Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội
&
Lê thiếu tráng
VN DNG PHẫP BIN CHNG DUY VT NHM PHT TRIN
NNG LC TON HC CHO HC SINH KH V GII TON
TRONG DY HC NI DUNG VECT V TA
TRNG TRUNG HC PH THễNG
Chuyên ngành : LL& PPDH Bộ môn toán
Mã số : 62 .14. 01. 11
Tóm tắt Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục
hà nội - 2015
Luận án đợc hoàn thành tại:
Trờng đại học s phạm hà nội
Ngời hớng dẫn khoa học: 1. TS. Trần Luận
2. PGS. TS. Vũ Dơng Thụy
Phản biện 1: GS.TS. Đào Tam
Trờng Đại học Vinh
Phản biện 2: PGS.TS. Đào Thái Lai
Viện Khoa học giáo dục Việt Nam
Phản biện 3: TS. Nguyễn Đức Hoàng
Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Luận án đợc bảo vệ tại: Hội đồng chấm Luận án cấp Trờng
Họp tại: Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2015
Có thể tìm đọc luận án tại:
- Th viện Quốc gia
- Th viện Trờng Đại học S phạm Hà Nội
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
1. Lê Thiếu Tráng (2010), Áp dụng tư duy biện chứng trong dạy học toán giúp
học sinh chủ động và sáng tạo trong học tập, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục

cận toàn diện tổng thể trong những giá trị và tư duy của nó; Không giúp người học làm
việc tốt trong các nhóm và đội làm việc.
Rausch, Sherman, và Washbush năm 2001 cho rằng: “Thiết kế một cách cẩn thận
các chương trình giáo dục và đào tạo chú trọng vào kết quả đầu ra và dựa trên năng lực
có thể xem là một giải pháp tự nhiên để giải quyết hầu hết, nếu không phải là tất cả,
những nhược điểm này”.
Nhóm tác giả: Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình nêu quan
điểm: “Phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan
trọng của thầy giáo vì hai lí do: thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát
triển của các ngành khoa học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội ngũ
những người có năng lực toán học; thứ hai, “Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cuộc
sống cộng đồng, "phải" bảo đảm sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và
phát huy sở trường và năng khiếu cá nhân”. Tuy nhiên, rất đáng tiếc, hiện nay chúng ta
vẫn chưa có những công trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học
của học sinh nước ta, để từ đó có nội dung, phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo
toán học cho học sinh một cách chủ động.
Bộ giáo dục và Đào tạo năm 2013 đã có hướng dẫn "Thí điểm chương trình giáo
dục định hướng phát triển năng lực học sinh".
Năm 2014, trong Dự thảo Chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của Bộ Giáo
dục và Đào tạo đề ra mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ thông nhằm tạo ra những con
người Việt Nam phát triển hài hòa về thể chất và tinh thần, có học vấn phổ thông; có
năng lực chung: Tự học và quản lí bản thân; phát hiện và giải quyết vấn đề; giao tiếp và
hợp tác; sử dụng ngôn ngữ, tính toán, công nghệ thông tin và truyền thông làm cơ sở cho
việc lựa chọn nghề nghiệp.
Do đó, việc nghiên cứu về phương pháp dạy học phát triển năng lực cho học sinh
là một vấn đề cần thiết cho việc đổi mới giáo dục trong thời gian tới ở Việt Nam.
1
1.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật trong dạy học Toán là một phương pháp
phát triển năng lực hiệu quả cho học sinh ở trường trung học phổ thông
Muốn dạy tốt môn toán trong nhà trường phổ thông, giáo viên cần có những hiểu

nhau, học để làm người. Các nghiên cứu xoay quanh vấn đề “học để làm” liên hệ mật thiết
với việc phát triển năng lực của học sinh.
2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam, đã có một số công trình nghiên cứu về vận dụng phép BCDV trong
giảng dạy Toán, phát triển tư duy biện chứng cho học sinh: Tiêu biểu là tác phẩm “Tập
cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu toán học” của Giáo sư TSKH
Nguyễn Cảnh Toàn, dựa trên 10 chủ đề tiêu biểu, tác giả đã sử dụng một số nguyên lí và
các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV, phân tích sâu sắc việc sử dụng chúng trong
quá trình học toán và nghiên cứu toán học.
2
Tác giả Nguyễn Thái Hòe, “Vận dụng những hiểu biết về triết học (các qui luật
cơ bản và các cặp phạm trù của phép BCDV) vào việc định hướng đường lối giải các
bài toán”, Thông báo khoa học, ĐHSP Vinh, 1990.
"Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học hình học ở trường trung
học phổ thông" luận án tiến sĩ của Nguyễn Thanh Hưng Đại học Tây Nguyên, 2008.
Về năng lực, ở Việt Nam đã có một số tác phẩm, bài báo đề cập đến, đặc biệt là
trong một số năm gần đây đã có nhiều cuộc Hội thảo bàn về vấn đề phát triển năng lực
chung và năng lực Toán học cho học sinh.
Tác phẩm "Giáo dục học môn Toán" của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần
Thúc Trình, đã phân tích và minh họa phát triển năng lực toán học trong quá trình dạy
học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông.
Tác phẩm “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở
trường THCS” của Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân, các tác giả cũng đề
cập sâu sắc đến việc phát triển năng lực toán học của học sinh thông qua các hoạt động
trí tuệ tiêu biểu.
Một số bài viết khác như: Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một
số thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán”, Tạp chí giáo dục; TS
Trần Luận (1990), “Về cấu trúc năng lực toán học của học sinh”, Tư liệu Hội thảo môn
toán, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội; Kỷ yếu hội thảo khoa học quốc gia: “Nghiên cứu
giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014-2020”

