TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************
DƯƠNG MINH NGỌC
NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI - 2015
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************
DƯƠNG MINH NGỌC
NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến” không có sự
trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Dương Minh Ngọc
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn . . . . . . . .
4
1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . .
7
MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trong
thực tiễn, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và
những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình
vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi
phân không phải lúc nào cũng thực hiện được thậm chí là phương trình
tuyến tính. Khi đó, chúng ta buộc phải nghiên cứu các tính chất định
tính của chúng. Đối với phương trình vi phân cấp hai, có một phương
pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất định tính là sử dụng mặt phẳng
pha (xem Chương 1). Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình
vi phân cấp hai autonom:
x¨ = f (x, x),
˙
về nghiên cứu một hệ phương trình vi phân cấp một:
x˙ = y
y˙
= f (x, y).
Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng xét hệ tổng quát hơn:
x˙ = X(x, y)
y˙
hòa.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy
cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương trình vi phân cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng
F (x, y, y , y ) = 0,
(1.1)
ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo
hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng
y = f (x, y, y ).
(1.2)
Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (1.2).
∂f
∂f
Nếu f (x, y, y ),
(x, y, y ) và
(x, y, y ) liên tục trong một miền D
∂y
đơn
Con lắc đơn (xem Hình 1.2) bao gồm một phần tử P khối lượng m được
treo vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài
a, dao động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì
phương trình chuyển động của con lắc được viết là:
x¨ + ω 2 sinx = 0,
(1.4)
trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia
tốc trọng trường và ω 2 = g/a.
4
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
Chúng ta chuyển phương trình (1.4) về dạng có chứa x˙ và x như sau:
dx˙
=
dt
d
=
dx
x¨ =
dx˙ dx
5
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
Ta biểu diễn x˙ theo x từ (1.6) :
√
1
x˙ = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .
(1.7)
Đây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với x(t). Phương trình này
không giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ
ra rằng ta có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương
trình (1.7) mà không cần phải giải nó.
Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau:
x˙ = y.
(1.8a)
Khi đó phương trình (1.7) trở thành:
√
1
y = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .
(1.8b)
˙
(1.9)
trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn
trong mặt phẳng pha, ta đặt
x˙ = y
(1.10)
y˙ = f (x, y).
Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.9).
Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm
t0 bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này, tương ứng với một
7
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
điểm P trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ
phương trình vi phân cấp một (1.10), và vì vậy xác định tất cả các trạng
thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái
tiếp theo cho bởi phương trình tham số
x = x(t),
điểm cụ thể P : (x, y), tương ứng với trạng thái ban đầu (x0 , y0 ), trong
đó
y0 = y(x0 ).
(1.13)
Một hình vẽ đầy đủ về các đường cong pha bao gồm các mũi tên chỉ
hướng tạo thành lược đồ pha. Biến thời gian t không xuất hiện trên lược
đồ đó.
8
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng
của phương trình (1.9), hoặc của hệ tương đương (1.10). Chúng xảy ra
khi đồng thời x,
˙ y˙ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn:
y = 0, và f (x, 0) = 0.
Hình 1.3: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha.
(1.14)
(b) Một đường cong
pha đóng: P đi từ A và trở về A vô hạn lần.
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
(iv) Giao điểm với trục x : các đường cong pha cắt trục x theo các góc
vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)).
(v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A
đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường
TAB =
AB
dx
.
y
(1.17)
(vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm
tuần hoàn theo thời gian.
(vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm
riêng của x¨ = f (x, x)
˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ,
cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn.
1.4. Chu trình giới hạn
Xét hệ autonom
x¨ = f (x, x),
˙
trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng
f (x, x)
hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến.
Các chu trình giới hạn trong Hình 1.4 là một chu trình giới hạn ổn định,
vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì
nó sẽ sang một đường cong pha mới.
Hình 1.4: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y 2 = 1 sinh bởi hệ
x
¨ + (x2 + x˙ 2 − 1)x˙ + x = 0.
Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các
đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình
11
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là
đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng
lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung
đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp
và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới
hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu
đột ngột bất kì .
Phương trình có dạng
x¨ = f (x),
là hệ bảo toàn, không thể dẫn tới một chu trình giới hạn.
Bằng cách sử dụng tọa độ lược đồ pha của phương trình vi phân dạng
,
r
Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
x = r cos θ,
x˙ = y = r sin θ
12
(1.20)
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức
trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.
13
Chương 2
Nghiệm tuần hoàn, phương pháp
trung bình
Xét phương trình dạng x¨ + εh(x, x)
˙ = 0 trong đó ε là nhỏ. Phương trình
như vậy hiểu theo một phương diện nào đó gần với phương trình điều
hòa đơn giản x¨ + x = 0 có lược đồ pha gần với các đường tròn có tâm ở
gốc tọa độ. Điều đó cho thấy ta có thể xây dựng các nghiệm xấp xỉ: các
x˙ = y, y˙ = Y (x, y), nó cho phép giải thích hiện tượng cơ học tương ứng.
Xét họ các phương trình dạng
x¨ + εh(x, x)
˙ + x = 0.
(2.1)
(Chú ý rằng phương trình x¨ + εh(x, x)
˙ + ω 2 x = 0 có thể chuyển về dạng
này bằng cách đổi biến τ = ωt). Khi đó trên mặt phẳng pha chúng ta có
x˙ = y,
Giả sử rằng |ε|
y˙ = −εh(x, y) − x.
(2.2)
1, tức là phần phi tuyến nhỏ, và h(0, 0) = 0, hay
gốc tọa độ là điểm cân bằng. Giả sử chúng ta có lí do để nghĩ rằng có ít
nhất một nghiệm tuần hoàn với đường cong pha bao quanh gốc tọa độ:
một đánh giá về các miền của mặt phẳng pha tại đó năng lượng giảm
hoặc tăng sẽ là cơ sở để khẳng định có chu trình giới hạn.
15
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
E(t) = x2 (t) + y 2 (t),
2
2
16
(2.4)
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
trên một chu kì 0 ≤ t ≤ T , được xác định bởi
T
E(T ) − E(0) = −ε
h(x(t), y(t))y(t) dt.
0
Do đường cong pha đóng, nên E trở lại với giá trị ban đầu sau một vòng.
Vì thế
T
h(x(t), y(t))y(t) dt = 0
0
trên một chu trình giới hạn. Quan hệ này là chính xác. Bây giờ đưa xấp
xỉ (2.4) vào trong tích phân. Chúng ta thu được phương trình cân bằng
(2.7)
Khóa luận tốt nghiệp
Dương Minh Ngọc
Hình 2.1: Lược đồ pha của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 với ε = 0.1.
Chu trình giới hạn là viền ngoài của miền mờ.
Ta có
h(x, y) = (x2 − 1)y
.
Giả sử rằng x ≈ a cos t, phương trình cân bằng năng lượng (2.6) trở
thành
2π
{(a2 cos2 t − 1) sin t} sin t dt = 0.
0
Điều này dẫn đến phương trình 14 a2 − 1 = 0, với nghiệm dương a = 2.
Hình 2.1 chứng tỏ có chu trình giới hạn với ε = 0.1, nó nhận được bằng
phương pháp số.
Khi ε trở nên lớn hơn, hình dạng của chu trình giới hạn thay đổi đáng
kể so với một đường tròn mặc dù biên độ của nó vẫn gần 2. Điều này
được chỉ ra trong Hình 2.2(a) với trường hợp ε = 0.5. Nghiệm theo thời
gian tương ứng được thể hiện trong Hình 2.2(b), chu kì là lớn hơn 2π
18
g(a) > 0 khi a0 − δ < a < a0 ,
(2.9)
g(a) < 0 khi a0 < a < a0 + δ.
Tương tự nếu dấu của cả hai bất đẳng thức đều đổi chiều, thì chu trình
giới hạn là không ổn định. Do đó sự tồn tại và tính ổn định của một chu
19
Copyright: Tài liệu đại học ©