BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
§1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến,
hàm đơn điệu trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ
đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.
1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng

( )
;a b
. Khi đó
•
( )
' 0f x >

( )
;x a b∀ ∈

⇒

f
đồng biến trên
( )
;a b
;
•
( )

• Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
2. Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm
( )
y g x=
không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm
1
x
,
2
x
, …,
n
x
đôi
một khác nhau và
1 2 n
x x x< < <L
. Ký hiệu
I
là một trong các khoảng
( )
1
; x−∞
,
( )
1 2
;x x
, …,
( )

\ 1= ¡
,
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
−
=
−
. Ta thấy với mọi
x∈
TXĐ, dấu của
'y
chính
là dấu của tam thức bậc hai
2
2x x−
. Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
( )
2
1
1
1

− +
= = −∞
−
,
( )
1
2
lim
x
f x
−
 
→
 ÷
 
= +∞
,
( )
1
2
lim
x
f x
+
 
→
 ÷
 
= −∞
.

=
−
với
mọi
( )
1;1x∈ −
. Do đó với mọi
( )
1;1x∈ −
,
'y

trái dấu với
x
. Ta có bảng biến thiên của
hàm số như hình bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
, nghịch biến trên
( )
0;1
.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số
1 1y x x= − + +
.
Giải. Ta có TXĐ
[ ]
1;1= −
và

1;1x∈ −
,
'y
trái dấu với
x
. Ta có bảng biến thiên của hàm số như
hình bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
,
nghịch biến trên
( )
0;1
.
Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy
tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau,
ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình.
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2 1y x x= + −
.
Giải. Ta thấy
TXÑx∈

⇔

2


⇔

2
2 1 0x x− − ≤⇔

2
2 1 x x− ≤

⇔

( )
2 2
0
4 1
x
x x
≥



− ≤

⇔

.
Ví dụ 5. [ĐHA08] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
4 4
2 2 2 6 2 6y x x x x= + + − + −
.
Giải. Ta có TXĐ
[ ]
0;6=
và
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
'
2
2 6
2 6
y
x x
x x
 
 
 
= − + −
 ÷
 
−
 
−
 

( ) ( )
3 3
4 4
1 1
2 6
1 1
2 6
x x
x x

>

−



>

−


⇒
( )
' 0y x >
;
• Tương tự, ta có
( )
' 0y x <

( )

4)
4 3
1
5
2
y x x x= + − +
;
5)
4 3 2
3 22 51 36 1y x x x x= − + − + +
;
6)
5 3
4
8
5
y x x= − + +
;
7)
2
1
x
y
x
−
=
+
;
8)
3 3

1
x
y
x
=
+
;
12)
1
3
x
y
x
+
=
;
13)
2 3y x x= + + −
;
14)
2
2 3x x+ +
;
15)
2y x= −
;
16)
2
2y x x= −
;

0;2
.
3)
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
4)
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
5)
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên
¡
.
6)

, đồng biến trên các khoảng
1
1;
2
 
−
 ÷
 

và
( )
2;+∞
; 5 Hàm số đồng biến trên các khoảng
1
;
2
 
−∞
 ÷
 
và
( )
2;3
, nghịch biến trên
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
các khoảng
1
;2
2

 ÷
 ÷
 
; 7 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định (nghịch biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;− +∞
); 8 Hàm số đồng biến trên
từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng
3
;
2
 
−∞ −
 ÷
 
và
3
;
2
 
− +∞
 ÷
 
); 9 Hàm
số nghịch biến trên các khoảng
( )

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
0;1
, đồng biến trên các
khoảng
( )
1;2
và
( )
2;+∞
.
11 Hướng dẫn.
TXÑ = ¡
,
( )
( )
2
2
2
3 1
1
x
y
x
−
′
=

0;1
,
đồng biến trên
( )
1;+∞
.
13 Hàm số nghịch biến trên
1
2;
2
 
−
 ÷
 
, đồng biến trên
1
;3
2
 
 ÷
 
; 14 Hàm số nghịch biến
trên
( )
; 1−∞ −
, đồng biến trên
( )
1;− +∞
; 15 Hướng dẫn.
( )

và
( )
2;+∞
;
17 Hướng dẫn.
[ ]
2;5TXÑ =
,
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1
4
2 5
y
x x
 