liên hệ giữa toán học và các đặc trưng cơ bản của phép BCDV, minh họa những tri thức
tiêu biểu trong quá trình giảng dạy hình học.
4.2. Tìm hiểu, tổng hợp một số khái niệm, công trình về năng lực, năng lực toán học và
các đặc trưng của nó, đưa ra quan điểm phù hợp trong giai đoạn hiện nay ở Việt Nam.
4.3. Tìm hiểu năng lực toán học của học sinh trong học tập hình học ở trường phổ thông
và mối quan hệ của nó với phép BCDV.
4.4. Xác định một số căn cứ, định hướng của việc đề ra các biện pháp sư phạm phát triển
năng lực toán học dựa trên cơ sở phép BCDV.
4.5. Đề xuất các biện pháp sư phạm vận dụng phép BCDV trong dạy học nội dung vectơ-tọa
độ ở trường phổ thông nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung chương trình hình học, chủ yếu là nội
dung liên quan đến vectơ và tọa độ ở trường trung học phổ thông.
6. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
6.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học hình học, nội dung vectơ và tọa độ theo hướng phát triển
năng lực toán học của giáo viên và học sinh ở trường trung học phổ thông.
6.2. Đối tượng nghiên cứu
Khái niệm, đặc trưng của năng lực toán học, lí luận của phép BCDV, việc vận
dụng phép BCDV của giáo viên để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi
toán ở trường trung học phổ thông.
7. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học nội dung vectơ và tọa độ, nếu vận dụng phép BCDV bằng
những biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực toán học cho học
sinh, từ đó nâng cao được hiệu quả dạy học Toán ở trường trung học phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu về năng lực, năng lực toán học, tài liệu về triết học
DVBC, các tài liệu về Tâm lí học, Giáo dục học, các văn bản về giáo dục, luật giáo dục.
8.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu hỏi, phiếu thăm dò các giáo viên dạy
Toán về sự quan tâm việc phát triển năng lực toán học cho học sinh, việc sử dụng phép

10.2. Về mặt thực tiễn
- Xây dựng được một phương pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi
toán thông qua giảng dạy chủ đề phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học.
- Xây dựng được 5 biện pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán
ở trường trung học phổ thông.
- Xây dựng được một số chủ đề tiêu biểu và hệ thống ví dụ minh họa trong giảng dạy của
luận án là tài liệu tham khảo cho giáo viên khi thực hiện Kế hoạch giáo dục theo định
hướng phát triển năng lực người học của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong những năm tới.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm, hình thức, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng, phép biện
chứng duy vật
1.1.1. Một số khái niệm
a. Biện chứng: Là phương pháp triết học xem xét những sự vật hiện tượng và những
phản ánh của chúng vào tư duy, chủ yếu là trong mối liên hệ qua lại, trong sự phát sinh
và sự tiêu vong của chúng.
b. Siêu hình: Là phương pháp xem xét sự vật trong trạng thái đứng im, không vận động,
cô lập và tách biệt nhau.
1.1.2. Các hình thức cơ bản của phép biện chứng
a. ''Phép BC chất phác”; b. ''Phép BC duy tâm”; c. ''Phép BCDV”.
1.1.3. Phép biện chứng duy vật, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng duy vật
về phương pháp luận
Phép BCDV là khoa học về các qui luật chung nhất về sự phát triển của thế giới
vật chất, đồng thời là lí luận nhận thức và lôgic học. Các qui luật nhận thức và các hình
thức tư duy không tách rời lí luận về các qui luật và các hình thức vận động của tồn tại.
Phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin có hai đặc trưng cơ bản sau:
5
Một là, phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin là phép biện chứng được xác lập trên
nền tảng của thế giới quan duy vật khoa học.
Hai là, trong phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin có sự thống nhất giữa nội dung

