LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ trong suốt quá trình em thực hiện đề tài.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ phương pháp
giảng dạy, Ban chủ nhiệm khoa Toán, các bạn sinh viên khoa Toán trường
Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận
này.
Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Hương

1


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của
bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo,
hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp này với đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài
tập về phương trình cho học sinh lớp 10” không có sự trùng lặp với các
khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………............................................. .69

3


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn, những tri thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm
việc trong toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác trong
nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để
hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy, Toán học là thành phần không thể
thiếu trong dạy học ở trường phổ thông.
Phương trình là một nội dung chiếm vị trí quan trọng trong chương
trình toán trung học phổ thông. Lý thuyết về phương trình không chỉ là cơ sở
để xây dựng đại số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác
của Toán học.
Ở Trung học cơ sở, học sinh đã được học định nghĩa về phương trình,
những khái niệm liên quan cùng với các dạng phương trình bậc nhất, phương
trình bậc hai và phương pháp giải tương ứng, tuy nhiên chỉ những phương
trình có hệ số là hằng số. Đến lớp 10 các em được học nội dung này sâu hơn,
mở rộng hơn với những phương trình chứa tham biến. Do có nhiều loại
phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau nên học sinh gặp nhiều
khó khăn khi học nội dung này. Vì vậy để giúp cho việc dạy học được thuận
tiện hơn thì việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về phương trình là cần
thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học cho giáo viên và học sinh.
Với những lí do trên em đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10”.
2. Mục đích nghiên cứu


NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt ngay được.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất
với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài tập,...
1.1.2. Vai trò, ý nghĩa của toán học
1.1.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã
biết trước được phân tích, tổng hợp lại để ra các kiến thức mới nữa ... Cuối
chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.
Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
được củng cố qua lại nhiều lần.
1.1.2.2. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học
suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài
toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một
mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn

thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng
cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
7


1.1.2.4. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều
có mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục đích rất
rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng
lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán
khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và
nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách
của G.POLYA là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ
yếu của quá trình giải mọi bài toán”. Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải
toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách
của con người.
1.1.3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong
đề bài toán.
1.1.3.2. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chưa để chia các bài toán thành 2 loại:
Bài toàn có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
Bài toàn không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, …
Kiểm tra lời giải qua các bước thực hiện.
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.
1.1.4.3. Bước 3: Trình bày lời giải.

9


Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó.
1.1.4.4. Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau:
Trong  ABC , chứng minh rằng ta luôn có:

cos A  cos B  cos C  1  4sin

A
B
C
 sin  sin
2
2
2



A  B  C  ? và cos
Ta để ý vế phải có sin
hãy tính vế trái. ( VT  2sin

A B
A B
C

 ?  A  B  C   ; cos
 sin  .
2
2
2

C
, áp dụng công thức hạ bậc thì cos C  ? Từ đó
2

C
A B
2C
 cos
 1  2sin
).
2
2
2
10


 ? Từ đó ta được điều phải chứng
2
2

minh.
Bước 3: Trình bày lời giải.
Do A, B, C là ba góc trong một tam giác nên: A  B  C  


A B
C
A B
C
    cos
 sin
2
2
2
2

VT  2cos

A B
A B
C
A B
2C
 cos
 cos C  2sin  cos
 1  2sin

 sin  sin  VP
2
2
2

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Lời giải trên hợp lôgic.
Ngoài cách giải trên ta còn cách giải khác, đó là: Ta biến đổi vế phải
thành vế trái.
VP  1  4sin

A
B
C
A B
A B
A B

 sin  sin  1  2  cos
 cos
  cos
2
2
2
2
2 
2


A B

theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cần
quan tâm rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác
nhau đó là:
- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán.
- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác.
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào đời sống”.
Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
1.1.5.2. Sự hình thành kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống
phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa
đựng trong các bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ
yếu là kĩ năng học tập và kĩ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kĩ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
12


i,Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.
- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:


