I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.
1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
Cho tập X ⊆ R. ánh xạ f : X → R được gọi là một hàm số xác định trên X. Tập
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):x ∈ X} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .
2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
Cho X ⊆ R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x ∈ X xác định được
một giá trị tương ứng y ∈ R thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và viết
y=f(x). x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập
hợp tất cả các giá trị y với y =f(x); x ∈ X gọi là tập giá trị của hàm số f.
3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
Cho Φ ≠ X ⊆ R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tương ứng mỗi
phần tử x ∈ X xác định duy nhất một phần tử y ∈ R.
x được gọi là biến số hay đối số .
y được gọi là giá trị của hàm số tại x.
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số.
Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x ∈ X}.

II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
1.Hàm hằng số :
Y = f(x) = c
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị : T = { c} .
2.Hàm số bậc nhất :
Y = f(x) =ax +b ( a≠0 ).
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R .
3.Hàm số bậc hai :
y = a x2 + b x +c ( a≠0 ).
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị của hàm số :


III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị của hàm số .
1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của
hàm số ngược của nó .
Ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định
của hàm số kia và ngược lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập
xác định của hàm số ngược của nó:
Ví dụ 1:
3x + 5
.
2x − 1
1
Hàm số có tập xác định là D = R \   .
2
3x + 5
Với mọi x ∈ D ta có :
y=
2x − 1
⇔ y(2x -1) = 3x + 5
⇔ ( 2y – 3) x = y + 5
y+5
⇔x=
.
2y − 3

Tìm tập giá trị của hàm số y =

Biểu thức có nghĩa khi : 2y – 3 ≠ 0
⇔ y≠


x2 + x +1

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệm
y=
2

x2 − x +1
x2 + x +1

2

⇔ y x +yx + y =x – x + 1

có nghiệm

2

⇔ ( y – 1 )x +(y + 1 )x + y – 1 = 0 có nghiệm

Nếu y = 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 .
Nếu y ≠ 1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
∆' = (y + 1) - 4(y – 1) ≥ 0
2
⇔ - 3y +10 y – 3 ≥ 0

⇔


2

Vậy tập giá trị của hàm số là T =  ;2 .
2 
1

* Sau đây là một số bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
3


1.

y=

2x + 1
x−5

2. y = − x 2 + x + 1

3. y =

x 2 − 3x + 4
x2 +1

2 sin x + cos x − 3
3 cos x − 4 sin x + 7
− 2 sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos 2 x − 1
y=

3 x 2 + 10 xy + 20 y 2
f ( x, y ) =
trên miền D = ( x, y ) : x 2 + y 2 f 0
2
2
x + 2 xy + 3 y

{

}

3 /Phương pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức.
Bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh được
m ≤ y ≤ M và chỉ ra được dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận được tập giá trị
của hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số
16

y =x +

x +1

+ 2005

Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+ ∞ )
8

áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương x + 1 ;
x +1+



= 12 ⇔ x+

8
x +1
16

ta có

x +1

≥ 11

+ 2009 ≥ 2020

Hay Y ≥ 2020
Dấu = xảy ra ⇔ x+1=

8
x +1

⇔ (x+1). x + 1 =8
⇔ x=3

Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+ ∞
x → +∞
Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+ ∞ ).
VD2:
Tìm TGT của hàm số y= x + 1 + 8 − x
4

trên miền D = {( x; y; z ) : x; y; z f 0; x + y + z = 1}

4/Phương pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số:
Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số .
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số .
x +1

VD1: Tìm TGT của hàm số : y =

x 2 +2

Hàm số có TXĐ: D = R
y' =

2− x
( x 2 +2) x 2 +2

y, = 0 ↔ x= 2; y(2 ) =
Lim

x +1
x 2 +2

x → −∞
lim

x +1

x 2 +2
x → +∞


+∞

-

3
2

y
1
-1
Từ bảng biến thiên → TGT của hàm số là T=[-1;

3
].
2

Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :
f ( x, y ) =

( x + y) 3
trên miền D = {( x, y ) : x f 0, y f 0}
x2 y

Lời giải:
x
( + 1) 3
y
,
f ( x, y ) =

Ta có bảng biến thiên
t

1
2

0

g ,(t)

-

0

+∞

+∞

+
+∞

g (t)
27
4

Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T= 

27

,+∞  .

Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số
y = sin20x + cos20x .
Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : f ( x, y ) = 3 x + 3 y
trên miền D = {( x, y ) : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y = 1}.

IV. Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số.
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng như các ứng
dụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao.
Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x 4 - 6 x 2 +2.
Lời giải :
Tập xác định của hàm số là D = R.
đặt t= x 2 , thì t ≥ 0 Khi đó ta có y = g(t)= t 2 - 6t + 2 với t ∈ [0;+∞)
y ' =g ' (t)= 2t – 6
g ' (t) = 0 ↔ t = 3
Bảng biến thiên
t
0
3
+∞
'
y
0
+
2
+∞
y

-7
Vậy TGT của hàm số là: T= [− 7;+∞ )
Bài 2: Tìm TGT của hàm số

Nếu z = 12 thì phương trình ⇔ ax +36 = 0 ⇔ x =

− 36
a

Nếu z ≠ 12 thì phương trình có nghiệm
⇔ ∆' = 36a 2 + 36 z (12 − x) ≥ 0
2
2
⇔ z -12z- a ≤ 0