Năng lực nhận thức và thể hiện văn hóa; (7) Năng lực sử dụng công nghệ số; (8) Năng
lực học cách học.
Đối với Việt Nam, trong Dự thảo chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của
Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2014, phần phụ lục 1: Chuẩn đầu ra phẩm chất năng lực
chung của chương trình giáo dục các cấp, nêu chín phẩm chất về năng lực chung cần đạt
là: (1) Năng lực tự học; (2) Năng lực giải quyết vấn đề; (3) Năng lực sáng tạo; (4) Năng
lực tự quản lí; (5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực hợp tác; (7) Năng lực sử dụng công
nghệ thông tin và truyền thông; (8) Năng lực sử dụng ngôn ngữ; (9) Năng lực tính toán.
1.2.3. Năng lực toán học
a. Khái niệm năng lực toán học trong tâm lí học
Trong tâm lý học người ta hiểu khái niệm năng lực toán học dưới hai khía cạnh:
Đó là những năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách là khoa
6
học; người có năng lực sáng tạo toán học cống hiến cho loài người những công trình toán
học có ý nghĩa đối với sự phát triển của khoa học toán học nói riêng, có ý nghĩa đối với
hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung; Đó là những năng lực trong học tập, trong việc
nắm vững toán học với tư cách là môn học; người học sinh có năng lực toán học nắm
được nhanh chóng và có kết quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
b. Một số quan điểm khác
Trong cuốn sách của Viện sĩ Toán học A.N. Kôlmôgôrôp "Về nghề nghiệp của
nhà toán học". Các thành phần năng lực được minh họa trong sơ đồ 1.1.
Khuynh hướng
hứng thú
Các nét tính
cách
Các tình trạng
tâm lý
Kiến thức kỹ
năng kỹ xảo
Sơ đồ 1.1

toán học. Thứ hai, Văn kiện Đại hội IV của Đảng đánh giá: “Tập trung nâng cao chất
lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kĩ năng
thực hành, khả năng lập nghiệp”; “Đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học theo định
hướng “coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học của học sinh”.
1.3. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông, vai
trò của của phép biện chứng duy vật đối với sự phát triển năng lực toán học của học
sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
1.3.1. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
Mục tiêu chính của chương trình dành cho học sinh giỏi và học sinh tài năng ở các
nước đều hướng đến một số điểm chính sau: Phát triển phương pháp suy nghĩ ở trình độ
cao phù hợp với khả năng trí tuệ của trẻ; Bồi dưỡng sự lao động, làm việc sáng tạo; Phát
triển các kĩ năng, phương pháp và thái độ tự học suốt đời; Nâng cao ý thức và khát vọng
của trẻ về sự tự chịu trách nhiệm; Khuyến khích sự phát triển về lương tâm và ý thức
trách nhiệm trong đóng góp cho xã hội.
1.3.2. Vai trò của của phép biện chứng duy vật đối với sự phát triển năng lực toán
học của học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
Mối quan hệ giữa phương pháp dạy học môn toán với những khoa học khác được
thể hiện trong sơ đồ 1.2 [24, tr.22-25].
Sơ đồ 1.2
1.3.2.1. Phép biện chứng duy vật thể hiện khi định nghĩa khái niệm
Dựa trên hình ảnh minh họa thực tế (trực quan sinh động), dẫn đến khái niệm hai vectơ
cùng phương, dẫn đến biểu thức (tư duy trừu tượng) để hai vectơ cùng phương và khái niệm
tọa độ trên trục, hệ trục, từ không gian một chiều, hai chiều đến ba chiều.
1.3.2.2. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong các định lí và ví dụ
Để học sinh thấy sự tổng quát, sự "vận động" của bài toán khi đưa ra định lí côsin
trong tam giác. Trước hết xét trường hợp ∆ABC vuông tại A. Khi
µ
A
không vuông thì có
kết quả mới, tổng quát hơn và không phủ định kết quả cũ:

C
A
H
A
B
D
C
H
Bài toán gốc 1: Cho 2 điểm A, B phân biệt, G là trung điểm đoạn thẳng AB. Chứng
minh:
GA GB 0
+ =
uuur uuur r
và với mọi điểm M ta có:
MA MB 2MG
+ =
uuur uuur uuur
. Nếu nhìn bài toán
dưới góc độ “vận động” theo hai hướng sau, ta sẽ phát triển được thành một hệ thống bài
tập tổng quát (Sơ đồ 1.4):
Hướng khai thác Bài toán cơ bản Sự “vận động” của bài toán
Giả
thiết
Hướng 1 Cho 2 điểm A, B phân biệt Cho n điểm A
1
, A
2
, ,A
n
, n > 2

