Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu
được rất nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập
mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán - những người đã luôn chăm lo, dìu dắt chúng em
trưởng thành như hôm nay.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th. S
Nguyễn Thị Kiều Nga, cô đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt
quá trình hoàn thành khóa luận của mình.
Do lần đầu tiên em được làm quen với công tác nghiên cứu khoa
học. Hơn nữa do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế
nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự giúp
đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Cao Thị Hiền

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.6 Đồng cấu nhóm ........................................................................... 8
1.7 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm .............................. 10
Chương 2: Một số cấu trúc nhóm đặc biệt........................................ 11
2.1 Nhóm hữu hạn ........................................................................... 11
2.2 Nhóm xyclic .............................................................................. 28
2.3 Nhóm tự do ............................................................................... 34
2.4 Nhóm giải được ......................................................................... 38
2.5 Một số bài tập ............................................................................ 43
Kết luận............................................................................................... 52
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 53

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

LỜI MỞ ĐẦU
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong Toán học, nó
góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay như cầu
học hỏi Toán học nói chung và đại số nói riêng của các thầy cô giáo dạy
Toán, các bạn sinh viên khoa Toán cũng như nhiều người quan tâm đến
môn Toán, ngày càng tăng.
Đối tượng chủ yếu của đại số là các cấu trúc nhóm, vành, trường,…
Trong đó nhóm là cấu trúc cơ bản, quan trọng, là cơ sở để xây dựng các
cấu trúc khác. Các cấu trúc nhóm có nhiều ứng dụng trong các ngành
Toán như đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng,…
Vì lý do đó cùng với sự đam mê và lòng yêu thích Toán học em đã
mạnh dạn chọn đề tài “Một số cấu trúc nhóm đặc biệt” để làm khóa

ii) Tồn tại e  X : xe  ex  x , với mọi x  X
iii) Với mỗi phần tử x  X , luôn tồn tại x '  X sao cho:

xx '  x ' x  e
b) Chú ý
- Phần tử e trong ii) được gọi là phần tử đơn vị của X .
- Phần tử x ' trong iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của x trong
X , kí hiệu x  1

- Nhóm X được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phép
toán hai ngôi trên X thỏa mãn thêm điều kiện xy  yx , với mọi x, y  X
c) Tính chất
Cho X là một nhóm. Khi đó:
1) Phần tử đơn vị e của X được xác định duy nhất.
2) Mỗi phần tử x  X , tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x1
3) Trong nhóm có luật giản ước, với mọi a, b, x  X :
xa  xb  a  b
ax  bx  a  b

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

-2-


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

4) Trong nhóm X , các phương trình ax  b (hoặc ya  b ) có
nghiệm duy nhất x0  a 1b (hoặc y0  ba 1 )


-3-


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

1.1.3. Tập sinh của nhóm
a) Định nghĩa
Cho X là một nhóm, U  X
Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con bé nhất
của X chứa U , gọi là nhóm con sinh bởi tập U , kí hiệu U .
Trong trường hợp U  X thì U được gọi là tập sinh của nhóm

X và khi đó X được sinh ra bởi U .
 Nếu U hữu hạn, U  X thì X gọi là nhóm hữu hạn sinh.
 Nếu U  a1 , a2 ,..., an  thì viết a1 , a2 ,..., an

b) Nhận xét
Giả sử X  U
+) Các phần tử của X có thể viết (không duy nhất) dưới dạng
u1 u2 ... un với n  0, ui U (i  1, n),  i  1
1

n

2

+)  e và S  S nếu S là một nhóm.

là tích trực tiếp của hai nhóm A và B . Kí hiệu A  B
ii) Tích trực tiếp của hai nhóm A và B cũng được gọi là tổng
trực tiếp của hai nhóm này. Kí hiệu A  B
b) Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm
b.1) Định nghĩa
i) Giả sử Gi là một nhóm nhân với mỗi i  I . Trên tập tích:

 G  (a )
i

i iI

| ai  Gi , i  I 

iI

ta định nghĩa phép toán nhân như sau (ai )iI (bi )iI  (aibi )iI . Khi đó ta
được một nhóm, được gọi là tích trực tiếp của họ nhóm (Gi )iI . Kí hiệu

G

i

iI

ii) Tổng trực tiếp của họ nhóm (Gi )iI , kí hiệu

G

i

2) ( A  B )  C  A  ( B  C )
3) Có thể đồng nhất A với nhóm con A  eB  của A  B nhờ đơn
cấu sau:
A  A B
a  ( a , eB )

