BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số:

60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN
PHỔ THÔNG ............................................................................................................ 6
1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10..................................................... 6
1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác ............................... 6
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều ....................................................... 8
1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều .................................................................................. 11
1.2. Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11 ......................................................... 15
1.2.1. Định nghĩa các hàm số lượng giác........................................................... 15
1.2.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà.................. 19
1.2.3. Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà ..................................................... 21
Chương 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA VẬT
LÝ PHỔ THÔNG .................................................................................................... 31
2.1. Chuyển động tròn đều trong SGK Vật lý 10 .................................................. 31
2.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều .............................. 31
2.1.2. Mối liên hệ với đường tròn lượng giác .................................................... 32
2.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chuyển động tròn đều trong mối
liên hệ với đường tròn lượng giác...................................................................... 33
2.2. Dao động điều hoà trong SGK Vật lý 12 ....................................................... 38
2.2.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của dao động điều hoà ................................... 38



: Sách bài tập đại số 10 nâng cao

EM11

: Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

EP10

: Sách bài tập vật lí 10 nâng cao

EP12

: Sách bài tập vật lí 12 nâng cao

GM10

: Sách giáo viên đại số 10 nâng cao

GM11

: Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao

GP10

: Sách giáo viên vật lí 10 nâng cao

GP12

: Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao


: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

tr

: Trang

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu nhiệm
vụ ở M10 ................................................................................................... 14
Bảng 1.2. Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong
mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà .................. 27
Bảng 1.3. Thống kê số lượng bài toán thực tế liên quan đến Vật lý trong đó mô
hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước trong

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứngdụng
trong ngành vật lý. Ở Việt Nam, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong
chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự cụ thể: lượng giác “trong tam
giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng
dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11. Tuy nhiên, cách tiếp
cận của sách giáo khoa Việt Nam trong các giai đoạn giảng dạy trên còn thiên nhiều
về toán học, chưa có các bài toán thực tế để học sinh thấy được ứng dụng của lượng giác.
Trong khi đó, hàm số lượng giác lại có mối liên hệ chặt chẽ với chuyển động
tròn đều và dao động điều hòa trong Vật lý như sau : Sự chuyển động của con lắc lò
xo quanh vị trí cân bằng là một dao động điều hòa của một điểm trên một đoạn
thẳng. Từ đó có thể xem điểm đó là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển
động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó. Từ đây khi ta biểu diễn độ lệch của
vật ra khỏi vị trí cân bằng theo thời gian thì ta sẽ có được đường biểu diễn hình sin.
Nhận xét trên có thể được mô tả bằng việc xét hệ thống hai hệ trục toạ độ như
hình sau:
y
P

+

Q

y = Asin(wt + m)
N

M
H
wt

như sau:
“Điểm P dao động điều hoà trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω có thể
coi như hình chiếu lên Ox của một điểm M chuyển động tròn đều tốc độ góc ω trên
quỹ đạo tròn bán kính A, Ox trùng với một đường kính của quỹ đạo.”
Như vậy chúng ta có thể thấy là với khái niệm hàm số lượng giác thì tồn tại
một mối liên hệ nhất định giữa Toán và Lý. Chính điều này làm cho chúng tôi đặt ra
các câu hỏi ban đầu sau đây:
Mối quan hệ liên môn giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác thể
hiện trong SGK THPT như thế nào? Rất rõ ràng hay mờ nhạt?
Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo
viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác?
Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu
sâu sắc cách tiếp cận tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK)
mà còn trong việc giảng dạy.
Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi
chọn chủ đề nghiên cứu của mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan
giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác ở bậc trung học phổ thông.
Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do:
- Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ
sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam.
- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường
phổ thông tại Việt Nam,


3

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên
quan đến lượng giác “trong hàm số”.
- Các hiện tượng vật lý liên quan đến hàm số lượng giác xuất hiện rất nhiều
trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 Việt Nam.