α
với α+β≠0, ta có:
Bài toán tổng quát 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực α, β sao cho α+β ≠0:
a) Tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
GA GB 0
α + β =
uuur uuur r
.
b) ∀M ta có:
MA MB ( )MGα + β = α + β
uuur uuur uuur
.
Hướng 2: Xét sự "vận động" theo hướng số lượng điểm ban đầu thay đổi:
Bài toán gốc 2: Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì:
GA GB GC 0
+ + =
uuur uuur uuur r
và ∀M ta có:
MA MB MC
+ + =
uuur uuur uuur
3MG
uuuur
. Đối với học sinh khá giỏi, thì các em đã tự tìm được kết quả:
Bài toán tổng quát 1: Cho n điểm A
1
, A
2
, ,A
n

, α
2
, ,α
n
thỏa
mãn:
1 2

n
α α α
+ + +
≠0 thì:
1) Tồn tại duy nhất điểm G:
1 1 2 2 n n
GA GA GA 0α + α + + α =
uuuur uuuur uuuuur r
.
2) ∀M:
1 1 2 2 n n 1 2 n
MA MA MA ( )MG
α + α + + α = α + α + + α
uuuuur uuuuur uuuuur uuuur
.
1.3.2.4. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong mối liên hệ giữa mặt phẳng và không gian
Bài toán 1.6: Sự tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông (Sơ đồ 1.5)
Tam giác ABC
vuông tại A,
đường cao AH:
Tứ diện ABCD
vuông tại A,

2
ADB BCD BHD
S S .S=
.
-
2 2 2 2
BCD ABC ACD ABD
S S S S= + +
.
-
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AB AC AD
= + +

Sơ đồ 1.5
9
1.4. Các phương pháp tiếp cận hình học ở trường trung học phổ thông
1.4.1. Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh một mệnh đề hình học có thể người ta
phải xem xét những trường hợp khác nhau của hình vẽ.
1.4.2. Phương pháp tọa độ (giải tích): Descartes và Fermat xây dựng phương pháp giải
tích, thông qua trung gian là một hệ tọa độ, thay thế các đối tượng và các quan hệ hình
học thành những đối tượng và quan hệ đại số, dẫn đến giải các phương trình, hệ phương
trình đại số. Cách giải không phụ thuộc hình vẽ nên có tính khái quát cao.
1.4.3. Phương pháp vectơ: Leibniz là người khởi xướng đến với ý tưởng xây dựng một
phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của
đại số nhưng vẫn ở phạm vi hình học.
1.4.4. Những con đường trình bày hình học ở trường trung học phổ thông: Trình tự
con đường có thể tiến hành dạy và học hình học ở trường trung học phổ thông (Sơ đồ 1.7):
Sơ đồ 1.7

hình học
PP vectơ
PP vectơ
PP giải tích
PP giải tích
1.7.2. Nguyên nhân: Giáo viên chưa hiểu một cách đầy đủ về phát triển năng lực nói
chung và năng lực toán học nói riêng, chưa thấy tầm quan trọng của việc phát triển năng
lực là xu thế chung của giáo dục học hiện đại trên thế giới hiện nay; giáo viên chưa nắm
được đầy đủ về phép BCDV, hoặc sử dụng không rõ nét trong quá trình giảng dạy.
Chưa thấy ý nghĩa của việc dùng phép BCDV để phát triển năng lực toán học cho học
sinh; Một số giáo viên có chú trọng đến việc phát triển năng lực toán học cho học sinh,
nhưng không có công cụ để làm hoặc chỉ làm theo quan điểm cá nhân như tăng cường
luyện tập hoặc sử dụng phương pháp tương tự khi luyện tập ; Hiện nay các tài liệu về
phát triển năng lực, năng lực toán học không nhiều và khó tìm, hoặc có nhưng không rõ
nét, không phù hợp với dạy học toán ở trường phổ thông.
1.8. Kết luận chương 1
Phát triển năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng cho học sinh phổ thông
là một trong những khâu quyết định đến chất lượng học tập và giảng dạy môn Toán.
Việc dạy học theo hướng tiếp cận năng lực của học sinh là đòi hỏi cấp thiết. Trong
thế giới bùng nổ thông tin, học sinh phải biết chọn lọc các kiến thức cần thiết cho môn
học, bên cạnh đó vẫn phải có kiến thức tổng hợp, cập nhật trong sự tiến bộ của khoa học
thế giới, phát triển năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng giúp các em lĩnh hội
được môn học vững chắc hơn, có bản lĩnh trong học tập cũng như trong công việc sau này.
Trong chương 1, từ cơ sở lý luận về phép BCDV, phân tích các khái niệm, đặc
trưng và cấu trúc năng lực, năng lực toán học của học sinh, qua khảo sát thực tế, luận án
đã xác lập các yêu cầu cần đạt cho việc sử dụng phép BCDV trong giảng dạy để phát
triển năng lực toán học cho học sinh, những yếu tố cơ bản tác động đến việc phát triển
năng lực toán học cho học sinh toán học phổ thông, bằng những lí luận về phép BCDV
trong giảng dạy, luận án xây dựng những căn cứ và định hướng để đưa ra các biện pháp
mà luận án sẽ trình bày trong chương 2.