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

-5-


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Tương tự, có thể đồng nhất B với nhóm con eA   B nhờ đơn cấu

B  A B

sau:

b  (e A , b )

4) Do có tính chất trên nên mỗi phần tử của A giao hoán với mọi
phần tử của B trong A  B

ab  (a, eB )(eA , b)  (a, b)  (eA , b)(a, eB )  ba
5) A  B  e trong A  B
6) Nhóm A  B được sinh bởi tập A  B . Tức là A  B  A  B
7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của A  B

R  x    y  X | yx 1  H    y | h  H : y  hx  Hx

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

-6-


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Tập hợp xH được gọi là lớp ghép trái của H trong X và tập hợp
Hx được gọi là lớp ghép phải của H trong X . Một phần tử trong một

lớp ghép được gọi là một đại diện của lớp ghép đó.
b) Nhận xét
Hai lớp ghép trái của A hoặc trùng nhau hoặc không có phần tử
nào chung, các lớp ghép phải cũng vậy. Như thế nhóm X được phân
hoạch thành hợp rời của các lớp ghép trái (tương ứng các lớp ghép phải)
1.4. Nhóm con chuẩn tắc và các điều kiện tương đương
a) Định nghĩa
i) Cho X là một nhóm, A là một nhóm con của nhóm X . Khi đó

A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X nếu với mọi x  X và
với mọi a  A thì x 1 ax  A .
ii) Nhóm X được gọi là một nhóm đơn nếu nó không có nhóm con
nào khác e và X.
b) Điều kiện tương đương
Cho A là một nhóm con của nhóm X . Khi đó ta nói A là nhóm
con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi xA  Ax , với mọi x  X


nhóm thương của nhóm X trên nhóm con chuẩn tắc A.
b) Chỉ số của nhóm con
Giả sử S là nhóm con (không nhất thiết chuẩn tắc) của nhóm X.
Lực lượng của tập X

S

các lớp ghép trái của S trong X được gọi là chỉ số

của nhóm con S trong nhóm X và được kí hiệu là  X : S 
1.6. Đồng cấu nhóm
1.6.1. Định nghĩa đồng cấu nhóm
Cho X và X  là các nhóm. Ánh xạ  : X  X  được gọi là một
đồng cấu nhóm nếu   xy     x   y  , với mọi x, y  X .
1.6.2. Tính chất
a) Tính chất 1
Cho K là một nhóm con chuẩn tắc của X . Phép chiếu chính tắc:

:X XK
x  xK
là một toàn cấu nhóm với hạt nhân là K.
b) Tính chất 2 (Định lý về đồng cấu nhóm)
Giả sử  : X  H là một đống cấu nhóm. Khi đó tồn tại duy nhất
một đẳng cấu nhóm  : X

Ker

 Im làm giao hoán biểu đồ sau:


là phép chiếu chính tắc. Điều kiện cần

và đủ để có một đồng cấu nhóm   : X

 H sao cho      K là

K

K  Ker . Khi đó   được xác định duy nhất.

d) Tính chất 4
Giả sử  : X  X  là một đồng cấu nhóm, còn K  là một nhóm
con chuẩn tắc của X  và K   1  K   . Khi đó K cũng là một nhóm con
chuẩn tắc và có duy nhất một đơn cấu nhóm  : X

K

 X   làm giao
K

hoán biểu đồ sau:


X

X

K

 K


K

 H K  .

f) Hệ quả 2
Giả sử H và K là các nhóm con của nhóm X . Nếu H được chứa
trong nhóm chuẩn hóa của K trong X thì H  K là một nhóm con

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

-9-


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

chuẩn tắc của H và HK  KH là một nhóm con của X . Hơn nữa
HK

H

H

H  K 

Chú ý: Những bài toán yêu cầu tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nhóm X
(chính xác tới một đẳng cấu) thường được quy về việc tìm tất cả các
nhóm con chuẩn tắc K của X và tính thương X


- 10 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Chương 2
MỘT SỐ CẤU TRÚC NHÓM ĐẶC BIỆT
2.1. Nhóm hữu hạn
2.1.1. Định nghĩa
 Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử.
 Nhóm X được gọi là nhóm vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử.

2.1.2. Định lý Lagrange và các hệ quả
a) Định lý Lagrange
Giả sử X là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của nó. Khi
đó X là bội của H .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh aH  Ha  H , trong đó aH là lớp
ghép trái và Ha là lớp ghép phải của H trong X .
Thật vậy, cho x là số phần tử tùy ý của X, xét ánh xạ:

f : H  Hx
h  hx
+) Vì với mọi h , h   H , giả sử hx  hx suy ra h  h nên f là một
đơn ánh.
+) Dễ thấy f cũng là một toàn ánh.
Vậy f là một song ánh.