Trường hợp 1: Nếu a  5  x 

15
5a

Trường hợp 2: Nếu a  5 : Phương trình vô nghiệm.
* Nhận xét:
Không chú ý x 
mãn x  2 nên khi

15
khi nào không là nghiệm. Vì nghiệm phải thỏa
5a

15
5
thì phương trình vô nghiệm.
2a
5a
2

* Kết luận đúng:
Nếu a  5, a 

5
15
.
: Phương trình (1) có nghiệm x 
2

21
  20m  21  0 m 
20


Kết luận: 1  m 

21
thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
20

14

(2)


2

2

Ví dụ 3 : Tìm m sao cho phương trình: x  (2m  1) x  m  0 (3) chỉ có
một nghiệm thỏa mãn x  3 .
* Sai lầm: Có 2 sai lầm :
Loại 1: Phương trình có nghiệm duy nhất    0 . Ta có x1,2 

S
.
2

Khi đó phương trình (3) có nghiệm thỏa mãn x  3


2

2
 2

2
 Không có m thỏa mãn.
Loại 2: Ta xét các trường hợp sau:

  0

Trường hợp 1: 3  x1  x2   S
 Không có m thỏa mãn.

3

2
af (3)  0 m 2  6m  6  0



Trường hợp 2: x1  3  x2   S
2m  1
 3

3
2
 2
3  3  m  3 

m 


Trường hợp 1: 3  x1  x2   S

 3

2
 m 

1
4

 không tồn tại m.

5
2

 f (3)  0 m 2  6m  6  0


Trường hợp 2: x1  3  x2   S

2m  1
 3

3
2
 2


m  0



af ( 1)  0 m(4m  3)  0

3

3

m 
 1  m 
 af (1)  0  
 
4
m( 1)  0
4





m  0
S
m 1
1   1
1 

1



 m  1



0
m


1



Trường hợp 3: Phương trình (4) có nghiệm: 1  x1  x2  1  1  m 
Kết luận: Vậy điều kiện cần tìm là m  0 hoặc m 

x

Ví dụ 5: Giải phương trình:

2

x 1



x2
2

x  2x 1

2

( x  1)( x  2x  1)

 1  x  0
 x  1

 

   x 2  1  x 2  2 x  1    x  1  x  1 (thỏa mãn điều kiện ( ) )


 x  1  0
 x  1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1 .
* Nhận xét: Phép biến đổi từ

x
2

x 1



x2
2

thành


Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x  1 .
Ví dụ 6: Giải phương trình:
x 1

* Sai lầm: (6) 

1 x  x





x( x  1)  (1  x  x 2 )
x(1  x  x 2 )
1
2



1 x  x



2



x 1
2


* Nhận xét:
Phương trình nhận x  0 là nghiệm do biến đổi thừa điều kiện x  0 .
* Lời giải đúng: Điều kiện xác định: 1  x  x 2  0 .
Khi đó: (6)  ( x  1)( x 2  2 x  2)  (2  x)(1  x  x 2 )
 x3  x 2  2  x3  x 2  3 x  2
 3 x  0  x  0.

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x  0 .
Ví dụ 7: Giải phương trình: 2 x 

x  3  16

(7)

* Sai lầm: Điều kiện: x  3 . Khi đó: (7)  ( x  3)  16  2 x
x  7
 x  3  256  64 x  4 x  4 x  65 x  259  0   37
 x  4
2

2

18


So sánh điều kiện x  3 , phương trình (7) có nghiệm là x  7 và x 

2
x  3  16  2 x  x  3  256  64 x  4 x .


Ví dụ 8: Giải phương trình:

2

x  2( x  x  6)  0

(8)

* Sai lầm:
x  2
 x2 0

x  2
(8)  

 x  3
 x 2  x  6  0 ( x  3)( x  2)  0


 x  2

* Nhận xét:
Với x  2 thì

x  2 vô nghĩa, nên x  2 là nghiệm ngoại lai.

