TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẠNH

VÁN ĐÈ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
••••

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS.NGUYẺN VĂN VẠN

HÀ NỘI-2015

Trong quá trình tìm hiếu, nghiên cún khóa luận này tôi
không khỏi lúng túng và bỡ ngỡ. Nhưng dưới dự giúp đỡ, chỉ bảo


tận tình của Ths Nguyễn Văn Vạn tôi đã từng bước tiền hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Vấn đề lớn
nhất, nhỏ nhất trong không gian Oxyz”.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cùng tất cả các thầy cô trong khoa Toán học đã giúp
đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận.
Mặc dù có những cố gắng tìm tòi nhất định, song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy cô và các bạn sinh viên.
LỜI CẢM ƠN
Hà Nội, thảng 5 năm 2015 Sinh viên

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Ths Nguyễn Văn Vạn.

hay viết phương trình mặt cầu, ... ta còn bắt gặp các bài toán tìm vị trí của
điểm, đường thẳng hay mặt phang liên quan đến một điều kiện cực trị. Có thể
nói rằng cực trị hình học trong phương pháp tọa độ trong không gian là một
dạng toán khó, đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học, vừa phải biết
kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu Toán học, tôi thấy đây là một
dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn các học sinh khá giỏi. Neu
ta biết sử dụng linh hoạt, khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, vectơ,
phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen
thuộc.
Chính vì những lí do trên, tôi quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề tài
“Vấn đề lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian Oxyz” nhằm mở ra một cách
nhìn nhận mới về bài toán cực trị trong hình học không gian. Đồng thời tôi
cũng mong muốn rằng, thông qua việc nghiên cún sẽ đem lại cho tôi những
kinh nghiệm quý báu phục vụ cho công tác giảng dạy sau này.
2. Mục đích nghiên cứu.

Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải
một số dạng
-

Rèn luyện kĩ năng sử dụng linh hoạt, sáng tạo các tính chất hình học
thuần túy để giảm bới tính toán.
4


-

Đồng thời khóa luận cũng giúp bạn đọc có thể giải quyết tốt các bài
toán khác của hình học giải tích, có cái nhìn mới về dạng toán này.


5


bài cực trị trong hình học không gian.
-

Phương pháp thực nghiệm.

-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

-

Phương pháp phân tích, tống hợp.
NỘI DUNG CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ THUYẾT

1.1.Tích có hướng của hai vecto’
1.1.1.

Hệ tọa độ trong không gian
-

Trong không gian, xét bộ ba trục tọa độ Ox, Oy, 0z có chung điểm gốc
0 và đội một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông

-

Trên các trục Ox, Oy, 0z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz, lần lượt xét


gọi là tọa độ của vectơ U và kí hiệu U =

-

ỊX;Ỵ;Z)

hay U ( X ; Y ; Z ).

Từ định nghĩa về tọa độ của vectơ, ta dễ dàng suy ra các tính
chất sau:

Cho các vectơ U \ ( X ; Y ; Z ), U I ( X 2 ; Y 2 ; Z 2 ) và số k tùy ý, ta có:
T

T

1)

Uị =U2 x] =x2,yt = y2,Zị = z2

2)

ui±u2=(xì±x2;yỊ±y2;zì±zĩ)

T

3) k Mị = ( k .x Ị ;k . y ì ; k. z ] )
4) u l M 2 =x l x ĩ + y i y ĩ + z i z 2
5) \ u ] = Jx *T y f + z *



định bởi vectơ O M . Tọa độ của điêm M được

định nghĩa là tọa độcủavectơ

O M . Như vậy:

M ( x; y ; z) < ^ > O M = x i + y j + z k

có:

Xét hai điểm A(xa; Ỵa; Z ), B(xb; yB; ZB) và số thực k, k Ỷ 1, ta

ÃB =

(x A - XB; y A - y B ; Z A - ZB)

A

|^ổ| = y j { x A -) 2 + ( y A - y B f + (z A - ^ ?
M chia đoạn AB theo tỉ số k khi và chỉ khi M A = K M B , khi đó:

l-k
y.4 ~ky»

1

—k
Z

L«,VJ
=

V B'C

'

9

C'A

'

A'B

'

/


bài cực trị trong hình học không gian.

1
0


-

Tính chất của tích có hướng:


1
1


bài cực trị trong hình học không gian.
Bài toán viết phương trình của mặt phẳng là bài toán cơ bản nhất trong
hình học không gian. Sau đây là một số kiến thức cần nhớ để giải quyết bài
toán này.
-

Vectơ

N

* õ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phang ( A ) nếu giá của n

vuông góc với mặt phẳng.

-

Trong không gian Oxyz, cho mặt phang (or) đi qua điểm
M (jc0;_y0;z0) và có vectơ pháp tuyến Ũ( A ; B ; C ) . Khi đó mặt phang (tf)có

phương trình tổng quát là:
A ( x- x 0 ) + B ( y- y 0 ) + C ( z- z 0 ) = 0

Ax + By + Cz + D

= 0 VƠI D = — ( ^ Ả X q + B y 0 + Cz 0 ^, ABC ^ 0.



chỉ khi c = 0.