phổ thông: Giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kĩ năng, thói
quen cần thiết cho: Cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, của
gia đình và cộng đồng; Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán học dưới bất kì hình thức nào
của giáo dục thường xuyên, giáo dục suốt đời; Học tập, tìm hiểu các bộ môn khoa học
khác hoặc lĩnh vực khác; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết của
một người có học vấn trong xã hội hiện đại, cùng những phẩm chất, thói quen khác như
đầu óc duy lí, tính chính xác ; Góp phần quan trọng trong việc hiện thực hóa khả năng
hình thành thế giới quan khoa học qua học tập môn Toán ; Hiểu rõ nguồn gốc thực
tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển cùng với những tiến bộ của
khoa học kĩ thuật và công nghệ.
2.2.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật khai thác nội dung chương trình và sách giáo
khoa để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong giảng dạy
2.2.3. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học sinh
cần dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
a. Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng
tạo của hoạt động học tập thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu;
b. Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm
2.2.4. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học sinh
cần chú trọng đến năng lực tự học của học sinh
2.3. Những biện pháp vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực
toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở
trường trung học phổ thông
2.3.1. Biện pháp 1: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực tư duy
toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong quá trình học tập
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Trong phần cơ sở khoa học của luận án đã đề
cập, phân tích những đặc điểm và hình thức của phép BCDV, đó là cơ sở của suy luận
thực tiễn và cũng là khái quát chung nhất cho quá trình tư duy.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Mục đích của biện pháp nhằm: Phát triển một số loại
hình tư duy thường gặp, cần phát triển cho học sinh trong quá trình giảng dạy hình học ở
trường trung học phổ thông. Trên cơ sở phép BCDV, các loại hình tư duy sẽ được làm rõ nét

chỉnh:
Bài toán 2.2: Cho ∆ABC, điểm J chia
BC
uuur
theo tỉ số -3, điểm N chia
AC
uuur
theo tỉ số -1, điểm K chia
AB
uuur
theo tỉ số
1
3
. Chứng minh J, N, K
thẳng hàng (hình 2.15).
HĐ1: Hãy nhận định kết quả khi
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương.
HĐ2: Khái quát kết luận trên thành biểu thức: Ba điểm phân biệt A, B,
C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
=k
AC
uuur
.

Bài toán 2.4: Cho elip (E):
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
và đường thẳng (∆): Ax+By+C=0. Chứng minh
điều kiện cần và đủ để (∆) tiếp xúc (E) là: a
2
A
2
+b
2
B
2
=C
2
.
HĐ2: Dựa trên cơ sở của Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến lí giải các phương pháp giải trên.
Bài toán 2.6: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
T=
GA GB GC GD 0
+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Giải: Tổ chức hoạt động cho học sinh nhìn nhận theo các hướng khác nhau: Gọi M, P, N,
Q, R, S lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD.
HĐ1: Ôn lại công thức trọng tâm hệ hai điểm.
HĐ2: Áp dụng công thức cho hệ 2 điểm: A, B và C, D: T=

b
m
q
p
n
D'
C'
B'
A'
A
B
C
D
=
2GQ 2GP 0
+ =
uuur uur r
⇔
GP GQ= −
uur uuur
⇒ G tồn tại duy nhất và là trung điểm PQ.
HĐ4: Áp dụng công thức (1) cho: A, C và B, D: T=
GA GC (GB GD
( ) )
+ + +
uuur uuur uuur uuur

2GR 2GR 0
= + =
uuur uuur r

2
+ = +
.
HĐ3: Xét tứ giác ABCD, với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và
BD. Tính MN, PQ.
HĐ4: Giáo viên gợi ý học sinh nhận xét: Khi cho D tiến dần đến C rồi D≡C, nhận xét hình
vẽ ứng với công thức nhận được: Sự vận động dẫn đến sự thay đổi “lượng-chất”; Sự mâu
thuẫn giữa “nội dung-hình thức”.
HĐ5: Lí giải sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức.
Dạng 3: Tư duy biện chứng trong sự kế thừa kết quả hình học phẳng trong không gian
Bài toán 2.10: Phân tích và tổ chức cho học sinh hoạt động trả lời các câu hỏi:
HĐ1: Khái niệm, tính chất hình bình hành?
HĐ2: Khái niệm, tính chất hình hộp?
HĐ3: Nếu coi hình hộp trong không gian là “mở rộng” của hình bình hành trong mặt phẳng,
thì các tính chất của hình bình hành được “mở rộng” như thế nào?
HĐ4: Hãy so sánh và nhận xét các khái niệm và tính chất đó đối với hình hộp trong
không gian (Sơ đồ 2.1).
Hình bình hành Hình hộp
Hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
Bốn đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
m
2
+n
2
=2(a
2
+b
2