* Lời giải đúng:
 x2 0
x  2



1



  x  3
 x 2  x  2  4

 x  2
* Nhận xét:
Với x  1 thì

x 2  x  2 vô nghĩa, nên x  1 là nghiệm ngoại lai.

* Lời giải đúng: Ta có:
 x  1  0
 
2
(9)  ( x  1) x 2  x  2  2( x  1)    x  x  2  0

 2
 x  x  2  2

  x  1

   x  1
 x  3
 
 x2  x  6  0  
   x  2


20

x3
 2( x  3)  ( x  5)  0
x3




  x  11
  x  11
 
 
x3
( x  11)  0    x  3  0    x  3  x  11
x 3


 x  3  0
 x  3

* Nhận xét: Phương trình nhận x  3 là nghiệm, nghĩa là cách giải trên đã
làm mất nghiệm x  3 .
* Lời giải đúng: Điều kiện xác định:
 x2  9  0
 x   ; 3   3;  




x3
 2 | x  3 | ( x  5)  0
x 3

x3
x  3  0

0
x3


   2( x  3)  ( x  5)  0, x  3  0

 2 | x  3 | ( x  5)  0    

   2(3  x)  ( x  5)  0, x  3  0
 x  3


0
  x  3  x  3

 x  3
 x  3

   x  11  0, x  3

   1  3x  0, x  3
 x  3


chứa ẩn trong căn thức, chứa ẩn dưới mẫu.
* Về tư duy:
Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương
trình theo thuật giải, hoặc theo một hệ thống quy tắc xác định; được rèn luyện
tính linh hoạt và khả năng sáng tạo khi giải những phương trình theo nội
dung, những phương trình không mẫu mực.
Học sinh được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật, tính
cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình.
2.1.2. Nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao
Chủ đề phương trình trong chương trình Đại số 10 nâng cao bao gồm
các nội dung sau:
- Đại cương về phương trình (2 tiết).
22


- Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết).
- Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai
(1tiết).
2.2. Những kiến thức về phương trình ở Đại số 10 nâng cao
2.2.1. Kiến thức cơ bản trong Đại số 10 nâng cao
2.2.1.1. Các định nghĩa và định lí
* Định nghĩa phương trình:
Cho hàm số f  f ( x) và y  g ( x) có tập xác định lần lượt là Df và
Dg . Đặt D  Df  Dg .

Mệnh đề chứa biến " f ( x)  g ( x)" gọi là phương trình một ẩn, x gọi là
ẩn số (ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.
Số x0  D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) nếu
" f ( x0 )  g ( x0 )" là mệnh đề đúng.


f ( x)  g ( x) . Khi đó ta viết: f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .

Ví dụ: x 2  5 x  4  0 là phương trình hệ quả của phương trình

x  2 x.

Định lí:
Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ
2

2

quả của phương trình đã cho: f ( x)  g ( x)   f ( x)    g ( x) 
* Phương trình chứa tham số.

Phương trình chứa tham số là phương trình ngoài ẩn còn có những chữ
khác. Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số.
Ví dụ: 2mx 2  5mx  3  0 là phương trình tham số với ẩn x và tham số m .
2.2.1.2. Phương trình dạng ax  b  0
* Cách giải và biện luận:
 a  0 : Phương trình có nghiệm duy nhất x 

b
.
a

 a  0 và b  0 : Phương trình vô nghiệm.
 a  0 và b  0 : Phương trình nghiệm đúng x  R.
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: mx 2  6  4 x  3 (1)
Hướng dẫn:


  0 thì phương trình vô nghiệm.
  0 : Phương trình có hai nghiệm( phân biệt ):
x1 

b  
b  
và x2 
2a
2a

  0 : Phương trình có một nghiệm (kép): x 

b
2a

* Đặc biệt: Phương trình ax 2  bx  c  0 , với a  0 và x1  x2 

b
.
a

Ta có   b2  ac.
Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2 

b
.
a