LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình làm khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Năng Tâm – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình để tôi hoàn thiện khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian và năng lực có hạn nên tôi vẫn
chưa đi sâu khai thác hết được và còn nhiều hạn chế cũng như thiếu sót. Vì vậy,
tôi mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Sim

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số
học ở Tiểu học” là kết quả mà tôi đã trực tiếp nghiên cứu, tìm hiểu được, thông
qua các đợt kiến tập hằng năm và thực tập năm cuối. Trong quá trình nghiên cứu
tôi có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên cứu, một số tác giả khác. Tuy
nhiên, đó chỉ là cơ sở để tôi rút ra được những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của
mình. Đây là kết quả của riêng cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả
của các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên




MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học….áp
dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực,
tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề đã được đề cập tới nhiều. Thế nhưng,
muốn có năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo thì cần phải có
năng lực tư duy lôgic. Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài
nước khẳng định bởi những lợi ích mà nó mang lại. Song trong thực tế, việc bồi
dưỡng tư duy lôgic ở trường phổ thông nói chung, trường tiểu học nói riêng chưa
đáp ứng được yêu cầu của Đảng đặt ra đối với sự nghiệp giáo dục, cũng như
những đòi hỏi của xã hội.
Bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân
cách cho con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn
bộ hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc học Tiểu học. Vì vậy, ở Tiểu học,
các em học sinh được tạo điều kiện phát triển toàn diện, tối đa với các môn học
thuộc tất cả các lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Con người.
Môn Toán ở Tiểu học có một ý nghĩa và vị trí đặc biệt quan trọng. Với tư
cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, nó có
một hệ thống khái niệm, quy luật và có phương pháp riêng. Hệ thống này luôn
phát triển trong trong quá trình nhận thức thế giới và đưa ra kết quả là những tri
thức Toán học để áp dụng vào cuộc sống. Với đặc thù riêng của môn học, Toán
học thực sự đóng vai trò chủ đạo trong việc trang bị cho học sinh hệ thống công
cụ và phương pháp riêng, là công cụ cần thiết để học sinh học các môn học khác,
và phục vụ cho các bậc học trên.

4



lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em đến thật gần chân lí ấy; giúp giải
thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải
thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt.
Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi
quyết định chọn đề tài “ Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
ở Tiểu học” để nghiên cứu nhằm rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh. Tôi mong
muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các em học sinh có
được năng lực suy luận và chứng minh khi học mạch số học, đồng thời góp phần
phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh của mình sau này.
Trong khóa luận này tôi đã tham khảo thêm một số tài liệu của những tác
giả khác như: Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán 4 – 5, tập 1, tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam. Đỗ Đình Hoan (2002), Một
số vấn đề cơ bản của chương trình Tiểu học mới, NXB Giáo dục. Đỗ Đình
Hoan (chủ biên) (2006), SGK Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, Toán 5, NXB
Giáo dục. Nguyễn Phụ Hy (2000), Dạy học môn Toán ở bậc Tiểu học, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội…
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số
học ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
- Tìm hiểu về suy luận và chứng minh
- Trình bày về suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
4. Đối tượng – phạm vi nghiên cứu

6


Đối tượng nghiên cứu: suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
ở Tiểu học

1.5.4. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Chương 2: Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
2.1. Suy luận quy nạp
2.2. Suy diễn
2.3. Phép tương tự
2.4. Một số bài toán vận dụng
KẾT LUẬN

8


Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương này sẽ trình bày về những cơ sở lí luận cơ bản nhất về đặc điểm
nhận thức của học sinh Tiểu học, cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học.
Đồng thời cũng trình bày một cách khái quát nhất về suy luận và chứng minh.