cho một số dạng toán điển hình, minh họa cho các dạng toán sau:
Dạng toán 1: Chứng minh đẳng thức vectơ:
( (
) )
=
r r
f u g v
.
Dạng toán 2: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một tính chất (
α
).
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chủ đề 5: Phát triển tư duy hàm: Tư duy hàm có mối liên hệ sâu sắc với lí luận của phép
BCDV, bởi vì tư duy hàm có các đặc trưng: Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận
động, biến đổi; Thể hiện cách tiếp cận thao tác - hành động đối với các sự kiện toán học và
xử lí các mối liên hệ nhân - quả; Khuynh hướng giải thích cặn kẽ nội dung các sự kiện toán
học và chú ý tới khía cạnh ứng dụng của toán học. Để phát triển được năng lực tư duy hàm
trên cơ sở phép BCDV, ta có thể tổ chức hoạt động cho học sinh theo các đặc trưng trên:
a) Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi:
Ví dụ 2.34: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d//AB. Một điểm C thay đổi trên d. Tìm
quỹ tích trực tâm H của ∆ABC.
Giải: Tọa độ hóa bài toán: A(-a;0), B(a;0), d có phương trình y=c. H(x;y) là trực tâm
∆ABC. Kết quả ta được hàm: x
2
+cy-a
2
=0. Quan hệ này thể hiện H thuộc parabol qua A,
B, có đỉnh là điểm H
0
(là trực tâm ∆ABC

2
+y
2
-12x-6y+44=0.
Phân chia cặn kẽ các trường hợp của bài toán: Tiếp tuyến chung dạng (∆): y=ax+b và
dạng x = x
0
tìm được 4 tiếp tuyến là:
15
x'
x
A
B
C
c
b
a
A
B
C
y=
9 17
8
−
x+
33 9 17
8
− +
; y=
9 17

học sinh thấy được cách thức, hình thức và cơ chế của sự phát triển toán học trong một
số chủ đề hình học
Chủ đề 1: Bài toán liên quan đến điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
Chủ đề 2: Khi xây dựng bằng vectơ-tọa độ được các công
thức lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, có một hệ
thống các bất đẳng thức trong tam giác liên quan.
Chủ đề 3: Sự thay đổi “ lượng-chất” của bài toán lũy thừa Hình 2.37a
trong đẳng thức hình học
* Tổ chức hoạt động cho học sinh giải bài toán sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
Bài toán 2.17: Xét hệ thức Sáclơ trên đường thẳng: Cho 3 điểm A, B,
C. Đặt BC=a, CA=b, AB=c thì: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B ở
giữa A và C khi nào? b=a+c, hay: b
1
=a
1
+c
1
(hình 2.37a).
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết:
+ Cho "lượng" n=1 thay đổi, thì "chất" của bài toán là gì? Hình 2.37b
Khi n=2, ta có: b
2
=a
2
+c
2
; Khi n=3, ta có: b
3
=a

m 1
6
+
Bước 3: Giải quyết vấn đề: Nếu e < 1 ⇔
7 m 5− < <
thì (C) là elip. Nếu e=1 ⇔
m 7
m 5
= −
=



thì (C) là parabol. Nếu e > 1 ⇔
m 7
m 5
< −
>



thì (C) là hypebol.
Ta thấy, "lượng" là tâm sai e so sánh với số 1, dẫn đến "chất" nhận được tương
ứng là ba đường cônic.
Bước 4: Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời
giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo.
2.3.1.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Việc sử dụng biện pháp nêu trên thực ra không
đòi hỏi nhiều thời gian. giáo viên chỉ cần nhìn nhận vấn đề bằng phép lí luận của BCDV,
trang bị trong những tình huống điển hình cho học sinh trong quá trình giảng dạy.

