Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
****o0o****

đinh thị len

ứng dụng phép biến hình để giải bài toán
quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học
T.S nguyễn năng tâm

Hà nội - 2008

-1-


Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
****o0o****

đinh thị len

ứng dụng phép biến hình để giải bài toán
quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học

nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy
cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Các kết quả trong bản khoá luận này không trùng với kết quả của các
tác giả khác và các kết quả đó là chân thực.

Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên

Đinh Thị Len

-4-


Mục lục
Nội dung

Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu
Chương 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản

1

1.1. Phép biến hình

1

1.2. Mặt phẳng định hướng, góc định hướng


2.4. Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích

17

2.5. Phép quay với bài toán quỹ tích

23

2.6. Phép vị tự với bài toán quỹ tích

29

2.7. Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích

36

Kết luận

42

Bài tập luyện tập

43

Tài liệu tham khảo

48

-5-

-6-


Các bài toán quỹ tích trong mặt phẳng giải bằng phép biến hình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu SGK, các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến nội
dung này.

-7-


Chương 1 : Hệ thống các kiến thức cơ bản
1.1. Phép biến hình
1.1.1. Định nghĩa
Phép biến hình của một mặt phẳng là một song ánh từ mặt phẳng vào
chính nó .
1.1.2. Phép biến hình đảo ngược
Cho phép biến hình f : E2  E2. Khi đó ánh xạ ngược f-1 của f cũng là
một song ánh từ E2 vào E2 nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng . Ta
gọi phép biến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f ( hay
là phép nghịch đảo của phép biến hình f ) .
1.1.3. Phép biến hình tích
Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f và
g là một song ánh của mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích đó cũng là phép biến
hình của mặt phẳng. Ta nói phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và
g. Kí hiệu: g  f .
1.1.4. Phép biến hình đối hợp
Cho phép biến hình f : E2  E2 được gọi là phép biến hình đối hợp nếu
f2 = id E2 hay f = f-1.
1.1.5. Phép biến hình một đối một

trùng với vị trí của đường thẳng b. Góc định hướng đó kí hiệu (a,b), trong đó
a là cạnh đầu, b là cạnh cuối của góc.
Số đo của góc đó là dương và âm tuỳ theo chiều quay của a xung
quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm của mặt phẳng. Do đó nếu
(a,b)=  thì (b,a)=-  .
Góc định hướng của hai đường thẳng a,b xác định sai khác một góc k
radian, (a,b)=  + k (  tính bằng radian). Kí hiệu (a,b)=  ( mod  ).

-9-


1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng
1.3.1. Định nghĩa
Phép biến hình của mặt phẳng E2 bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ
ý được gọi là phép dời hình, nghĩa là với mỗi M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’,
f(N)=N’ thì đều có M’N’=MN .
1.3.2. Tính chất
- Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó .
Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến
một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn
bằng nó, trong đó tâm biến thành tâm.
- Phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một
phép đồng nhất .
1.3.3. Một số phép dời hình cơ bản
1.3.3.1. Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa
N’


Trong E2, cho đường thẳng d, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M
thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là trung trực của MM’ được gọi là
phép đối xứng qua d và kí hiệu Đd hoặc Sd .Đường thẳng d được gọi là trục
đối xứng.
b. Tính chất

- 11 -


- Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy
đủ các tính chất của phép dời hình .
- Phép đối xứng trục có duy nhất một đường thẳng bất động .
- Cho hai đường thẳng phân biệt a , b . Gọi c là ảnh của b qua phép đối
xứng trục Sa . Khi đó phép biến hình S = Sa .Sb .Sa là phép đối xứng qua
đường thẳng c .


v

1.3.3.3. Phép tịnh tiến
a. Định nghĩa


Trong E2, cho vectơ v , phép biến

M

M’



O

M’


 
thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và ( OM , OM ) =  , được gọi là phép quay
quanh điểm O và góc quay là  . Kí hiệu : QO hay Q(O,  ) .
b. Tính chất
- Phép quay QO là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất
của một phép dời hình .
- Nếu  =k2  thì QOk2  = i d E2
Nếu  =(2k+1)  thì QO =ĐO
Nếu   k2  thì QO có điểm bất động duy nhất là O .
- ( QO ) -1 = QO .
- QO : a  a’ thì ( a , a ' ) = 
'
- QO . QO' = Q
O

- Cho hai phép quay QO11 và QO22 với O1  O2
Nếu  = 1 + 2  k2  thì
Q = QO22  QO11

a

là một phép quay

với góc quay  , tâm quay O được


Nếu  =k2  thì tích QO22  QO11 là một phép tịnh tiến.
1.4. Một số phép biến hình đặc biệt

- 13 -

b

O

1
2

O1


1.4.1. Phép vị tự
a. Định nghĩa
Trong E2 cho
điểm O cố định và

M’

O

M

M’

O



b. Tính chất
- Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần
đoạn thẳng đầu , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR .
- Bảo tồn độ lớn của góc phẳng .
- Tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép
dời hình và một phép vị tự là một phép đồng dạng .
- Trong mặt phẳng mọi phép đồng dạng khác phép đẳng cự có duy nhất
một điểm bất động.
1.5. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là
một hình) có tính chất  cho trước với những điều kiện nhất định .
Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình ( H ) nào
đó, ta phải thực hiện hai bước :
Bước 1 : (Phần thuận) Chứng minh điểm M có tính chất  thuộc (H).
Bước 2 : (Phần đảo) Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có tính
chất  .