 
′
= −
 
− −
 

(
( )
2;5x ∈
).
' 0y =


4
1 2
3
2
1 2
3
5
x
x

 

>
 ÷

 
−



 
<

 ÷
 
−



⇒

 
.
18 Hàm số đồng biến trên
( )
3; 1− −
, nghịch biến trên
( )
1;1−
; 19 Hàm số nghịch biến
trên
( )
0;1
, đồng biến trên
( )
1;2
.
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
7
§2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:
1. Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “
baäc nhaát
baäc nhaát
”
a) Hàm bậc ba
Hàm bậc ba có dạng
3 2
y ax bx cx d= + + +

;x x
.
+
0
≤
• Đồng biến trên
¡
.

−
+
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
1
; x−∞
và
( )
2
;x +∞
;
• Đồng biến trên khoảng
( )
1 2
;x x
.
−
0
≤
• Nghịch biến trên
¡

a
b
Sự biến thiên của
y
+
0≥
•
y
nghịch biến trên
( )
;0−∞
, đồng biến trên
( )
;0−∞
;
+
−
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
2
;
b
a
−∞ − −
và
( )
2
0;
b
a

b
a
−
.
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
2
;0
b
a
− −
và
( )
2
;
b
a
− +∞
.
−
0≤
• Đồng biến trên
( )
;0−∞
, nghịch biến trên
( )
;0−∞
.
c) Hàm “
baäc nhaát

không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
•
0ad bc− >

⇔

y
đồng biến trên từng khoảng xác định;
•
0ad bc− <

⇔

y
nghịch biến trên từng khoảng xác định .
2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
f
đồng biến (nghịch biến) trên
( )
;a b

⇔

f
có ít nhất một khoảng đồng biến
(nghịch biến) và
( )
;a b
là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ

có hai nghiệm phân biệt
1
12
m
x = − −
,
2
12
m
x = −
.
Bảng biến thiên
lim
x
y
→−∞
= −∞
,
lim
x
y
→+∞
= +∞
.
Trong trường hợp này, hàm số đồng
biến trên
;
12
m
 

2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − +
nghịch biến trên
¡
.
Giải. Ta có
2
' 4 2 1y x x m= − + + +
.
'y

là tam thức bậc hai có hệ số của
2
x
là
1 0− <
,
' 2 5m
∆ = +
. Do đó hàm số nghịch biến trên
¡
khi và chỉ khi
' 0
∆ ≤

⇔

5
2


;
+)
( )
0t x ≤

x
∀ ∈
¡

⇔

0
0
a <


∆ ≤

.
Ví dụ 3. Tìm
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 7y x m x m m x= − + + + +
đồng biến trên
( )
1;2
.

.
Ta thấy hàm số đồng biến trên
( )
;m−∞

và
( )
1;m + +∞
. Do đó hàm số đồng biến
trên
( )
1;2
khi và chỉ khi

( ) ( )
( ) ( )
1;2 ;
1;2 1;
m
m
⊂ −∞

⊂ + +∞



⇔

2
0

⇔

1m
≤ −
. Khi đó
' 0y ≤

x
∀ ∈
¡

⇒
hàm số nghịch biến trên
¡
nên
cũng nghịch biến trên
( )
0;+∞
.
• TH2:
' 0∆ >

⇔

1m > −
. Khi đó,
'y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
1 1 1 1x m x m= − + < = + +

⇔

m
∈∅
.
Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên
( )
0;+∞
khi và chỉ khi
1m
≤ −
.
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số
4 2
4y x mx= + +
.
Giải. Ta có
( )
3 2
' 4 2 2 2y x mx x x m= + = +
.
• TH1:
0m ≥

⇒

'y
có nghiệm duy nhất
0x =
và đổi dấu đúng một lần khi

m
± −
và đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua các nghiệm.
Bảng biến thiên:
Ở đây,
lim
x
y
→±∞
= +∞
.
KL: hàm số đồng nghịch biến trên các
khoảng
( )
2
;
m−
−∞ −
và
( )
2
4;
m−
và đồng
biến trên
( )
2
;0

và
( )
2
2
4
4
m
y
x m
−
′
=
+
.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
' 0y >

x
∀ ∈
TXĐ
⇔

2
4 0m − >

⇔

2
2
m

3 3
y mx m x m x= − − + − +
đồng biến trến
( )
2;+∞
;
4)
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên
( )
0;3
;
5)
( )
4 2
1 4y mx m x= + − +
đồng biến trên
( )
1;3
;
6)
2 3x
y
x m
+