5
4
5/2
2
O
A
B
C
D
x5
y5
x1
y1
x2
y2
x4
y4
y3
x3
y
x
O
E
A
B
C
D
G
H
I

+ Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào T(x;y) được kết quả: T(5;4)=32 là giá trị nhỏ nhất.
Bước 3: Kiểm tra và đánh giá kết quả.
Kết luận: Để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên
liệu loại II. Khi đó tổng chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng.
Bước 4: Khái quát loại toán và ứng dụng của nó.
Chủ đề 2: Tính diện tích một đa giác lồi bằng phương pháp tọa
độ
Bài toán 2.21: Một thửa ruộng có hình một đa giác lồi ABCDE.
Hãy đưa một phương án tính diện tích thửa ruộng đó khi biết tọa
độ các đỉnh.
* Tổ chức cho học sinh hoạt động xây dựng công thức sau đó
kiểm nghiệm lại sự đúng đắn của kết quả bằng cách khác hoặc
trong thực tế.
HĐ1: Xây dựng hệ trục tọa độ (hình 2.39).
HĐ2: Tìm một phương án tính diện tích S. Hình 2.39
HĐ3: Gợi mở PP tọa độ: S=S
DEGK
+S
CDKJ
+S
BCJI
-(S
AEGH
+S
ABIH
) =
=
1
2
(y

1
2
(y
1
-y
5
)(x
1
-x
5
)-
1
2
(y
2
+y
1
)(x
2
-x
1
)
HĐ4: Kiểm chứng kết quả theo một cách khác để thấy sự đúng đắn trong lập luận.
- Nếu các điểm có tung độ âm ta có thể tịnh tiến trục hoành xuống phía dưới để các điểm
có tung độ không âm.
- Có thể tổng quát bài toán cho đa giác n đỉnh.
- Khi không biết thứ tự sắp xếp các hình chiếu của các đỉnh trên Ox, thì chiều cao
các hình thang là |x
i
-x

=x
2
-x
1
.
Bước 2: Ứng dụng
Ví dụ 2.39: Hai người đi bộ cùng chiều trên một đường thẳng. Người thứ nhất đi với vận
tốc không đổi v
1
=0,9m/s, người thứ hai đi với vận tốc không đổi v
2
=1,9m/s. Biết hai
người cùng xuất phát từ một vị trí.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì sau bao lâu đến địa điểm cách đó 780m.
b) Nếu người thứ hai đi một đoạn rồi dừng lại, sau 5,5 phút thì người thứ nhất đến. Hỏi
vị trí đó cách nơi xuất phát bao xa?
Giải: Chọn chiều dương cùng chiều chuyển động của 2 người. Gốc tọa độ O là vị trí hai
người xuất phát, gốc thời gian là lúc hai người bắt đầu xuất phát.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì địa điểm cách nơi xuất phát là A=(780) ⇔
S
2
=780m sau một thời gian là: t=
780
410,5(s)
1,9
≈
.
b) Gọi t là thời gian người thứ hai đi thì vị trí đó cách nơi xuất phát một đoạn đường
s=1,9t. Đối với người thứ nhất, ta có: S=0,9t+0,9.(5,5.60) ⇒ t=297 (s); S=546,3 (m).
+ Ứng dụng vectơ phân tích và tổng hợp lực.

xây dựng các chủ đề dạy học tích hợp và liên môn giữa toán học với các môn khoa học
khác và với thực tế gần gũi xung quanh chúng ta; Bố trí thời gian để học sinh hoạt động
ngoại khóa ứng dụng toán học vào thực tiễn, tăng cường khả năng thực hành của học sinh.
2.3.4. Biện pháp 4: Vận dụng một số cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật phát
triển năng lực giao tiếp toán học của học sinh thông qua cách đặt vấn đề, sử dụng ngôn
ngữ toán học, trình bày và chứng minh các mệnh đề toán học
2.3.4.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Trong quá trình giảng dạy, việc thể hiện được
các cặp phạm trù đối lập, tùy theo từng dạng toán sẽ làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn,
toàn diện hơn vấn đề đang học, sẽ phát triển được năng lực nói chung, năng lực giao tiếp
toán học nói riêng cho học sinh thông qua việc họ được phát biểu vấn đề, giải quyết vấn
đề bằng ngôn ngữ, trình bày, đồ thị, bảng biểu, hình vẽ
2.3.4.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Biện pháp đưa ra với các mục đích sau:
Thứ nhất, biện pháp này sẽ là cơ sở để phát triển năng lực giao tiếp, lập luận,
chứng minh sự đúng đắn của vấn đề toán học, góp phần để đổi mới phương pháp dạy học
19
(C')
(C)
A
M
B
(C')
(C)
A
M
B
B
M
A
A
M

⇒ (C) và (C') tiếp xúc
ngoài.
AB=BM-AM.
⇒ (C) và (C') tiếp
xúc trong.
AB=AM-BM.
⇒ (C) và (C') tiếp
xúc trong.
Sơ đồ 2.3
Hình thức 2: Ngôn ngữ tọa độ: Xây dựng hệ trục tọa độ: Giả sử: A(-a;0), B(a;0). Nếu M(x
0
;y
0
),
thì ta có phương trình: (C
1
): (x+a)
2
+y
2
=(x
0
+a)
2
+
2
0
y
; (C
2