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lí con người (nhận
thức, tình cảm và hành động). Nó là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan
hệ chặt chẽ với chúng cũng như với các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động nhận
thức là hoạt động mà trong kết quả của nó, con người có được các tri thức (hiểu
biết) về thế giới xung quanh, về chính bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành
các hoạt động khác một cách có hiệu quả. Hoạt động nhận thức bao gồm nhiều
quá trình phản ánh hiện thực khách quan ở những mức độ khác nhau (cảm giác,
tri giác, tư duy, tưởng tượng,…) và mang lại những sản phẩm khác nhau về hiện
thực khách quan (hình ảnh, biểu tượng, khái niệm). Có thể chia toàn bộ hoạt
động nhận thức thành hai giai đoạn lớn: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính.
Phát triển khả năng nhận thức là chỉ số của sự phát triển tâm lí trẻ em. Vì

thập phân (ý nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm và tính viết
theo thuật toán…). Một số đặc điểm của tập hợp các số thập phân (xếp thứ tự
tuyến tính, giữa hai số thập phân bất kì có rất nhiều số thập phân). (xem [5], tr.
22, tr. 23)

10


1.3. Suy luận
Định nghĩa: Hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến về định nghĩa phép suy
luận. Qua tìm hiểu tôi có dẫn ra 2 cách phát biểu định nghĩa về suy luận như sau:
a. Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề rút ra một
mệnh đề mới, mệnh đề mới gọi là kết luận hay hệ quả logic. (xem [14], tr. 38)
Ta kí hiệu:
X1X2…Xn  Y
là một suy luận rút ra mệnh đề mới Y, từ các mệnh đề Xi, i = 1, n.
X i (i  1; n) là các tiền đề;

X1X2...Xn là tiền đề lớn;
Y là kết luận.
Nếu X1X2…Xn  Y là hằng đúng thì ta bảo suy luận đó là hợp logic, Y
được gọi là kết luận logic hay hệ quả logic.
Nếu tồn tại bộ giá trị của (X1, X2,…, Xn, Y) mà :
X1X2…Xn  Y
nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận là không hợp logic hay suy luận sai.
Ví dụ:
Nếu f ( a ) là hàm số liên tục trên [a, b]; f  a  . f  b   0 thì c  (a, b) sao
cho f  c   0. (xem [14], tr. 38)
Hàm số:
f ( x )  ( x  p )( x  q )  a 2 ( x  q )  b 2 ( x  p 2 )

x p xq

b. Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết.
Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề, một mệnh đề nói được rút ra gọi là kết luận
của suy luận. (xem [2], tr. 184)
Hai kiểu suy luận thường gặp là là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn)
và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí).
1.3.1. Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy
tắc suy luận tổng quát (của logic mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các
tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
Mỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản. Trong
mỗi bước suy luận đơn giản đó ta cần sử dụng một quy tắc suy luận để từ những
mệnh đề đã được thừa nhận là đúng suy ra được một mệnh đề mới. Các mệnh đề
xuất phát đã được thừa nhận đúng gọi là các tiền đề, mệnh đề mới được suy ra là
hệ quả logic của các tiền đề. Từ đó người ta có định nghĩa quy tắc suy luận như

12


sau: Giả sử A1, A2,…, An, B là những công thức. Ta nói B là hệ quả logic của A1,
A2,…, An nếu mọi hệ chân trị có thể nhận của các biến mệnh đề có mặt trong các
công thức đó mà A1, A2,…, An đồng thời nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị 1.
Khi B là hệ quả logic của A1, A2,…, An thì ta cũng nói có một quy tắc suy luận
từ các tiền đề A1, A2,…, An tới hệ quả logic B của chúng. (xem [1], tr. 86)
Trong logic vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của logic mệnh đề ta
thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:
1)

(x  X ) P ( x ), a  X


14

2
Vậy sin

R


14

 cos 2


14

1

Trong ba ví dụ trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,
2 vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng.
Ví dụ 4:
- 672 chia hết cho 3.
- 672 chia hết cho 4.
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận:

p, q
pq
Ví dụ 5:
Từ các tiền đề

- Phép tương tự.
Ví dụ:
a) Trong hình học phẳng ta có định lí “Hai đường thẳng cùng vuông góc
với một đường thẳng thì song song với nhau”. Một cách tương tự chuyển sang
hình học không gian ta có “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì song song với nhau”. Ta đã biết kết luận này sai. (xem [1], tr. 91, tr. 92)

15


2
b) Với mọi số nguyên a ta có “ a  a  2 ”. Một cách tương tự ta có

4
“ a k  a  k với mọi k  N * ”. Vì 2  2 không chia hết cho 4 nên kết luận trên

không đúng với k = 4. Vì 2 là số nguyên tố nên một cách týõng tự ta lại có
p
“ a  a  p với một số nguyên tố p”. Kết luận này đúng, đó chính là định lí Phéc