; 4
12
7
m ≥
; 5
1
17
m ≤ −
hoặc
0 1m≤ ≤
; 6
3
2
m < −
; 7
3 3m− < <
.
§3. Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình
( )
f x m=
(1)
được đưa về xét sự tương giao giữa đường
thẳng
y m=
với đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
.

. Ta có
( )
( )
1 2 1 1 3 4
1
2 1 2 1
2 1 2 1 1
x x
f x
x x
x x
− − −
′
= − = =
− −
− − +
(
1x <
).
Bảng biến thiên Kết luận
1) (1) có nghiệm
⇔
đường thẳng
y m=
có
điểm chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=

⇔

2
0x mx m− + =
. (1)
Giải. Dễ thấy
1x
=
không phải nghiệm của (1) nên:
(1)
⇔

( )
2
1x m x= −

⇔

2
1
x
m
x
=
−
.
Xét hàm
( )
2
1
x
f x

đường thẳng
y m=
có
điểm chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=
,
(
]
1;2x∈

⇔

4m ≥
.
Ví dụ 3. [ĐHA08] Tìm
m
để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
. (1)
Giải. Đặt
( )
f x
là vế phải của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên
của
( )
f x
.
Ta có TXĐ


0 2 4
6 4
x
x
< <


− >


⇒

0 2 6x x
< < −

⇒

( ) ( )
3 3
4 4
1 1
2 2 2 6
1 1
2 6
x x
x x

>


để phương trình sau có
6
nghiệm phân biệt.

2 2
2x x m− =
. (1)
Giải. Đặt
( )
f x
là vế trái của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên
của
( )
f x
.
Ta có
TXÑ=¡
,
( )
( )
2
2 2
2f x x x= −

⇒

( )
'f x
=
( )

x x x
x
− −
−
(
2x ≠ ±
).
Ta thấy với
2x ≠ ±
,
( )
'f x
cùng dấu với
( ) ( )
2 2
4 2 1x x x− −
.
Bảng biến thiên:
Ở đây,
( )
lim
x
f x
→±∞
= +∞
.
Kết luận:
( )
1
có

( ) ( ) ( )
2
2 – 2 4 – 0x x x m
 
− + =
 

⇔

3 2
2
6 32 (2)
x
x x m
=


+ − =

.
Xét
( )
3 2
6 32f x x x= + −
,
2x
>
. Ta có
( )
2

1x x= +
⇒

5
0
0x ≥

⇒

0
0x ≥
⇒

( )
2
0
1 1x + ≥

⇒

5
0
1x ≥

⇒

0
1x ≥
.
Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) có

1x
≥
) có
đúng một điểm chung với trục hoành
⇒

(1) có nghiệm duy nhất thuộc
[
)
1;+∞

⇒

(1) có nghiệm duy nhất (ĐPCM).
Ví dụ 7. Tìm
m
để phương trình sau có
2
nghiệm phân biệt
( )
( )
3
2
2
2 1 0x x x m+ + + + =
. (1)
Giải. Ta có
(1)
⇔


≥ −
.
Xét
( )
3
f t t t= +
,
1t ≥ −
. Ta có
( )
2
' 3 1 0f t t= + >

1t∀ ≥ −
.
Ta thấy
1t = −
(
' 0∆ =
) cho đúng một
nghiệm
x
,
1t > −
(
' 0∆ >
) cho đúng hai
nghiệm
x
.

sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= − = −
 ÷
 
. (2)
(2) có nghiệm
x

⇔

2; 2t
 
∈ −
 
. Từ
( )
2
, bình phương hai vế ta được
2
1 2sin cost x x= −

⇔

2
1
sin cos

 
∈ −
 
. Ta có
( )
( )
2 2
' 3 3 3 1f t t t= − = −
.
Do đó
( )
1
có nghiệm
⇔

( )
3
có nghiệm
2; 2t
 
∈ −
 

⇔

2 2 2m
− ≤ − ≤

⇔


Ta có
( )
2 2
1 1
1 1
f x x
x x
 
′
= +
 ÷
+ −
 
(với
( )
1;1x∈ −
)
⇒

( )
'f x
cùng dấu với
x

( )
1;1x∀ ∈ −
.
Bảng biến thiên của
( )
f x

(do
0; 2t
 
∈
 
). (3)
Xét hàm
( )
2
2
2
t t
g t
t
− + +
=
+
,
0; 2t
 
∈
 
. Ta có
( )
( )
2
2
4
0
2

∈
 

⇔

2 1 1m− ≤ ≤
.
Ví dụ 10. [ĐHA07] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
.
( )
1
Giải. Điều kiện:
1x ≥
. Chia hai vế cho
1 0x + >
ta được phương trình tương
đương:
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −

. (2)
Xét
( )
2
3 2f t t t= − +
(
0 1t
≤ <
), ta có
( )
' 6 2f t t= − +
.
Bảng biến thiên của
( )
f t
là:
(1) có nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

⇔

1
1
3
m− < ≤
.

x
+
− + + − =
−
.
Bài 2. [ĐHA02] Tìm
k
để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có ba nghiệm phân
biệt.
Bài 3. Chứng minh với mọi
[ ]
2;2m∈ −
, phương trình
3 2 2
3 0x x m− + =
luôn có ít nhất
hai nghiệm phân biệt.
Bài 4. Tìm
m
để phương trình
4 2
2 4 0x x m− + =
có hai nghiệm phân biệt thuộc
khoảng
( )
2;2−
.

Bài 7. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
( ) ( )
3 2
1 1 0x m x+ − − =
.
Bài 8. Giải phương trình
2 3 3 2
x x
x+ = +
.
D. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1 1
2;2 2m
 
∈
 
; 2
1; 2m
 
∈ −
 
; 3
2m
≥
; 4
( )
12 5 4 ;12m
 

. ĐS:
3
1
2
m− < < −
. Bài 6. 1
3
3x
±
=
; 2 HD đặt
2
3
log 1t x= +
. ĐS:
0 2m≤ ≤
.
Bài 7.
27
2
k <
: phương trình có
1
nghiệm;
27
2
k =
: phương trình có
2
nghiệm;

x x
f x = + >

x∀

⇒

( )
'f x
đồng biến trên
¡
, lại có
( )
lim ' 3
x
f x
→−∞
= −
và
( )
lim '
x
f x
→+∞
= +∞

⇒
phương trình
( )
' 0f x =

α
−∞
, nghịch biến trên
( )
;
α
+∞

⇒

( )
2
có tối đa hai nghiệm, mặt
khác ta thấy
0
và
1
là các nghiệm của
( )
2

⇒

{ }
0;1
là tập nghiệm của
( )
2
hay
{ }

Câu 3:(2 điểm):
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
3x 4
y
x 2
−
=
−
. Tìm các điểm thuộc (C)
cách đều 2 tiệm cận.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn [0,
2π/3].
sin
6
x + cos
6
x = m (sin
4
x + cos
4
x)
Câu 4:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2x 4
x 1
−
+
2. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0)
và N(–1; –1)
Câu 5:(2.0 điểm) Cho hàm số

y
x 1
−
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho ΔOAB vuông tại O.
Câu 9: (2 điểm) Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A
và B. Gọi I là giao hai tiệm cận, tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu 10: (2 điểm) Cho hàm số
2x 3
y
x 2
−
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm
đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu 13: (2,0 điểm) Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của
(C) nhỏ nhất.
Câu 14: Cho hàm số
3x 5
y
x 2
−
=
−
(C)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=-2x+7.
Câu 15: Cho hàm số
2x 3
y
x 2
−
=
−

+ 2mx
2
+ (m + 3)x + 4 có đồ thị là (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2. Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m
sao cho (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có
diện tích bằng
8 2
.
Câu 19: (2,0 điểm) Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y m 1 x mx 3m 2 x
3
= − + + −
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định
của nó.
Câu 20. Cho hàm số y = x
3
– 3(m + 1)x
2