BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN MINH TÂN

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN
TS. ĐINH QUANG MINH

Nghệ An-2013


2
Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đinh Quang Minh,
PGS.TS.Lê Quốc Hán đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành Luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ
nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy
cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và
hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thành phố Hồ Chí Minh, nơi tôi đang công tác
giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành
thực nghiệm sư phạm.

đề.....................................................................................................................19
1.2.1 Năng lực.................................................................................................19
1.2.2 Năng Lực toán học.................................................................................20
1.2.3 Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề để rèn luyện năng
lực giải toán.....................................................................................................22


4
1.2.3.1 Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của THPT........................22
1.2.3.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực phát hiện phương
pháp giải toán..................................................................................................23
1.2.4 Năng lực giải quyết vấn đề trong toán học.............................................28
1.2.4.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong toán học......................28
1.2.4.2 Nội dung của hoạt động giải quyết vấn đề dạy học toán.....................29
1.3 Vị trí và vai trò của chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trong chương trình
toán phổ thông.................................................................................................30
1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đề Nguyên
hàm, Tích phân cho học sinh trung học phổ thông hiện nay...........................31
1.4.1 Về phía Giáo viên...................................................................................31
1.4.2 Về phía Học sinh....................................................................................33
1.5 Kết luận chương 1.....................................................................................33
Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện năng lực giải toán theo
định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Nguyên hàm,
Tích phân.........................................................................................................35
2.1 Biện pháp 1. Rèn luyện năng lực giải toán qua việc hình thành kỹ năng
nhận dạng và thể hiện trong giải toán nguyên hàm, tích phân........................35
2.1.1 Nhận dạng một khái niệm......................................................................35
2.1.2 Nhận dạng một định lý...........................................................................39
2.1.3 Nhận dạng một phương pháp.................................................................43
2.1.3.1 Nhận dạng phương pháp đổi biến số..................................................43

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm....................................................................82
3.1 Mục đích thực nghiệm ..............................................................................82
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.............................................................82
3.2.1 Tổ chức thực nghiệm..............................................................................82
3.2.2 Nội dung thực nghiệm............................................................................83
3.2.3 Ý định sư phạm của đề kiểm tra.............................................................87
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm..................................................................88
3.3.1 Đáp án đề kiểm tra..................................................................................88
3.3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm................................................................91
3.4 Kết luận chương 3....................................................................................92
Kết luận chung.................................................................................................93
Tài liệu tham khảo...........................................................................................94

Danh mục các ký hiệu viết tắt
Dạy học

DH

Giải quyết vấn đề

GQVĐ

Giáo viên

GV

Học sinh

HS


Mặt khác qua PH và GQVĐ thì những thành phần của nhân cách được hình
thành và củng cố, như: tinh thần tiến công, đẩy lùi giới hạn của sự không hiểu
biết, trân trọng thành quả của lao động sáng tạo, nhận thức được cái đẹp,…
Với ý nghĩa trên, phương pháp PH và GQVĐ cần được nghiên cứu
nghiêm túc để vận dụng rộng rãi, trở thành một phương pháp chủ đạo trong
dạy học Toán ở nhà trường.


8
1.2 Một người được coi là có năng lực nếu trong một hoàn cảnh nhất
định người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết vấn đề nhanh
nhất và đạt hiệu quả cao nhất. Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực
toán học là khả năng vận dụng những kiến thức đã học đã được lựa chọn vào
giải bài tập toán. Vì thế, việc bồi dưỡng năng lực giải toán là rất cần thiết,
điều này không những giúp HS hứng thú học tập môn Toán nói riêng mà còn
giúp người học có những phẩm chất, năng lực giải quyết công việc trong
cuộc sống đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ đào tạo con người mới.
1.3 Thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán hiện nay ở các trường Trung học
phổ thông (THPT) còn nhiều vấn đề bất cập trong phương pháp giảng dạy
truyền thụ tri thức cho học sinh. Đã có nhiều áp dụng các phương pháp dạy
học (DH) như các phương pháp truyền thống cũng như các phương pháp DH
hiện đại vào thực tiễn giảng dạy nhưng vẫn chưa phát huy được tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của HS, HS vẫn còn thụ động trong việc tiếp thu các tri
thức khoa học, chưa phát huy hết đặc điểm nổi bật của môn Toán trong việc
giáo dục nhân cách cho HS. Để đáp ứng được những yêu cầu trên chúng ta
không chỉ dừng lại ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp DH mà cần
đi sâu vào những phương pháp DH cụ thể như những phương pháp để thực
hiện định hướng nói trên. Theo xu hướng đó hiện nay có rất nhiều phương
pháp, quan điểm DH mới đang được PH và nghiên cứu để áp dụng vào thực
tiễn giảng dạy, một trong các phương pháp đó là: “ Phát hiện và giải quyết

Với những lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: ‘‘Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12’’.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực giải toán,
năng lực GQVĐ và năng lực giải toán theo định hưóng PH và GQVĐ trong


