ĐẠI H Ọ C V I N H
THƯ V I Ệ N

516.220 76
PRA(l)/94
DT 002494

v . v . PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VẼ HĨNH HOC PHANG
NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG

TẬP


v.v PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VÈ HÌNH HỌC PHANG
•
(GỒM 2 TẬP)

TẬP ĩ

Người dịch: H O À N G ĐỨC C H Í N H
NGUYỄN ĐẺ
Hiệu đinh:

P.T.S N G U Y Ễ N V I Ệ T H Ả I


Dê giúp bạn đọc sứ dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng tìm được các
bài tập ức một đê tài nào đó còn quan tăm, cuốn sách được chia ra làm 29
chương mồi chương gôm từ 5 đến 10 mục nhỉ. Cơ số đề chia ra như vậy lờ
dựa rối nôi dung bài tập và nhất là dựa (lào phương pháp để giòi các bài tập
hỉnh học-. Trong mỗi mục các bài toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp.
Mồi c hương được bổi đàu bòng tóm tát một số kiến thức lý thuyết căn nám
vững tít' giai toán l à một số bài toán mó đón • lò các bài toán đơn giản

nhưng

thìtờny

hay được SỪ dụng đê giải

các bài toàn khác phức tạp hơn. Salt mỗi

chứâhi

có một su bài tạp đi' bạn đọc tự giải và lời giai (f'â\ đủ các bài tọp trong

chương.

v.v. Praxolov

3


LỜI

NGƯỜI


Chương I
T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG
C Á C K I Ế N T H Ứ C C ơ BÀN
1. Tam giác A B C đ ô n g dạng v ớ i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1)
k h i va chi khi thỏa mãn m ộ t trong các đ i ề u k i ệ n tương đ ư ơ n g sau :
a) A B

BC : C A = A1B1 : B i d : C1A1.

b) AB : B e = A1B1 : B i C i và
c) A B C = A1B1C1

và

A B C = A1B1C1.

BÁC =

BiAid

2. Nêu các đường thẳng song song cắt ra k h ỏ i góc đ i n h A các tam giác AB1C1
và AB2C2, t h ì c á c tam g i á c đ ó d õ n g dạng và A B i : A B 2 = A C i : AC2 (các đ i ế m
B i và B2 nằm t r ê n một cạnh cùa góc, C i và C2 nằm t r ê n cạnh kia).
3. Đường trung binh của tam giác là đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m hai cạnh của
nó. Đoạn thẳng đ ó song song v ớ i cạnh t h ứ ba và bằng nửa đ ộ dài của nó.
Đường trung bình của h ì n h thang là đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh bên
của hình thang. Đoạn thẳng đ ó song song với các đáy và bằng nửa tổng độ dài của chúng.
4. T i sô d i ệ n tích của các tam giác đỏng dạng bằng bịnh p h ư ơ n g t i số đông dạng,
tức là bằng b ì n h phuong t i số đ ộ dài các cạnh t ư ơ n g ứ n g . Đ i ê u đ ó đ ư ợ c ổóiy ra,


đoạn thẳng nằm giữa các đường thẳng song song

1.1. Các đáy của hình thang bằng a và b.
a) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các dugng chéo trên dường trung bình.
b) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các cạnh bên của hình thang trôn
đường thắng đi qua giao điếm các đường chéo và song song với cádacy.
1.2. Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kì là các
đinh của một hình binh hành. Đối với các tứ giác nào thì hình bình hành đó là hình
chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?
1.3. Các điếm A i và Bi chia các cạnh Be và AC theo các t i sỗ B A I : A i C =
= 1 : p và A B i : BiC = Ì : q. H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia bởi đoạn thắng BBi
theo ti sỗ nào ?
'
Ì
1.4. Trên cạnh A D của hình bình hành ABCD lấy điếm p sao cho ÁP = - AD;

E F t h à n h ba phần bằng nhau.
9


1.15. G i ả sử hai cạnh và hai góc của m ộ i tam giác bằng hai cạnh và hai góc của
một (am giác khác. Có thể két luận các tam giác đ ó bằng nhau dược . H a y không ?
1.16. G i ả sử B là trung đ i ể m của đoan thẳng A C . Các đ i ể m D và E nằm ve một
phía so với dường thẳng A C và A D B = E B C , D A B = B C E . Chứng minh rằng
BDE = A D B .
1.17. T r ê n đường phân giác của một góc vuông lẩy diêm p. Qua n ó kẻ một (luông
Ihẳng bát kì định ra trên các cạnh của góc các đoạn thẳng dài a và b. Chứng minh
rằng dại lượng - + -- khôni! phừ thuộc vào đường thẳng đó.
a
b
1.18. G i ả sử ra, I"b, Te là bán kính các dường tròn bàng t i ế p của A A B C , tiếp xúc
với các cạnh Be, CA, A B t ư a n e ứng, r là bán kính đường tròn nội t i ế p , s và p là
diện lích và nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a) S = ( p - a ) r .