1
2


♦

Mặt phang

(ữr)song song (hoặc trùng) với mặt phang (Oxy) khi và chỉ

khi A = B =
♦

0.

Mặt phẳng (a)song song (hoặc trùng) với mặt phẳng (0yz) khi và chỉ
khi B = c = 0.

♦

Mặt phang (a)song song (hoặc trùng) với mặt phăng (0zx) khi và chỉ
khi c = A = 0.
♦

Mặt phang (ữr)cắt các trục Ox, Oy, 0z lần lượt tại các điểm A(a ; 0 ;
0), B(0 ; b ; 0), C( 0 ; 0 ; c) có phương trình:


không
d(M,
(a)) gian.
=K+

+
yJA2+B2+C2

•

Nếu M(x0; y0; z0) thuộc (a) thì d(M, (a)) = 0.

•

Nếu H là hình chiếu của M trên (a) thì d(M, (a)) = MH.

•

Với mọi điểm K thuộc (a) và K không trùng với H thì MK > MH.

•

Neu hai mặt phang song song thì khoảng cách giữa chúng là :
d = 7J£Ũ£IL

yỊA2+B2 +c2

-

Góc giữa hai mặt phẳng (ai) và (a2) là :

y = y 0 + b t ’ (íeK)
z = z0+ct

-

Trong trường hợp A B C * 0 bằng cách khử t từ phương trình tham số
ta được phương trình chính tắc:
1
4


*-*0 _ Y - Y Ữ _z~z0
a

-

b

c

Đường thắng d đi qua hai điểm phân B \ È T A ( X A \ Y Á ' , Z A ), B ( X B \ Y B \ Z )
TÌ

có các thành phần tọa độ tương ứng khác nhau thì có phương trình:
y - y A IZ1A
X

•

B~XA y B y A ZB~ZÂ

M Gd
M e (a)

GÓC giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ot)
ịu.nị

si
n

•

Đường thắng d vuông góc với mặt phắng (a) khi và chỉ khi
-

-

,- a b c
u = kn — = — = —
ABC

Một số vấn đề giữa hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình:
X = x2 + a 2 u

X = X. + a.t

\ '•'

Z = Z2+C2U


và có vectơ chỉ phương

A2 qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vectơ chỉ phương

u2

Mị

(a2;


•

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.


+) A1 và A2 chéo nhau khi và chỉ khi |^Ml,M2].Ằf1M2 * 0.
+) A] và A2 đồng phẳng khi và chỉ khi Ị U Ị ,

U2

J .M]M2 =

0

+) À| và A2 cắt nhau khi và chỉ khi

J^õ
\ M X ểA2

d(A|, À2) — d(M2, A|) =

1
8


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1
9


d(A], A2) —

•

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường
thắng cắt và vuông góc với cả hai đường thắng đó.

Gọi H|, H2 lần lượt là giao điếm của đường vuông góc chung với hai
đường thắng đó. H|H2 là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điêm bất kì
thuộc hai đường thẳng.

1 2 — d(A], A )

H H
1.2.3.

2


+) Bán kính của đường tròn (C) là R = V/?2 -IJ2 = \ Ị R 2 - D 2 { Ỉ , ( P) )


1.2.4.

Cực trị trong không gian
Bài toán cực trị trong hình học không gian thường được phát biểu dưới

dạng yêu cầu xác định tọa độ của điểm, phương trình của một đường hay một
mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giái trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Khi
gặp bài toán này, ta thường sử dụng hai phương pháp sau:
♦

Cách 1: Sử dụng các tính chất hình học đê giảm bớt tính toán.
♦

Cách 2: Sử dụng thuần túy tọa độ, áp dụng các phương pháp đại số
để giải.

1.2.5.

Bài toán xác định tọa độ điếm, vecto’ trong không gian
Muốn xác định tọa độ một điêm, vectơ ta cần xác định các thành phần

tọa độ gồm hoành độ, tung độ, cao độ.
-

Trên quan điêm Hình học thì điếm đó phải là giao điếm của các
đường, mặt trong không gian, chẳng hạn:


f(x) < M, V X e D.

•

3 x0 e D: f(x0) = M.
-

Ta nói m (không đối) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu hai điều
kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

•

f(x) > m, V X G D.

•

3 x0 e D: f(x0) = m.

1.3.2.

Phương pháp đạo hàm
-

Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì F
( X O ) = 0.

-


Neu f”(xo)

> 0 thì hàm số đạt cực tiêu tại Xo.”

-

Các bước tìm cực trị:

Bước 1 : Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Tìm các giới hạn (nếu cần).
Bước 4: Lập bảng biến thiên và suy ra cực trị của hàm số.
Đăc biẽt:

Neu hàm số liên tục trên D = [a, b] và phương trình y’ = 0 có các
nghiệm C|, c2, cn thì:
Max f(x) = max (f(a), f(b), f(C|),
Min f(x) = min {f(a), f(b), f(c,),
Phưong pháp miền giá trị của hàm số

1.3.3.
-

f(cn)}
f(cn)}

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên
D. Ta gọi

Ỵ0



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a >0

',| + |ứ2| + ... + |a(i|

/
a.