Ξ Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các sách giáo khoa, sách bài tập, sách
giáo viên Toán và Vật lý, chúng tôi sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ liên quan giữa hai
phân môn này. Từ đó chỉ ra được đặc trưng của mối quan hệ liên môn Toán - Lý
trong lượng giác ở trung học phổ thông.
Ξ Thứ ba: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan
hệ cá nhân của giáo viên và học khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số
lượng giác thông qua hai thực nghiệm được tiến hành trên cả hai đối tượng giáo
viên và học sinh.
4. Cấu trúc của luận văn
Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng
tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận.
Ψ Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát,
phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ
chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
Ψ Trong chương 1, chúng tôi phân tích SGK Toán 10 phần đường tròn lượng
giác để so sánh liên hệ với chuyển động tròn đều trong sách giáo khoa Vật lý 10 và
SGK Toán 11 phần hàm số lượng giác để so sánh liên hệ với dao động điều hoà
trong sách giáo khoa Vật lý 12.
Ψ Trong chương 2, chúng tôi phân tích SGK Vật lý 10 và SGK Vật lý 12
trong mối quan hệ như trên.
Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng
tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến mối quan hệ cá
nhân của giáo viên và học sinh đối với kiến thức lượng giác trong chương trình
trung học phổ thông.
Ψ Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng
tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi
mới.
Ψ Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương
trên, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn.


Bài 4: Một số công thức lượng giác
Mục tiêu của chương về kĩ năng liên quan đến đường tròn lượng giác là:
“Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số
thực α , từ đó xác định sin α ,cos α , tan α ,cot α (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng
số) và mối liên quan giữa chúng.”
[11, tr.241]
1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác
Khái niệm đường tròn lượng giác hoàn chỉnh được xây dựng dựa vào ba bước
chính là chọn chiều quay, đường tròn định hướng và đường tròn lượng giác được
trải dài trong phần 2 của bài 1 cho đến phần 1 của bài 2. Như vậy chúng ta có thể
thấy M10 đưa ra việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác rất sớm vì tất cả
các phần liên quan phía sau như giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang đều cần
khái niệm này.


7

Việc chọn chiều quay được M10 lồng ghép vào phần khảo sát việc quay của tia
Om quanh O:
“Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi
là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng
hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)”
[10, tr.186]
Như vậy M10 đã gần như mặc định chiều dương là chiều ngược chiều kim
đồng hồ để phù hợp với tất cả các khái niệm dẫn xuất phía sau.
Tiếp theo M10 xây dựng khái niệm đường tròn định hướng như sau:
“Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì
việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn
đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều
dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của

b)

a)

Hình 6.6

”
[10, tr.188]


8

Cuối cùng, M10 đưa ra định nghĩa đường tròn lượng giác như sau:
“Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định
hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc.
Nhắc lại rằng người ta luôn quy ước trên đường tròn lượng giác, chiều ngược
chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều
âm.”
[10, tr.192]
Do đó một trong những đặc trưng quan trọng nhất của đường tròn lượng giác
được nhắc đi nhắc lại nhiều lần xuyên suốt trong cả quá trình xây dựng khái niệm
này là tính định hướng.
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều
Sự liên quan giữa hai khái niệm đường tròn lượng giác và chuyển động tròn
đều được tác giả SGK thể hiện ngầm ẩn lần đầu trong việc giới thiệu đơn vị đo góc
và cung tròn, độ dài của cung tròn khi đề cập đến chuyển động của chất điểm:
“Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo
cung lượng giác (“độ dài của quỹ đạo chuyển động của điểm vạch nên cung đó”).”
[11, tr.244]
Sau khi giới thiệu các đơn vị đo góc và cung tròn như độ và rađian, M10 giới

[10, tr.188]
Cuối cùng để có thể thấy rõ hơn mối liên hệ này, chúng tôi xét hoạt động H1:
“Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác,
hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung
At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10:
Điểm M1 trên trục At có toạ độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác
thoả mãn số đo cung lượng giác AM bằng α , tức M xác định bởi α . Hỏi:
a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng
giác?
b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A’ trên đường tròn lượng
giác (A’ là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tuỳ ý trong
số các điểm đó cách nhau bao nhiêu?


10

”
[10, tr.193]
“Hoạt động này giúp thêm học sinh hình dung cụ thể điểm trên đường tròn
lượng giác xác định bởi số thực α cho trước...”
[11, tr.193]
Như vậy mục tiêu của SGK ở đây không phải là đưa ra một mô hình để học
sinh thấy được mối liên hệ giữa đường tròn lượng giác và chuyển động tròn đều.
Tuy nhiên nếu ta chỉ xét chiều quay dương và xem trục số At là trục thời gian thì
trong khoảng thời gian α , điểm M của chúng ta có thể được xem như chất điểm di
động trên một cung tròn có độ dài là α (rad). Như vậy trong những khoảng thời
gian bằng nhau tuỳ ý thì điểm M của chúng ta đi được những cung tròn có độ dài
bằng nhau.
Ngoài ra, một trong những đặc trưng chung của đường tròn lượng giác và
chuyển động tròn đều là tính tuần hoàn cũng được nêu ra ở đây:

1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều
Để tập trung làm rõ hơn mối quan hệ liên môn Toán – Lý xuất hiện trong các
kiểu nhiệm vụ nên chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan
đến các bài toán thực tế.
Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
Ví dụ bt 2 trang 190, M10:
“Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện theo thứ tự dài 1,75m và
1,26m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét?
Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.
Giải:
Trong 15 phút, mũi kim phút vạch cung tròn có số đo
độ dài

π
2

π
2

rad nên cung đó có

.1,75 ≈ 2,75 (m) và mũi kim giờ vạch cung tròn có số đo

π
24

rad nên cung



+ sđ(Ou,Ov)
= a 0 + k 3600 (hay α + k 2π )
Công nghệ θ 2
Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
Kiểu nhiệm vụ T3: Chứng minh vị trí của hai tia Ou và Ov
Ví dụ bt 12 trang 192, M10:
“Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí tia Ox chỉ số 12 (tức


13

lúc 0 giờ). Sau khoảng thời gian t giờ (t lấy giá trị thực không âm tuỳ ý), kim giờ
đến vị trí tia Ou, kim phút đến vị trí tia Ov.
…
b) Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov trùng nhau khi và chỉ khi t =

12k
với
11

k = 0,1, 2,3,...
c) Chứng minh rằng trong vòng 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12) , hai tia Ou và Ov ở vị trí
hai tia đối nhau khi và chỉ =
khi t

6
(2k + 1) với k = 0,1,...,10 .
11

Giải:

6
11
6

0 ≤ t ≤ 12 nên k = 0,1, 2,...,10 .”

Kĩ thuật τ 3
+ Tìm sđ(Ou,Ov) theo vị trí của hai tia Ou và Ov.
+ So sánh với sđ(Ou,Ov) tìm theo hệ thức Sa-lơ.
Công nghệ θ3
+ Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
+ Hệ thức Sa-lơ.
Nhận xét
- Ở đây có sự gán ghép với hình ảnh thực tế nhưng các ký hiệu Ou, Ov làm
cho học sinh cảm thấy quen thuộc với kiến thức về góc lượng giác đã được học.
- Bước đầu tiên trong kỹ thuật τ 3 là thực hiện kiểu nhiệm vụ T2. Do đó sự


14

xuất hiện của T2 còn đóng vai trò như một thành phần trong kỹ thuật τ 3 .
Kiểu nhiệm vụ T4: Tính tần số
Ví dụ bt 6.6 trang 196, EM10:
“Bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp xe) 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40
km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Giải:
Trong một giây, bánh xe quay được

4000000
≈ 6, 4 (vòng).”

τ1

2

τ2

2

2 (20%)

τ3

2

2 (20%)

3

5 (50%)

T3
Chứng minh vị trí của hai tia Ou va Ov


15

T4

τ4


y = tan x , y = co t x , chúng tôi chỉ tập trung phân tích hai hàm là hàm sin và hàm
cos.
Mở đầu việc xây dựng khái niệm hàm số lượng giác y = sin x và y = cos x ,
M11 đưa ra hoạt động H1 như sau:
“Trên hình 1.1, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng
cosx. Tính sin

π

 π
,cos  −  ,cos 2π .
2
 4


16

”
[8, tr.4]
Ngoài việc giúp học sinh nhớ lại cách xác định sin x và cos x thì một ý nghĩa
khác của hoạt động này được thể chế đưa vào như sau:
“SGK lớp 10 đã xây dựng khái niệm các giá trị lượng giác sin α ,cos α ... của
góc (cung) lượng giác α . Chuyển sang hàm số lượng giác, do học sinh quen dùng
chữ x để chỉ biến số của hàm số nên trong SGK lớp 11, các hàm số lượng giác được
viết dưới dạng y = sin x , y = cos x … trong đó x là số thực và là số đo rađian (chứ
không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác.”
[9, tr.18]
Do đó, chúng tôi đánh giá đây là một bước chuyển hết sức có giá trị, vì nó đạt
được hai mục tiêu quan trọng là giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ, đồng thời chuẩn
bị một bước đệm giúp học sinh có thể tiếp thu kiến thức mới. Tuy nhiên phải nói