.

a

1
1
1
1
b) — + — + — =
r
r

™ • K
*
AB
A D _ AC
A C . Chứng minh rang — H
= ——.
AE
AF
AG

10


1.25. G i ả sử AC là dường c h é o lởn him của hình bình hành A B C D . T ừ (liếm c
xuống p h â n kéo dài của các cạnh A B và A D hạ các dường vuông góc C E va CF.
C h ứ n g minh rằng A B . A E + A D . A F = A C
2

L.26. Đoạn thẳng B E chia A A B C ra (hành hai tam giác dồng dạng, đòn lí thời l i sô
đồng dạng bằng Vĩ . Tính các góc của A ABC.
* § 3 . T ỉ s ố diện tích của các tam giác đồng dạng
1.27. Qua một điềm nào đ ó nằm trong tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí
với cạnh của nó. Các (luông thẳng này chia tam giác ra thành sáu p h â n . ironn sò ứỏ
có ba lam giác với các diện tích là Si, S 2 , Sĩ. Tính diện tích của lam giác đã cho.
1.28. T r ê n cạnh A C của A A B C lây một đ i ế m E. Qua đ i Ị m E kỏ (luông t hắn a
D E song son^ với cạnh BC và duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D và E lít
các đ i Ị m t r ê n các cạnh). Chứnc m i n h rằng S I J D E F =

2 V S A D E - S[=FC


Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại điểm c. Từ các điểm A và B
xuống dường thẳng Ì hạ các đường vuông góc A M và BN. Giả sử D là hình chiếu
của điểm c lên A B . Chứng minh ràng C E T = A M . B N .
1.39. Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D. A B và C D là các tiếp
tuyên của đường tròn thứ nhựt và thứ hai (B và c là các điểm trên các đường tròn)j
2

_ .
.
AC _ C D
Chứng minh rang —— =
.
BD
AB
u

k

2

1.40. Cho hình bình hành A B C D với góc ở đinh A nhọn. Trên các tia A B và
C B đặt c á c đ i ể m H và K t ư ơ n g ứng sao cho C H = Be và A K = A B . Chứng
minh rằng:
a) D H = D K .
b) A D K H _

A ABK.

1.41. Trên cung Be của dường tròn ngoại tiếp quanh tam giác đều A B C lẫy một
điểm p bựt kì. Các đoạn thẳng ÁP và B C cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng
gốc H M và H N xuống các cạnh B e và AC tuôn!! ứng. Chưn" minh rằng t á c tam
giác ABC và M N C dòng (lạjig.
1.49. Trong tam eiác nhọn A B C kố các duừnu cao A D , BE va CF. Chứng minh
rằng — = — , trong đ ó p là chu vi của A E D F , p là chu vì của A ABC.
p
R
1.50. a) Chứng minh rằng các dường cao A A i , B B i , CCi của tam giác nhọn A B C
chia đôi các góc cùa tam giác A 1 B 1 C 1 .
lĩ

thứ hai : Chia các

cạnh A D và BC ra làm n p h â n
bằní> nhau và nỗi c h ú n g n h ư
trên h.2. K h i đ ó (lườm: c h é o
A C dược chia làm n + 1 p h â n
mà dỗ d à n g thấy dược có đ ộ dài
bằng nhau.
1.5. A B C D là t ứ giác đã
cho, A C là đường k í n h của
đường tròn ngoại t i ế p quanh
A B C D . H ạ các đường vuông
góc A A i và CCi xuống B D
(h.3). Ta căn phải chứng minh
rằng B A I = D C i . Cũng hạ
đường vuông góc OP l ừ t â m o
cùa

dường

tròn

ngoại

Hình

2

tiếp



thằng KM s

PM
KIM
M N P = K M O . M ạ i khác, do A M K N cân, n ê n

r

S.ỌỊĨỀ " V Ó T

m ^ Q f f M ;