– ma. (xem [1], tr. 91, tr. 92)
Phép quy nạp không hoàn toàn và phép tương tự là hai phép suy luận có
vai trò đặc biệt quan trọng trong phát minh sáng tạo, nó giúp chúng ta đưa ra
những phán đoán về các kết quả mới. (xem [1], tr. 92)
Một số ví dụ về 2 phép suy luận trên:
Ví dụ 6:
Từ các tiền đề:
- 4+3=3+4
- 15 + 48 = 48 + 15
- 243 + 358 = 358 + 243

luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận
đó.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những
định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận
C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ rằng X là kết luận logic của
các tiền đề đúng. (xem [2], tr. 186, tr. 187)

17


Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi
bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận
tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép
suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng.
Một phép chứng minh gồm ba phần:
1. Luận đề: Là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Luận cứ: Là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được
khẳng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh
trước đó,…) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận.
3. Luận chứng: Là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng
trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó. (xem [2], tr. 187)
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B ( A  B ) là:
- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch.
- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tổng quát
được áp dụng.
Chẳng hạn:
- Mỗi suy luận trong các ví dụ 1 – 5 là một chứng minh (vì các tiền đề trong
mỗi suy luận đều đúng và ta đều áp dụng những quy tắc suy luận tổng quát

An1  An
An  B
Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh.
(xem [2], tr. 188)
1.5.2. Phương pháp chứng minh phản chứng

19


Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết
luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
- Giả sử A đúng mà B sai (G ( A  B )  1)
- A B C C
- Áp dụng quy tắc suy luận:
A B C C
A B

Ta rút ra kết luận A  B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau:
- Giả sử A đúng mà B sai (tức B đúng)
-

BA

- Áp dụng quy tắc suy luận:

BA
AB

Ta rút ra kết luận A  B là đúng.

Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát:
T ( a1 ), T (a2 ),..., T (an ), X  {a1 , a2 ,..., an }
x  X , T ( x )

Ví dụ 11:
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Giả sử n là số tự nhiên và T = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4). Gọi D là tập các số
dư của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}.
- Nếu số dư bằng 0 thì n 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 1 thì (n  4) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 2 thì (n  3) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 3 thì (n  2) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 4 thì (n  1) 5 . Suy ra T 5

21


Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên.
1.5.4. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự
nhiên n  nn ) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát.

n  N , T (n) (hoặc n  nn , T (n) ) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chưng minh G(T(0)) = 1 (hoặc G(T(nn) = 1) hay tính chất T(n) đúng với
n = 0 (hoặc n = nn).
Bước 2: Giả sử G(T(0)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k. Ta chứng minh
G(T(k + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + 1.
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi
số tự nhiên n  n0 ) hay

n2


Giả sử công thức trên đúng với n  k  2 , tức là:
1
1
1
k



, với k  2
1.2 2.3 k (k  1) k  1

Ta có:

1
1
1
1



1.2 2.3 k (k  1) (k  1)(k  2)
k
1


k  1 (k  1)(k  2)
k.(k  2)  1 k  1



Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau
(theo giả thiết ở phần trên) ta được

( k  1)  k
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm
2

thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k + 1 đoạn thẳng nữa. Vậy số đoạn
thẳng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là:

(k 1)  k
k  (k 1)
 (k 1) 
(đoạn)
2
2
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối
chúng với nhau ta sẽ được:

( n  1)  n
đoạn thẳng.
2

Kết luận: Trong chương này tôi đã trình bày về cơ sở lí thuyết của phép suy luận
và chứng minh cùng một số ví dụ. Đây cũng là tiền đề cho việc vận dụng suy
luận và chứng minh trong dạy và học mạch số học ở Tiểu học.



2764

a+b

20 + 30 = 50

250 + 350 = 600

1208 + 2764 = 3972

b+a

30 + 20 = 50

350 + 250 = 600

2764 + 1208 = 3972

Từ bảng trên học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a + b và b + a luôn bằng nhau”
Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong một
tổng thì tổng đó không thay đổi
a+b=b+a

25