10
DH toán chủ đề nguyên hàm, tích phân. Từ đó xây dựng các biện pháp sư
phạm phù hợp nhằm góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Tìm hiểu về phương pháp dạy học PH và GQVĐ trong môn toán.
3.2 Tìm hiểu lý luận về rèn luyện năng lực giải toán, tập trung vào việc
dạy học giải toán nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 và thực trạng dạy học chủ
đề này ở trường phổ thông.
3.3 Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực giải toán
chủ đề nguyên hàm, tích phân theo định hướng phương PH và GQVĐ.
3.4 Tiến hành thực nghiện sư phạm đối với phương án đề ra.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: tra cứu các tài liệu và văn bản có
liên quan đến đề tài, phân tích tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa.
4.2 Phương pháp điều tra, tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phương
pháp dạy học PH và GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân lớp 12 để rèn
luyện năng lực giải toán cho HS.
4.3 Phương pháp thực nghiệm
5. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành vận dụng phương pháp DH PH và GQVĐ vào DH chủ
đề nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 dựa trên những định hướng tư tưởng chủ
đạo nhất định thì sẽ giúp cho học sinh rèn luyện được năng lực giải toán và


trình toán phổ thông
Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đề

1.5

nguyên hàm, tích phân cho học sinh trường phổ thông hiện nay
Kết luận chương 1

Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyệnnăng lực giải toán
theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề
2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện năng lực giải toán qua việc hình thành kỹ
năng nhận dạng và thể hiện trong giải toán nguyên hàm, tích phân


12
2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong tính nguyên hàm,
tích phân
2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện năng lực giải toán qua phát hiện và giải
quyết vấn đề
2.4 Biện pháp 4: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy
học tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay
2.5 Kết luận chương 2
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích thực nghiệm
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4 Kết luận chương 3




những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo
đức của người lao động mới. [21,tr. 386]
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương diện cài
đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được
trình bày trong phần lý thuyết. [21,tr. 387]


14
Thứ ba, trên bình diện phương pháp toán học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
[21, tr 387]
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp toán học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của HS,... Một bài tập cụ thể có thể nhắm
vào một hay nhiều dụng ý trên.
1.1.2 Chức năng phát triển bài tập toán trong dạy học giải bài tập
toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho HS và
hình thức chủ yếu của hoạt động toán học ở phổ thông là hoạt động giải toán.
Theo Nguyễn Bá Kim [21, tr.386] các bài tập toán có các chức năng
sau:
-

toán) có tác dụng quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong phạm vi của Luận văn, chúng tôi chỉ giới thiệu cách khai thác chức
năng phát triển của bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư PH năng lực giải
toán cho HS. Qua đó khi học chủ đề nguyên hàm, tích phân HS có khả năng
phát triển những bài toán đã học thành những bài toán tương tự hay bài toán
tổng quát, từ đó HS có thể tự phân dạng hệ thống hóa bài tập một cách dễ
dàng từ đó nâng cao năng lực giải toán.
Ví dụ 1: Xét bài toán tìm nguyên hàm

Với biến đổi

∫ sin

3

f ( x ) = sin 3 x

.

xdx = ∫ sin 2 x.sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x)sin xdx

dàng giải với phép đổi biến số

t = cosx, dt = − sin xdx

đó thì HS cũng có thể giải được

∫ sin

5


xdx

với phép đổi biến

t = cosx, dt = − sin xdx

t = s inx, dt = cos xdx

.

.


16
Những bài tập dạng như trên vừa giúp HS hệ thống hóa kiến thức vừa giúp
HS phát triển năng lực tư duy tương tự hóa, khái quát hóa.
Các con đường khai thác chức năng phát triển của bài tập toán:
-

Theo quan điểm Nguyễn Bá Kim “dạy học trong hoạt động và bằng hoạt
động” và dựa vào nội dung DH, việc khai thác chức năng phát triển của bài

-

toán cần được thực hiện bằng những con đường sau:
Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS những hoạt
động toán học phức hợp. Đó là những hoạt động như chứng minh, giải bài

-

x2 + x + 1

dx

.

Nhìn vào bài toán ta có thể nhận thấy rằng

(2 x + 1)dx

là vi phân của

cho nên ta có thể giải bài toán bằng cách đổi biến số
t = x2 + x + 1

.

x2 + x + 1

t = x2 + x + 1

hay


17
Khi nghĩ đến một bài toán tương tự thì bài toán cũng có thể giải với căn
1

I=


Đối với bài tập nguyên hàm, tích phân thì với những cách đổi biến số khác
nhau hay lựa chọn phương pháp tính khác nhau thì lời giải sẽ khó dễ ngắn dài
khác nhau. Vì vậy sau khi giải xong cần yêu cầu HS phân tích kĩ lời giải, các
cách giải để lựa chọn lời giải thích hợp.


18
1

I =∫

Ví dụ 3: Tính tích phân

0

x3
x2 + 1 + 1

dx

.