0
=-y
0
⇔ y
0
=0 thì (C) và (C') có chung một điểm: (C) tiếp xúc (C').
Nếu y
0
< -a (M nằm trên tia đối của tia AB): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu y
0
> - a (M nằm trên tia đối của tia BA): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu -a < y
0
< a (M nằm giữa A và B): (C) và (C') tiếp xúc ngoài.
Chủ đề 3: Vận dụng cặp phạm trù “Cái chung - Cái riêng” phát triển năng lực ngôn
ngữ toán học qua việc nhận biết các thuộc tính tương tự trong sự phát triển các vấn
đề hình học: Tổ chức hoạt động cho học sinh thực hiện chủ đề qua các bài toán sau:
20
Bài toán 2.29: Cho ∆ABC, điểm O trên BC. Một đường thẳng d cắt AB, AC, AO lần
lượt tại B', C', O. Cho OB=OC. Chứng minh:
AB AC AO
2
AB' AC' AO'
+ =
.
- Cho điểm O thay đổi trên BC, thể hiện các biểu thức nhận được qua ngôn ngữ hình học
tổng hợp: Xét OB=2OC; 2OB=3OC; OB=kOC; O bất kì trên đoạn BC?
- Nhận định về cái chung, cái riêng trong bài toán trên? Từ đó học sinh nhận được một hệ
thống bài toán tổng quát trong hình học.

a)
MA 2MB 3MC 0
+ + =
uuur uuur uuur r

M là 1 điểm:

4MI AC=
uuur uuur
B
C
A
M
I
b)
MA 2MB 3MC 0
+ − =
uuur uuur uuur r
M∈∅
c)
3MA 2MB MC MB MA
− + = −
uuur uuur uuur uuur uuur

M∈
1
I; AB
2
 
 ÷

phát hiện vấn đề, định hướng cách giải quyết và tiến hành giải quyết vấn đề học tập.
21
2.3.5.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Nếu hướng dẫn học sinh có cách tự học tốt, trang
bị cho họ lí luận của phép BCDV sẽ là một yếu tố tích cực để phát triển được năng lực tự
học, đạt được mục đích "học một biết mười".
2.3.5.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Thực hiện chu trình tự nghiên cứu-tự
thể hiện- tự kiểm tra, tự điều chỉnh theo các bước: Bước 1: Giao bài tập chuyên đề cho các
nhóm; Bước 2: Học sinh tự nghiên cứu, tham khảo để giải quyết vấn đề; Bước 3: Học
sinh thể hiện bằng cách viết các lời giải đã làm. Trình bày trước lớp, các nhóm khác cùng
giáo viên nhận xét, bổ sung; Bước 4: Học sinh tự kiểm tra, điều chỉnh lại chuyên đề và
hoàn thành chuyên đề.
Sau đây là một chuyên đề học sinh đã làm: (Một số chuyên đề khác ở phần phụ lục)
Bước 1: Giao chuyên đề: Tìm một số lời giải cho các bài toán sau: Cho ∆ABC vuông
cân tại A. Biết điểm A(2;4), trọng tâm G(-1;1). Hãy xác định điểm B và C.
Bước 2: Học sinh tự nghiên cứu, tham khảo để giải quyết vấn đề: Làm theo nhóm.
Bước 3: Học sinh thể hiện bằng cách viết các lời giải đã làm. Trình bày trước lớp, các
nhóm khác cùng giáo viên nhận xét, bổ sung: Theo trình tự lôgic ta sẽ định dạng tam
giác vuông cân như sau: 1. Tính chất tam giác thường; 2. Tính chất tam giác cân; 3.
Tính chất tam giác vuông; 4. Tính chất tam giác vuông cân.
Bước 4: Học sinh tự kiểm tra, điều chỉnh lại chuyên đề và hoàn thành chuyên đề: Mỗi
cách phân tích tính chất các hình như trên đều cho một cách giải. Để đạt kết quả tốt trong
tự học, học sinh cần rèn luyện để hình thành và nắm vững những kỹ năng nhất định. Căn
cứ vào chức năng của từng loại hoạt động có thể chia kỹ năng tự học làm bốn nhóm:
Nhóm thứ nhất: Kế hoạch hóa việc tự học; Nhóm thứ hai: Nghe và ghi bài trên lớp;
Nhóm thứ ba: Ôn tập; Nhóm thứ tư: Đọc sách.
2.3.5.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Qua quá trình thực nghiệm, chúng tôi thấy việc
giao nhóm BT làm thành chuyên đề là khá hiệu quả và học sinh tham gia rất tích cực.
2.4. Kết luận chương 2: Nội dung cơ bản của chương 2 là xây dựng hệ thống gồm 5
biện pháp sư phạm, trên cơ sở vận dụng lí luận của phép BCDV, nhằm phát triển năng
lực toán học cho học sinh. Trong các biện pháp trên, mỗi biện pháp đều có những ưu việt