7


⇔ 6 − 36 + a 2 ≤ z ≤ 6 + 36 + a 2
 z ≠ 12
Do z ≥ 0 nên 
12 ≤ 6 + 36 + a 2

[

→ z ∈ 0;6 + 36 + a 2

]


3




Nếu a = -1 thì y =

trình

yx2 – x + ay – 1 = 0 có nghiệm
↔ ∆ = 1 − 4 y (ay − 1) ≥ 0
2

↔ 4ay − 4 y − 1 ≤ 0

để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì g ( y ) ≤ 0 đúng với mọi y ∈ [0;1]
+ nếu a=0 thì g(y) = -4y – 1 ≤ 0 ↔ y ≥ −

1
4

1
→ tập giá trị của hàm số là [− ;+∞) ⊃ [0;1]
4
+ nếu a ≤ 0 thì g ( y ) ≤ 0∀y ∈ [0;1] luôn đúng
4ag (1) ≤ 0
4 a − 5 ≤ 0
5
↔0≤a≤
+ nếu a ≥ 0 thì g ( y ) ≤ 0 ↔ 
↔
4
4ag (0) ≤ 0
− 1 ≤ 0



Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R\ {0}
Với mọi x khác 0 ta có
y = x+

1
1
1
= x + = x + ≥2
x
x
x

 y ≤ −2
↔
y ≥ 2

dấu = xảy ra khi x = ±1
Vậy tập giá trị của hàm số là T = (− ∞;−2] ∪ [2;+∞ ) .
Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số y =

2x
1+ x2

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Ta có

y =

1 – 2cosx ∈ (0;3]

+ k 2π < x

Vậy tập giá trị của hàm số là T =  ;2 .
2 
1

V/ ứng dụng của tập giá trị của hàm số .
Sử dụng các bài toán về tìm tập giá trị của hàm số chúng ta đông thời giải quyết
được một số bài toán quan trọng thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các
trường ĐH- CĐ.
1.ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức.
VD 1: chứng minh rằng : ln(1+x) > x -

x2
2

với mọi x > 0 .

Lời giải:
xét hàm số
có

f ( x) = Ln(1 − x) − x +

x2
2

trên (0;+∞ )

1
x2
f ( x) =

Lời giải:
đặt x = log 2 3 → log 2 =
3

1
x

và 1 < x < 2

1
với 1 < x < 2
x
1
xét hàm số f ( x) = x +
trên 1; 2
x
x2 −1
'
có
f ( x) =
. > 0∀x ∈ (1; 2 )
x2

→ log 2 3 + log 3 2 = x +

(

bảng biến thiên
x
1


Có

Bảng biến thiên
x
y

π

0
‘

4

+
π
4

+

2
2

y

1
Từ bảng biến thiên ta có
11




x
=t
y

ta có A =

t2 +1
t2 +t + 4

Bằng cách khảo sát hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số như sau
t
−∞
− 3 − 10
− 3 + 10
+∞
’
A
+
0
0
+
A
20 + 6 10
20 + 5 10

1

1
20 − 6 10

12


BBT:
x
f ' ( x)
f (x)

-∞
+

-13
//

+

13
//

3

3

+∞
+

26

− 26



VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt
x + 3 = m x2 +1
x+3
Phương trình ↔ m = 2
x +1
x+3

Xét hàm số f(x) =

x2 +1

TXĐ: D = R
13


Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT như sau
X
f ' ( x)
f (x)

-∞
+

1/3
0

∞+

-

+∞

0

f (x)
−∞

Từ bảng biến thiên ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:
D = (1;+∞ ) .
VD2: Giải bất phương trình: 5 x + 12 x > 13 x .
Lời giải:
Bất phương trình tương đương
5
13

5
12
( )x + ( )x > 1
13
13

12
13

xét hàm số f ( x) = ( ) x + ( ) x là hàm số nghịch biến trên R
ta có bảng biến thiên

14




1. y =

5. y =

2. y =

3 x 2 + 10 x + 20
x 2 + 4x + 5

4. y = 4 Sinx + 4 Cosx

Cosx + 2 Sinx + 3
2Cosx − Sinx + 4

mx 2 + (1 − m) x + 1 + 2m
6
Bài 2: Tìm m để hàm số y =
có TGT là  ;2 .
2
x −x+2
7 

Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm số
x 2 + mx + n
là [− 1;9] .
x2 +1
20 x 2 + 10 x + 3
Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y =
.


Sinx + Tanx > 2 x với ∀x ∈ (0; ) .
2

Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2 + Cosx
.
Sinx + Cosx − 2

Bài 11: Cho x, y thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A = x 2 − 2 xy + 3 y 2 .
Bài 12: Cho x, y ∈ R và thoả mãn x 2 − xy + y 2 = 1 .Tìm GTNN của biểu thức:
M
M = xy + y 2 .
Bài 13: Cho x,y ≠ 0 và thoả mãn (x + y )xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN, GTNN của
biểu thức A =

1
1
+ 3 .
3
x
y

Bài 14: Cho x, y ∈ R thay đổi và thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 .Tìm GTLN,
GTNN của biểu thức: p =

2( x 2 + 6 xy )
.