Bài toán này có thể giải bằng hai cách đổi biến số:
2

t = x2 + 1 ⇒ I = ∫
1

Cách 1. Đổi biến


− t ) dt

1

. Với cách giải này thì lời giải

ngắn gọn nhất đảm bảo yêu cầu ngắn gọn hợp lý.
1

I = ∫ x ln ( 1 + x 2 ) dx

Ví dụ 4: Xét bài toán tính tích phân

0

Khi nhìn vào bài toán này tùy vào cảm nhận hay dự đoán của HS có thể
làm theo hai hướng:

Hướng 1: Vì hàm số sau dấu nguyên hàm có chứa cả
tính tích phân bằng cách đổi biến số

t = 1 + x2

.

x

và

x2

1
ln tdt
2 ∫1

. Đây là bài toán cơ bản của phương pháp tích phân từng

dt

u = ln t
du =
⇒
t

dv = dt v = t


2

. Suy ra

1
1 t
1
2 ln 2 − 1
I = t.ln t |12 − ∫ dt = ln 2 − t |12 =
2
21t
2
2


1+ x
2
0

Phân tích tích phân

I1

ta thấy hàm số sau dấu nguyên hàm chứa

theo có thể tính tích phân
⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
2

dt
2

.

, đổi cận

I1

bằng cách đổi biến số

x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2

2

t − 1 dt 1

ln 2 1 ln 2 2 ln 2 − 1
− +
=
2 2 2
2

Vậy
.
Với hai cách giải trên thì lời giải cách 1 đơn giản ngắn gọn hơn.
1.1.3 Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Pôlya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
-

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức đề bài để hiểu rõ nội dung bài toán;
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.[21,
tr.387]
Để làm những việc đó thì GV có thể sử dụng các câu hỏi để HS tìm hiểu đề
bài chẳng hạn:
- Đâu là cái phải tìm, Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều

-

kiện có trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
Hay vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó
thành công thức hay không?


hơi khác?
Hay xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái

-

chưa biết hay có cái cho biết tương tự.
Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lí

-

nào đó không?
Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng
nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp
giải bài toán đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng

-

được bài toán đó hay không?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nữa?

-

Quay về những định nghĩa.
Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì thử giải một bài toán có liên
quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp
riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không?
Hay giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác
định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra
nhưng điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không?


-

-

2.
Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

-

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
GV có thể sử dụng câu hỏi: Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó
cho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào
khác hay không? [21, tr.393-395].
2

I =∫
1

dx
x. x 2 + 1

Ví dụ 4: Phân tích tìm lời giải bài toán tính tích phân:
.
Bước 1. Tìm hiểu đề bài.
Hàm số sau dấu tích phân có chứa căn thức và không thể tính nguyên hàm
ngay theo công thức được. Cần biến đổi hàm số hoặc áp dụng phương pháp tính

t = 1+ x

2

. Nếu ta có thể biến đổi

ta có thể tìm được nguyên hàm của

f (t )

x 1 + x2

về dạng

f (t )dt

mà

thì bài toán giải được theo cách này.

Bước này có thể hiểu là thiết lập mối quan hệ của những lượng chưa biết với ẩn.
Thực hiện biến đổi

t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ tdt = xdx

gặp khó khăn vì ta chưa có

xdx

. Vì vậy ta phải biểu diễn


dt
−1

2

suy ra
. Tóm lại ta đưa bài toán về dạng
.
Tới đây ta có một bài toán mới nên phải lặp lại quá trình gồm 4 bước của Pôlya.
Với câu hỏi bài toán này giống với bài toán nào đã làm? Ta có thể biến đổi đưa
về bài toán đã biết đó hay không?
1
1
=
t − 1 (t − 1)(t + 1)
2

Ta có
dx

. Nếu mẫu là bậc 1 thì ta có thể áp dụng công thức

1

∫ ax + b = a ln ax + b + C

. Từ đó dự đoán biến đổi bài toán để sử dụng công thức

trên.

Cách 2: Để tạo ra một đa thức bậc hai ta có thể nhân hai biểu thức bậc 1 với
nhau, còn để tạo ra một phân thức có mẫu bậc hai ta cũng có thể nhân hai phân
thức có mẫu bậc 1 hoặc cộng hai phân thức có mẫu bậc 1. Với bài toán này ta
chọn cách cộng hai phân thức bậc 1 vì ta có nguyên hàm của tổng và không có
nguyên hàm của tích. Như vậy để giải quyết vấn đề ta phải tìm hai số

cho

a
b
1
+
=
t − 1 t + 1 (t − 1)(t + 1)

suy ra

Sử dụng đồng nhất thức ta được

( a + b)t + a − b
1
=
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)

1

a=
a + b = 0 
2

với

Bước 3. Trình bày lời giải.

Đặt

a, b

. Bài toán trở thành

.

.


25
tdt
5

I=

t 2 −1 =
t 2 − 1.t

∫

2

=


∫ ax

của những hàm chứa căn thức và cách giải dạng toán
thức

ax 2 + bx + c

2

α

dx
+ bx + c

trong đó tam

có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán tương tự, mở rộng trong bài toán trên thì ứng với mỗi cách
chọn

x

là một hàm sẽ cho ta một bài toán tương tự:
2

Chẳng hạn chọn

x = t +1