- 15 -


Chương 2 : ứng dụng phép biến hình để giảI bài

toán quỹ

tích
2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình
Giả sử f : E2  E2 là một phép biến hình của mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm
di động trên (O), M khác A, B . Hai đường tròn (O1) và (O2) qua M theo thứ
tự tiếp xúc với AB tại A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai của (O 1) và (O2) .
Tìm tập hợp N khi M di động trên (O) .
Lời giải
M
O2

O1

.O
N

I

A

B

P

Gọi I là giao điểm của MN và AB
P là giao điểm của MN với (O)
Ta có : IA2 = IM . IN = IB2

(1)

 IA = IB  I là trung điểm của AB .Mà A, B cố định  I cố định. Mặt
khác, ta có : IP . IM = IA . IB = - IA 2 (2)
Từ (1) ,(2) suy ra : IP . IM =- IM . IN

  ICA
 ( so le trong )
HBI
1
BI = IC

 A
 IC ( đối đỉnh )
BIH
1

 HI = A1 I  ĐI : A1  H .
Do điểm A thay đổi trên đường tròn (O;R) nên A1 thay đổi trên (O;R)
Do đó quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua
phép đối xứng tâm I .
Kết luận : quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R)
qua ĐI
Ví dụ 3. Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB , ĐC . Với M là điểm bất kì,
gọi M1 là ảnh của M qua ĐA; gọi M2 là ảnh của M qua ĐB ; gọi M3 là ảnh của
M qua ĐC . Tìm quỹ tích điểm M3 khi M chạy trên (O) hay đường thẳng d.

- 18 -


Lời giải
Do ĐB : M1  M2  B là trung
điểm của M1M2

M3


 BC = AD và BC//AD ( với D là trung điểm của MM3 )
Do A, B, C cố định  D cố định
Ta có ĐD : M  M3 .
Do đó nếu M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích M3 là đường tròn
(O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D .
Nếu M chạy trên đường thẳng d thì quỹ tích M3 là ảnh của đường
thẳng d qua ĐD .
Ví dụ 4. Cho  ABC . Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA , AB . Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho ảnh của M
trong các phép biến đổi ZA' , ZB' , ZC' nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
Lời giải
Ta kí hiệu M1, M2 lần lượt là ảnh của M trong phép đối xứng tâm A’ và
B’ .



Khi đó ta có : CM = - AM 2 = - BM1

- 19 -


A

M2
B’
M
A’

C

d

x
A1

A2

B1
O2

O1

B

A
O
x

’

M

Gọi giao điểm thứ hai của B1 A1 với đường tròn ( O1 ) là A2. Kẻ tiếp
tuyến chung xx’ của (O) và (O1) tại A, ta có :

 B B  ABM



A

M
P1

- 21 -

A
d1

1
2


Gọi Pi là điểm đối xứng với P qua di ,i=1,2 . Vì P   nên suy ra :
Pi   i = Đ d i (  )
Từ đó , ta có : (  1,  ) = 2(  1, d1)
=2(d1,  ) (mod  ) (1) (  ,  2) = 2(d2,  2)
= 2(  ,d2) (mod  ) (2)
Theo hệ thức Chasles, từ (1) ,(2)
 (  1,  2) = 2(d1, d2) (mod  )

= 2  =  (mod  )

(3)

Trong đó (d1, d2) =  (mod  )
Vì  1   2 = M và Pi   i (i=1,2)
 (3)  (MP1,MP2) = 2(d1 ,d2) (mod  )

(i)


Ví dụ 3. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) , bán kính R cố định. Tìm
quỹ tích trực tâm H của ABC khi A di động trên (O).
Lời giải
Giả sử đường cao AH cắt (O,R) tại A .

 C
 (  1 AB)

Ta có A
1
1
2

A

1  B
 1  90o
Mặt khác A
1  B
 2  90o
C
1  B
2
 B

Ta có BHI = B A I

.

H

M qua BC, CA và AB.
Tìm tập hợp các điểm M1, M2. M3 khi M di động trên đường tròn ấy.
Lời giải
Ta có M và M1 đối xứng nhau qua BC
Do đó khi M di động trên đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
thì M1 di động trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) đã cho qua phép đối
xứng trục BC. Ta kí hiệu đường tròn chứa M1 là (O1).

- 23 -


A

O3

. O2

.

M2

M1
B

C

M3
M

.

Lời giải

 và A
M cùng hướng
a) Trường hợp 1: AM

M

N

A

B
I
’

O

.

’

A

J

O

’


2

Vậy khi M và M’ di động thì tập hợp điểm J là vòng tròn (O’,r).
Mặt khác, xét tam giác MM’N có IJ là đường trung bình.


 1 

1
1
1 '
'
'
'
 IJ= MN  OO và IJ// MN// O O  IJ =  O O hay JI  O O
2
2
2
2

- 25 -

Trích đoạn Bài tập luyện tập

---