trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------o0o----------

NGUYỄN THỊ THU HÀ

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH
ĐIỂM POISSON

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2008

-1-


Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………….

1

Bảng kí hiệu…………………………………………………………

3

Chương 1: Quá trình điểm Poisson………………………………..


21

2.1. ước lượng cường độ………………………………………

21

2.2. Kiểm định giả thuyết……………………………………...

23

2.2.1. Kiểm định giả thuyết về tính dừng của quá trình điểm
Poisson………………………………………………………………..

23

2.2.2. Kiểm định giả thuyết về quá trình Poisson……………...

24

Kết luận……………………………………………………………...

34

Tài liệu tham khảo………………………………………………...

35

-2-



và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này.
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi
những thiếu xót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hà

-4-


Bảng kí hiệu
d

: Không gian Ơclít d chiều

Ax

:  {y  x y  A}

b(a,r)

:  {x   d : x  a  r}

d

: Thể tích hình cầu đơn vị trong  d

( , A, P) : Không gian xác suất cơ bản


N

(1.1)
Định nghĩa 1.3. Quá trình điểm  hoặc phân phối P của nó được gọi là:
 dừng (hay thuần nhất) nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép
dịch chuyển, tức là   x n  và x  x n  x có cùng phân phối với
x   d .

 đẳng hướng nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép quay, tức là
 và r  có cùng phân phối với mọi phép quay r quanh gốc.

Một quá trình điểm vừa dừng vừa đẳng hướng được gọi là bất biến
chuyển động (motion – invarriance).

-6-


Định nghĩa 1.4. Cho không gian xác suất ( , A, P) và X là không gian tôpô
Hausdorff compact địa phương. Một độ đo ngẫu nhiên trên X là ánh xạ đo
được  : ( , A, P)  (M, M )
Trong đó: M = M( X ) là tập hợp tất cả các độ đo  hữu hạn địa phương trên
( X , B) và M là  - đại số nhỏ nhất trên M sao cho tất cả các ánh xạ
  (B) đo được với mọi B B.

Chú ý 1.1. Quá trình điểm có thể được xem như tập ngẫu nhiên của các điểm
rời rạc hoặc như một độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi vào trong những miền
không gian. Tương ứng với đó ta có kí hiệu sau:
 x  khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên và trong trường hợp
này ta kí hiệu   x n  .
 (B)  n khẳng định tập B chứa n điểm của  .

ngẫu nhiên khuếch tán trên S và với c > 0 cố định bất kì. Khi đó 1 và  2 có
cùng phân phối nếu và chỉ nếu E ec1 (B)  E ec2 (B) , B  S* .
3. Giả sử 1 là quá trình điểm đơn giản hoặc là độ đo ngẫu nhiên
khuếch tán trên S và  2 là một độ đo ngẫu nhiên bất kì trên S . Khi đó 1
và  2 có cùng phân phối nếu và chỉ nếu 1(B)  2 (B) , B  S* .
Nhận xét 1.1. Từ định lý trên nếu  là quá trình điểm đơn giản thì phân phối
P của nó được xác định duy nhất bởi các giá trị của k , K K - là họ tất cả
các tập compact trong  d .
Định nghĩa 1.7. Quá trình điểm  được gọi là quá trình điểm Poisson với
cường độ  ( 0     ) trên  d nếu thoả mãn các điều kiện sau:
d

 Nếu B1,B2,...,Bn  B và Bi  Bj   với i  j thì các biến ngẫu
nhiên   B1  ,   B2  ,...,   Bn  là độc lập.
 Với mọi B B giới nội thì   B có phân phối Poisson với trung bình
d

.d  B .

-8-


Tính chất 1.1. Quá trình điểm Poisson định nghĩa như trên là bất biến chuyển
động.
Thật vậy, với mọi B B giới nội thì   B có phân phối Poisson với
d

trung bình .d  B . Mặt khác, x   d thì x  B    Bx  có phân phối
Poisson với trung bình .d  Bx   .d  B (vì d là độ đo Lebesgue bất
biến đối với phép dịch chuyển). Do đó  là dừng. Hơn nữa, từ tính bất biến

-9-

 1-


khi d  B đủ nhỏ.
Nhận xét 1.2. Giả sử B là tập Borel với d  B =1. Khi đó E   B   . Như
vậy  chính là số điểm trung bình của  trong tập có thể tích đơn vị.
Định nghĩa 1.7. Độ đo cường độ  của quá trình điểm  được xác định bởi
 (B)  E (B)   (B)P(d), B Bd

(1.4)

Tính chất 1.3. Nếu  là quá trình điểm dừng thì độ đo cường độ  thoả
mãn (B)  .d (B),   0 .
Chứng minh
Vì  là dừng nên x   d và B Bd ta có:
 (B)  E (B)  E  x (B)  E (Bx )  (Bx ) .

Suy ra  là bất biến dịch chuyển. Do vậy, theo tính chất của độ đo tồn tại
hằng số   0 sao cho (B)  .d (B), B Bd.