được gọi là số mũ của a.
ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu nó là
số mũ của mọi phần tử của X.
Nhận xét:
- Mọi số mũ của a  X đều là bội của cấp của a .
- Một nhóm tùy ý có thể không có số mũ.
- Nếu X là một nhóm hữu hạn thì một số mũ của X có thể chọn là
bội chung nhỏ nhất của cấp của mọi phần tử a  X .
c) Hệ quả
Hệ quả 1: Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn X đếu là ước của
cấp của X.
Chứng minh
Cấp x = cấp x , mà cấp x là ước của cấp của X. Do đó ta có
điều phải chứng minh.
Hệ quả 2: Cấp của một nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó.
Hệ quả 3: Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic.
Ch ứng minh
Giả sử nhóm X có X  p là một số nguyên tố.

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 12 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Vì p  1 nên có phần tử a  e trong X. Nhóm xyclic a có cấp


*
p

. Khi đó



lập thành một nhóm với phép nhân định

nghĩa như sau: x y  xy . Thật vậy:
+) Phép nhân được xác định như trên có tính kết hợp và có đơn vị
là 1 .
+) Vì p là một số nguyên tố nên p và x nguyên tố cùng nhau (nếu
trái lại thì x  0 trong



k x  1 hay 1

1

p

). Do đó tồn tại k , l  : kx  lp  1 . Tức là
*
p

 k trong


- 13 -

*
p

hay  a p 1  1 p


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Định lý Lagrange có thể tổng quát như sau:
Định lý: Cho X là nhóm hữu hạn, giả sử T là một nhóm con của H và H
là một nhóm con của X, trong đó X là một nhóm hữu hạn. Khi đó:

 X : T    X : H  H : T 
Chứng minh
Giả sử m   X : H  , n   H : T  .
Gọi

 x H , x H ,..., x H 
1

m

2

và


Theo luật giản ước ta có: xi H   xi y jT , X    xi yiT
Vậy xi y jT : i  1,..., m; j  1,..., n là lớp ghép trái của T trong X. Như vậy:

 X : T   mn   X : H  H : T 
2.1.3. Nhóm đối xứng
a) Định nghĩa
i) Cho X là một tập hợp tùy ý và khác rỗng. Kí hiệu:
S(X) = { f | f : X  X là song ánh}
+) S  X  cùng với phép toán hợp thành các ánh xạ lập thành một
nhóm, được gọi là nhóm đối xứng trên tập X.
+) Mỗi nhóm con của S  X  được gọi là một nhóm các phép thế
trên X.
+) Nếu X  1, 2,..., n thì nhóm S  X  được kí hiệu đơn giản là Sn
và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử hay nhóm đối xứng bậc n .

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 14 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Mỗi phần tử   Sn được biểu diễn như sau:

1

 
  (1)

 f  ai   a j

thế sao cho với i  j thì  f  a j   ai

 f  ak   ak

nếu k  i, j

Nhận xét:
1) Một chuyển trí chính là một vòng xích cấp 2 .
2) Một vòng xích cấp 1 là một phép thế đồng nhất, đó chính là
phần tử đơn vị trong nhóm Sn .. Do đó, ta quy ước, khi biểu diễn phép thế
ta bỏ qua phép thế là vòng xích cấp 1 .

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 15 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

3) Một vòng xích cấp k hay còn gọi là phép xoay vòng cấp k .
4) Nếu  là một vòng xích cấp k thì k là số nguyên dương nhỏ
nhất sao cho  k  e
5) Hai vòng xích 1 ,  2 tác động lên hai bộ phận rời nhau của
một phép thế là giao hoán, những vòng xích như thế không có phần tử
nào chung, chúng gọi là những vòng xích độc lập.
Ví dụ: 1 2 3 ,  4 5 6  là hai vòng xích độc lập.

