC. Tìm tọa độ giao điểm của DC và trục hoành.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d1: x – 2y + 1 = 0
Page 3


a) Viết phương trình đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Viết phương trình đường thẳng
d) Viết phương trình đường thẳng


AH: 4x – 3y + 1 = 0;
BI: 7x + 2y – 22 = 0.
Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của ∆ ABC.
7. Lập ptđt d đi qua M(2;5) đồng thời cách đều hai điểm P(6;2) và Q(5;4) .
8. Lập ptđt ∆ đi qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + 4 = 0 góc 450.
9. Lập pt đường thẳng d đi qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) một khoảng bằng 2 2 .
10. Lập pt các cạnh của ∆ ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – 4 = 0
3x + 8y + 13 = 0.
11. Hai cạnh của hbh có pt : x - 3y = 0 và 2x+5y+6=0 .Một đỉnh của hbh là C(4 ;-1)Viết
pt hai cạnh còn lại và đường chéo AC.
12. Lập pt các cạnh của ∆ ABC ,biết A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + 1
= 0 ;y – 1 = 0.
13. Cho đt ∆ :

x = 2 + 2t
Page 4


y=3+t
Tìm M nằm trên ∆ và cách điểm A(0 ;1) một khỏang bằng 5.
C:Bài tập vận dụng :
1. Cho ∆ ABC, M(-1 ;1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh kia có pt: x+2y-2=0
và 2x+6y+3=0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
2. Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và một đường chéo đặt trên đt :7x-y+8=0. Lập pt các
cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông.
3. Một hình bình hành có 2 cạnh nằm trên 2 đt : x + 3y – 6 = 0 ; 2x - 5y – 1 = 0. Tâm
I(3 ;5).
Viết pt hai cạnh còn lại của hình bình hành.
4. Trong mp 0xy cho 3 đt: d1: 3x + 4y – 6 = 0 ; d2: 4x + 3y – 1 = 0 ; d3: y = 0.


Trong đó : R = a + b − c , điều kiện : a + b − c > 0
2. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):
 d ( I ; d ) > R ⇔ d ∩ (C ) = φ
d không có điểm chung với (C).
 d ( I ; d ) = R ⇔ d ∩ (C ) = { A} d tiếp xúc với (C).
 d ( I ; d ) < R ⇔ d ∩ (C ) = { A; B} d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm có dạng :
2

2

2

2

x 2 + y 2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = x 2 + y 2 − 2a2 x − 2b2 y + c2

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0 ;y0) có dạng :
x0 x + y0 y − a ( x0 + x ) − b( y0 + y ) = 0

B. Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)
1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
2
2
a) ( x − 2) + ( y + 1) = 4

b) ( x + 3) + ( y − 1) = 3
2
2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y +
1 = 0.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).

Page 6


4. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y 2 = 0.
a) d1 : x + y = 0.
b) d2 : y + 1 = 0.
c) d3 : 3x + 4y +5 = 0.
5. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + y – 1 = 0.
(C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – 3 = 0.
6. Cho hai đường tròn có phương trình :
(Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – 1 = 0.
(Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + 3 = 0.
a) Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn theo tham số m.
b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định.
7. Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y +
10 = 0 với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.
8. Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x – 3y + 1
= 0 và
d2 : x + 4 = 0 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 1 = 0.
9. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
10. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và
tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0.
11. Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0.

17. Cho hai đường tròn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0
(C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2).
b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
18. Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 - 2 = 0. Viết
phương trình đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d.
C:Bài tập vận dụng :
1. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 7
b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1).
c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1).
d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − y = 0.
e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp
xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + 7 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 =
4.
a) ∆1 : x − 1 = 0
b) ∆ 2 : x − 2 = 0
c) ∆ 3 : 2 x + y − 1 = 0 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x2 +y2 = 4 trong mỗi trường hợp
sau:
a) Biết tiếp điểm A(0; 2).
b) Biết tt song song ∆ : 3 x − y + 17 = 0
/
c) Biết tt vuông góc ∆ : x − 2 y + 2 = 0
d) Biết tt đi qua M(2; 2).
0

x2 y 2
+
=1
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 4 1
và điểm C(2; 0). Tìm tọa độ các điểm

A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC
là tam giác đều.
7. ĐH KA 2006:
Page 9


Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x
– 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
8. ĐH KB 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1).
Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T1T2.
9. ĐH KD 2006 :
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng
d : x – y + 3=0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính
đường tròn (C), tiếp xúc ngời với (C).
10. ĐH KA 2007 :
Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2). Gọi H là chân đường
cao kẻ từ B; M và N lâng lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường
tròn đi qua ba điểm H, M, N.

Page 10