Hằng số  được gọi là cường độ của  . Nếu ta chọn B sao cho

d (B)  1 thì  được hiểu là số điểm trung bình của  trên một đơn vị thể
tích. Ta luôn giả thiết 0     .
Định nghĩa 1.9. Hàm phân phối tiếp xúc HB (đối với tập tiêu chuẩn B ) của
quá trình điểm  được xác định bởi


 f (x),   f (x)P(d) hoặc  f (x)(dx)P(d) .

x

x

 Số điểm của  rơi vào B được viết như sau:

(B) 

 1B (x) và trung bình của nó là

x

E (B)   (B)P(d)  E

 1B (x) =   1B (x)P(d)
x

x

 1B (x)(dx)P(d) .
Định nghĩa 1.10. Độ đo mômen cấp n của quá trình điểm  kí hiệu là

(n) xác định trên B

nd

 f (x1, x 2 ,..., x n )



+ Với n = 1:
(1) (B)  E (B)  (B), B  Bd.

+ Với n = 2:
(2) (B1  B2 )  E ((B1).(B2 )), B1,B2 Bd.

Var ((B))  (2) (B  B)  ((B))2 , B  Bd.
Cov ((B1), (B2 ))  E ((B1).(B2 ))  E (B1). E (B2 )
= (2) (B1  B2 )  (B1).(B2 ), B1,B 2 Bd.
 Nếu  là quá trình điểm dừng thì (n) là bất biến dịch chuyển, tức là
(n) (B1  B2  ...  Bn )  (n) (B1  x)  ...  (Bn  x), x   d .

Định nghĩa 1.11. Độ đo mômen giai thừa cấp n (factorial moment measure)
của quá trình điểm  kí hiệu là (n) xác định trên Bnd bởi

 f (x1, x 2 ,..., x n ) 

(n)

(d(x1,..., x n ))  

#



x1,x 2 ,...,x n 

f (x1, x 2 ,..., x n )Pd().

x1

-12-

#



1B1 (x1)1B2 (x 2 ).

x1,x 2


 Nếu B1  B2  ...  Bn thì (n) (Bn )  E (B)n ,
còn (n) (Bn ) =E (B)((B)  1)...((B)  n  1).
Đại lượng trong ngoặc của kì vọng là giai thừa cấp n của biến ngẫu nhiên
(B) , vì vậy, người ta dùng thuật ngữ “độ đo mômen giai thừa”.
1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson

Tính chất 1.4. Nếu B1,B2,...,Bk là các tập Borel giới nội rời nhau thì ta có
P    B  n1,   B2   n2,...,   Bk   nk 


1
i 1ni 1 B1  ...d  Bk 
n

k

n1 ! n2 !...nk !


i

ni !

-13-


k
1  B1  1 ... d  Bk  k
n
 k


i
 i 1
exp    i  d  Bi  
n

n



n1 ! n2 !...nk !



i 1

(1.5)


(1.8)

với mọi tập con Borel A trong W.
Định nghĩa 1.13. Quá trình điểm   1, 2,..., n được gọi là quá trình
điểm nhị thức của n điểm trên tập compact W   d nếu thoả mãn:
 1, 2,..., n là độc lập
 1, 2,..., n có phân phối đều trong W, nghĩa là với mỗi i 1  i  n thì

-14-


 A 
P  i  A   d
d  W 

(1.9)

Ta kí hiệu quá trình điểm nhị thức của n điểm trong tập compact W là

 n

 n

 n

 W . Với mỗi tập con Borel A của W ta đặt  W  A  là số điểm của  W
rơi vào A.

 n

 A 
 n
với tham số n   W  W  và p  d
.
d  W 
2. Xác suất trống

 d  W   d  K 
 n
k  P   W  K   0  


   W  n
d

K là tập con compact của W.

-15-

n

(1.10)


3. Nếu A1, A 2,..., A k là các tập Borel rời nhau và A1  A 2  ...  A k =
W và n  n1  n2  ...  nk thì

 n
 n
P   W  A1   n1,...,  W  A k   nk 




=



P   K   0 . P   W K   n



P    W   n
d  W    d  K 

 d  W 

n

n

.