Chứng minh
Với mọi x1  X nếu   x1   x1 thì x1 là một xích của 
Trái lại, nếu   x1   x1 ta đặt x2    x1 
Giả sử x1 , x2    x1  , ... , xk    xk 1  là những phần tử đôi một
khác nhau, còn   xk  thì trùng với một trong các phần tử x1 , x2 , ... , xk .
Ta chứng minh   xk   x1 . Thật vậy, nếu   xk   xi với i  1 thì

  xk     xi 1  . Suy ra xk  xi1 (mâu thuẫn giả thiết x1 , x2 , ... , xk đôi
một khác nhau).
Vậy  x1 , x2 , ... , xk  là một vòng xích của  .
Mỗi phần tử của tập X đều thuộc một tập con, là tập nền của một
xích của  . Hai tập con như thế nếu có một phần tử chung thì phải trùng
nhau. Thật vậy, phương trình  ( x)  y hoàn toàn xác định y theo x và
x theo y (do  là song ánh).

Nhận xét : Khi phép thế của S n được viết dưới dạng tích các xích độc
lập thì thứ tự của các xích ở trong tích là không quan trọng.
b.3) Định lý
Cấp của một phép thế  bằng bội chung nhỏ nhất của độ dài các
vòng xích độc lập của  .
Chứng minh
Giả sử

 x , x , ... , x 
1

2

k



1

2

k 1

k 1

, xk    x1 , x2  x2 , x3  ... xk 1 , xk 

b.5) Hệ quả
Nhóm Sn được sinh ra bởi các phép thế sơ cấp trong nó (với mọi
n  2 ).

Chú ý: Nhóm S n không giao hoán nếu n  3
b.6) Định lý
Mọi nhóm X (hữu hạn hay vô hạn) đều đẳng cấu với một nhóm
các phép thế nào đó trên các phần tử của X.
Chứng minh
Định lý có thể phát biểu lại: “Với mọi nhóm X (hữu hạn hay vô
hạn) có một đơn cấu nhóm X  S  X  từ X vào nhóm đối xứng trên
tập X”.
Với mỗi a  X , xét phép tịnh tiến trái bởi a :
La : X  X
x  ax

Khi đó La  S  X  . Thật vậy:
+) Vì với mọi x, y  X , giả sử ax  ay  x  y (luật giản ước)
nên La là một đơn ánh.

là một đẳng cấu nhóm.
Nhận xét:
+) Nếu n  m thì có một phép nhúng các nhóm Sn  Sm . Như vậy
phép nhúng X  Sm đối với mỗi nhóm hữu hạn X có cấp X  m .
+) Có nhiều phép nhúng X  Sm khác nhau.
Tổng quát: Có nhiều đồng cấu X  S m . Mỗi đồng cấu X  S m
được gọi là một biểu diễn hoán vị của X (trên m phần tử).

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 19 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

c) Ví dụ

5 2 4 3 1 
Ví dụ 1: Cho phép thế   
  S5
3
4
2
1
5


có thể viết thành tích của hai xích    5 3 1 2 4 

1 i , j  n

j i

 Nếu sgn    1 thì  được gọi là phép thế chẵn.
 Nếu sgn    1 thì  được gọi là phép thế lẻ.
a.2) Nhóm thay phiên
Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập 1, 2, ... ,n được gọi là
nhóm thay phiên trên n phần tử, với n  2 .

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 20 -


Khóa luận tốt nghiệp

Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

a.3) Nghịch thế
Một nghịch thế của phép thế   Sn là một cặp i, j các phần tử của
tập 1, 2, ... , n sao cho i  j và   i     j  .
a.4) Nhóm đơn
Nhóm X được gọi là một nhóm đơn nếu nó không có nhóm con
chuẩn tắc nào khác e và X.
b) Tính chất
b.1) Định lý
Ánh xạ sgn : Sn  1

  sgn  




1 i , j  n

1 i , j  n

1 i , j  n

(Điều phải chứng minh)
b.2) Mệnh đề
Với mỗi n  2 , An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn với chỉ
số  S n : An   2 Nhóm An có

n!
A
phần tử. Nhóm thương n
là một nhóm
Sn
2

xyclic cấp 2.

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 21 -


Khóa luận tốt nghiệp


 là phép thế chẵn hay lẻ tùy theo số nghịch thế của  là chẵn
hay lẻ.
Chứng minh
Với mỗi phép thế   Sn là một song ánh trên tập 1, 2, ... , n nên
mỗi phần tử j  i xuất hiện trong tích

   j     i  

đúng một lần.

1 i, j  n

Do đó giá trị tuyệt đối của tích không đổi còn dấu thay đổi phụ thuộc vào
cặp số  i , j  mà   i     j  . Tức là phụ thuộc vào số nghịch thế.
b.4) Mệnh đề
Một vòng xích là phép thế chẵn hay lẻ tùy theo độ dài của xích đó
là chẵn hay lẻ.

Cao Thị Hiền K35B - sp Toán

- 22 -