VỎITC,
KN

Ẹip^iỊó^


Hình 3

Hĩnh 4

1.8. Lấy trên đoạn thẳng C D
m ộ i đ i ể m K sao cho C K : K D =
= 2 : Ì, và trên đoạn thẳng A B lấy
đ i ế m L sao cho A L : L B = 3 : 1.
G i ả sử E là giao đ i ể m của các
đường thẳng A K và Ch. B ở i vì
đường thẳng AK. cắt đường t r ò n



/V
/s
/N
M E E ' , y = B C P = P E E ' (h.5). Khi đó \ga

^

a

=

DAM =

KK'
DK'
= —
= —
=
AK'
AK'

DK _ Ì .
_ Lư
'BU _ B L _ Ì
« r\\A
_ '
= —— = - và Igỵ = — - = -—- = — = - . Cho nên D M = - a
Ke

Ì
=-a.

3
nên ta được

ME" = - M P = (),la. Rõ r a n g E ' E = — M E ' = 0,2a. Theo định lí Pilago
5
[ga
. O E = (OM + E ' E ) + M E ' = (0,5a + (),2a) + ( 0 , l a ) = 0,5a , tức là điểm E
nằm trên dirờni! tròn s.
2

2

1.9. Cách

2

2

2

2

thứ nhai : Hạ lừ các đinh A và c các đường vuông góc A K và C L

xuõnt; dưửne thẳng B E . Các tam giác vuông B L C và B K A đ ò n g dạng với nhau, bởi
vì C B L -


Nếu

BE

C B E và B E A = ĐÉC.

là

đường

phán

giác

ngoài,

thì

Trong cả hai trường hợp sin A B E =

= sin C B E và sin B E A = sin B E C . Do đó áp dọng định lí sin cho các tam giác A B E
. „ ,
AE
sin A B E
sinCBE
CE „ .
AB
AE
và C B E , ta duực -"— =
=

cũnc nhân được bằng cách ttrơne, tự.
19


CP
_
1
— = 2, nên A ACP _ A K M p. Do đó M K = - A C và
PK
PM
2
đường thẳng M K song song với AC, tức K M là dường trung bình của tam giác.
1.12. Bởi vì

ÁP

1.13. N ế u góc A B C tù (tuưng ứng là nhọn), thì góc M A N cũng tù (tương ứng
cung nhọn). Ngoài ra các cạnh của các tam giác dó tương ứng vuông góc v ớ i nhau.
Do đ ó A B C = M A N . Các tam giác vuông A B M và A D N có các góc nhọABn M 4f
và A D N bằng nhau, do đó —
AN
1.14.

Kí

hiệu o

là trọng

= —


FE

F?

Le

T ư ơ n g tự E N =

3

3

Ì- E F .
3

1.15. G i ả sử a > 1. Tam giác v ớ i các
cạnh Ì, a, a

tòn t ạ i , nếu a
thỏa mãn các yêu càu của bài toán, nhưng k h ô n g bằng nhau.


AET

AF

AG

Hình 8

+

Air
AG .

CD' + AD'
AG

=

A

D

D

AC
AG

Hình 9


?

=

S

,

I

F

,

J

(h.lO).

S 2 = SiEQ,

K h i do-

v/T'\/ĩ'V7GQ

+

AC

IE



2

1.28.

SADH
áo đó :

SBDEF =

SBDE

BP

EF

/SEFC

SADE

AD

AD

SADE

2 VSADE . SEFC

1.29. Ta sê sử dụng c á c kí h i ệ u c ù a b à i Ì .27 v à đ ư a t h è m c á c k í h i é u
sr

S'lS'2

s = -——s =—
2

2S'2

3

— - .

2S'3

/ - -

Nhưng

trình
r--

đ ó ta
r-- ~>

s = (Vãi + yfs + v^s Ý
2

3


(xem bài 1.27). Do đ ó


=

1. Thật

Ì
Ì
- + 2
3

ti>a+tt>/5
Ì - tga

vậy do
"

tg/3

_I

và XgP = 3

nên

DE _

EA _

AD


đó

Iga
2

và các tam
ra

giác D E A và A E B

A E C = C A E = 45° . Do đó

B A = Vĩo

. Do

đ ô n g dạniỊ. Suy

ra

ABC + A D C + AEC =

( EAD + CAE) + ADC = CAD + ADC = 90°.
1.32. H ạ từ điềm L các đ ư ờ n g vuông góc L M xuống A B và L N xuỏnii A D . Do

K M = M B = N D và K L = L B = D L , nên các tam giác vuông K M I ^ và N D L bằng
nhau. Suy ra D L K = N L M = 9 0 ° .

.