Định lí 1.3. Cho W là tập đo được giới nội trong  d . Giả sử N là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson có trung bình là .d  W  với 0     và

-16-


X1, X 2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong W. Khi
đó tập ngẫu nhiên

k!

k

l
   d  B1   1   d  Bn1  
 ... 



k
,k
,...,k

W


 1 2
n1   d

 d  W  

n1

   d  Bi     B  k1    B  k n1
d
1
d
n1
 e i 1

và
d
2
   B1  B2   E   B1  .  B2  , B1, B2  B
d

d

d

lần lượt là các độ đo trên (  d ,B ) và (  d x  d , B xB ) tương ứng.
Chứng minh
d

Theo định nghĩa quá trình điểm Poisson thì với mỗi B  B thì

  B  E   B = .d  B

(1.12)

Như vậy,  . là tích của hằng số  với độ đo Lebesgue d do đó  . là
d

d

một độ đo trên (  d ,B ) . Mặt khác, với B1,B2  B thì ta có

B1   B1  B2    B1 \ B2  ,
B2   B1  B2    B2 \ B1 
Sử dụng tính chất  như một độ đo ta có

Nhận xét 1.4. Nếu  được xem như một độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi
2
vào miền con của không gian thì khi đó   được biểu diễn như kỳ vọng của

tổng
2
   B1  B2   E   x,y  : x   B1,y   B2

= E  1B  x  .1B  y 
1
2
x,y

Đặt
2
   B1  B2   E   x,y  : x   B1,y   B2,x  y



= E  1B  x  .1B  y 
1
2
x,y



ở đây  là kí hiệu của tổng lấy trên tất cả (x,y) với x  y . Từ đó ta có
2
2
   B1  B2      B1  B2   E

2
   x1,x 2    2 với x1,x 2   d .

2
ý nghĩa của   : Nếu B1,B2 là hai tập Borel rời nhau có thể tích vô hướng

cùng bé dV1, dV2 và nếu x1  B1, x2  B2 thì
2
   x1,x 2  dV1dV2   2.dV1.dV2

là xác suất để  có một điểm trong mỗi tập B1 và B2 .
n
Đối với quá trình điểm Poisson dừng, độ đo mômen cấp n   cũng được

n
xác định như trong Định nghĩa 1.10 và độ đo mômen giai thừa cấp n  

n
cũng được xác định như trong Định nghĩa 1.11. Hơn nữa   có dạng
n
   B1  B2  ...Bn    n d  B1  ... d  Bn 

(1.14)

n
n
Với n lớn thì mỗi liên hệ giữa   và   là phức tạp. Ví dụ n = 3 thì
3
    B1  B2  B3   3 d  B1   d  B2   d  B3    2 d  B1   d  B2  B3 


Chứng minh
Vì biến cố  0   có xác suất 0 nếu  là dừng, do đó cần thận trọng
khi tính xác suất có điều kiện theo Định nghĩa 1.14. Ta xẽ tính xác suất có
điều kiện này bằng cách tính giới hạn. Với   0 đủ bé nhỏ hơn r thì





D  r   P   b 0,r  \ b 0,     0   b 0,     1
là hoàn toàn xác định vì









P   b 0,r    1  dd.exp dd  0
Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện và tính chất của quá trình
điểm Poisson ta có

D  r   1-






 1  exp(dr d ), r  0

So sánh kết quả trên với (1.16) ta có D(r)  HS r  , r  0 .
Trong trường hợp d = 2 thì trung bình và phương sai của D cho bởi
1
2 
1
1
2D 

. 4
mD 

1.5. Phân phối khoảng cách giữa các biến cố

Giả sử có mẫu điểm gồm n vị trí của n biến cố được quan sát trong
miền W. Gọi T là khoảng cách giữa hai biến cố bất kỳ. Kí hiệu H là hàm phân
phối khoảng cách giữa các biến cố. Nếu mẫu quan sát về quá trình Poisson
dừng  thì n biến cố trong W sẽ độc lập, có phân phối đều. Trong trường
hợp này phân phối của T đã được Bartlett (1964) chỉ ra khi W là hình vuông
hoặc hình tròn.
 Nếu W là hình vuông đơn vị, phân phối của T là

 2 8t 3 t 4
 , 0 t 1
t 

3
2
H(t)  

hàm phân phối lân cận gần nhất D  x  , tức là F(x)  1  exp{ x2} , x  0 .

Chương 2
Phân tích thống kê quá trình điểm poisson
Trong chương này, ta xét bài toán đó là dựa trên mẫu quan sát về quá
trình điểm Poisson từ đó ước lượng các đặc trưng và nhận dạng quá trình.
2.1. ước lượng cường độ

Bài toán: Cho  là quá trình điểm Poisson trong  2 với tham số
cường độ  (chưa biết). Giả sử  được quan sát qua cửa sổ W. Vấn đề đặt ra
là dựa trên các quan sát đó tìm ước lượng  cho tham số  .
 Dựa vào tính chất của quá trình điểm Poisson với mỗi tập Borel giới
nội B thì (B) có phân phối Poisson với trung bình .2 (B) . Khi đó ta có
một ước lượng cho  là

(W)
 
 2 (W)
Ta có  là ước lượng không chệch cho  . Thật vậy,
E  = E

 (W)
(W)
1
. E (W)  2

 .
 2 (W)  2 (W)
2 (W)



 (W) có phân phối
 Khoảng tin cậy cho tham số  : Vì (W)  
2
Poisson. Nếu (W) lớn, dựa trên (2.1) với độ tin cậy 100(1 - ) % khoảng
tin cậy cho  là
2

  2

  2



(W)


(W)



(W)

1




2
 2