Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số:

60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Chuyên Trần
Đại Nghĩa, Trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến
hành thực nghiệm.
Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những
người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN
PHỔ THÔNG ............................................................................................................ 6
1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10..................................................... 6
1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác ............................... 6
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều ....................................................... 8
1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều .................................................................................. 11

3.5. Kết luận thực nghiệm của giáo viên ............................................................... 66
3.6. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 67
3.7. Hình thức thực nghiệm ................................................................................... 67
3.8. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................. 67
3.8.1. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 2) .................................. 67
3.8.2. Phân tích a priori bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh ................................ 69
3.9. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 76
3.10. Kết luận thực nghiệm của học sinh .............................................................. 84
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 89
PHỤ LỤC

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Footer Page 7 of 185.

bt

: Bài tập

EM10

: Sách bài tập đại số 10 nâng cao

EM11


HS

: Học sinh

M10

: Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao

M11

: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

P10

: Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao

P12

: Sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao

TCTH

: Tổ chức toán học

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

Bảng 2.1. Thống kê sự xuất hiện của các khái niệm bán kính, chu kì, tần số, tốc
độ góc, tốc độ dài có trong các đáp án..................................................... 33
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P10
và EP10 ..................................................................................................... 38
Bảng 2.3. Thống kê sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha,
lực tác dụng, chiều dao động ................................................................... 45
Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P12
và EP12 ..................................................................................................... 51
Bảng 3.1. So sánh các đặc trưng của đề 1 và đề 2 ................................................... 59
Bảng 3.2. Chiến lược và lời giải có thể quan sát được trong câu 3 của thực
nghiệm học sinh ....................................................................................... 73
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 76
Bảng 3.4. Thống kê chiến lược của học sinh sinh trong câu hỏi 1 phần thực
nghiệm học sinh ....................................................................................... 76
Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 77
Bảng 3.6. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 77
Bảng 3.7. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 3 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 78

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Guồng nước đang quay ............................................................................ 68


y = Asin(wt + m)
N

M
H
wt
m
O

B

I

t

t

Ở đây hai hệ trục toạ độ là vuông góc, tia It nằm trên đường thẳng OB. M là
điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc w và chiều chuyển động là chiều ngược
chiều kim đồng hồ. Quỹ đạo của nó là đường tròn tâm O, bán kính A với điểm B là
điểm gốc trên đường tròn ấy.

Footer Page 10 of 185.


Header Page 11 of 185.
2




phổ thông tại Việt Nam,

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.
3

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên
quan đến lượng giác “trong hàm số”.
- Các hiện tượng vật lý liên quan đến hàm số lượng giác xuất hiện rất nhiều
trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 Việt Nam.
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm những mối quan hệ liên
môn Toán - Lý trong lượng giác xuất hiện ở chương trình trung học phổ thông và
nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đó lên mối quan hệ cá nhân của
giáo viên và học sinh.
Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình
trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm mối quan hệ
thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học để thực hiện nghiên cứu của mình.
Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu
thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:
Câu 1: Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác và hàm số lượng
giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ
nào giữa hai khái niệm này với khái niệm chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông?
Câu 2: Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ
nào giữa hai khái niệm này với khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng
giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông?

giác để so sánh liên hệ với chuyển động tròn đều trong sách giáo khoa Vật lý 10 và
SGK Toán 11 phần hàm số lượng giác để so sánh liên hệ với dao động điều hoà
trong sách giáo khoa Vật lý 12.
Ψ Trong chương 2, chúng tôi phân tích SGK Vật lý 10 và SGK Vật lý 12
trong mối quan hệ như trên.
Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng
tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến mối quan hệ cá
nhân của giáo viên và học sinh đối với kiến thức lượng giác trong chương trình
trung học phổ thông.
Ψ Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng
tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi
mới.
Ψ Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương
trên, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn.

Footer Page 13 of 185.


Header Page 14 of 185.
5

Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :
Mở đầu
Chương 1
Chương 2
Chương 3
Kết luận

Footer Page 14 of 185.


trải dài trong phần 2 của bài 1 cho đến phần 1 của bài 2. Như vậy chúng ta có thể
thấy M10 đưa ra việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác rất sớm vì tất cả
các phần liên quan phía sau như giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang đều cần
khái niệm này.

Footer Page 15 of 185.


Header Page 16 of 185.
7

Việc chọn chiều quay được M10 lồng ghép vào phần khảo sát việc quay của tia
Om quanh O:
“Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi
là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng
hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)”
[10, tr.186]
Như vậy M10 đã gần như mặc định chiều dương là chiều ngược chiều kim
đồng hồ để phù hợp với tất cả các khái niệm dẫn xuất phía sau.
Tiếp theo M10 xây dựng khái niệm đường tròn định hướng như sau:
“Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì
việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn
đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều
dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của
kim đồng hồ như ở hình 6.6. Đường tròn với chiều di động đã được chọn như thế
gọi là đường tròn định hướng.

v

v

”
[10, tr.188]

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.
8

Cuối cùng, M10 đưa ra định nghĩa đường tròn lượng giác như sau:
“Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định
hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc.
Nhắc lại rằng người ta luôn quy ước trên đường tròn lượng giác, chiều ngược
chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều
âm.”
[10, tr.192]
Do đó một trong những đặc trưng quan trọng nhất của đường tròn lượng giác
được nhắc đi nhắc lại nhiều lần xuyên suốt trong cả quá trình xây dựng khái niệm
này là tính định hướng.
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều
Sự liên quan giữa hai khái niệm đường tròn lượng giác và chuyển động tròn
đều được tác giả SGK thể hiện ngầm ẩn lần đầu trong việc giới thiệu đơn vị đo góc
và cung tròn, độ dài của cung tròn khi đề cập đến chuyển động của chất điểm:
“Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo
cung lượng giác (“độ dài của quỹ đạo chuyển động của điểm vạch nên cung đó”).”
[11, tr.244]
Sau khi giới thiệu các đơn vị đo góc và cung tròn như độ và rađian, M10 giới
thiệu:
“Khái niệm góc và cung lượng giác gắn chặt với việc quay quanh một điểm
trong mặt phẳng.”

[10, tr.188]
Cuối cùng để có thể thấy rõ hơn mối liên hệ này, chúng tôi xét hoạt động H1:
“Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác,
hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung
At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10:
Điểm M1 trên trục At có toạ độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác
thoả mãn số đo cung lượng giác AM bằng α , tức M xác định bởi α . Hỏi:
a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng
giác?
b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A’ trên đường tròn lượng
giác (A’ là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tuỳ ý trong
số các điểm đó cách nhau bao nhiêu?

Footer Page 18 of 185.


Header Page 19 of 185.
10

”
[10, tr.193]
“Hoạt động này giúp thêm học sinh hình dung cụ thể điểm trên đường tròn
lượng giác xác định bởi số thực α cho trước...”
[11, tr.193]
Như vậy mục tiêu của SGK ở đây không phải là đưa ra một mô hình để học
sinh thấy được mối liên hệ giữa đường tròn lượng giác và chuyển động tròn đều.
Tuy nhiên nếu ta chỉ xét chiều quay dương và xem trục số At là trục thời gian thì
trong khoảng thời gian α , điểm M của chúng ta có thể được xem như chất điểm di
động trên một cung tròn có độ dài là α (rad). Như vậy trong những khoảng thời
gian bằng nhau tuỳ ý thì điểm M của chúng ta đi được những cung tròn có độ dài


dương và xem trục số At là trục thời gian thì việc quấn dây quanh đường tròn lượng
giác có thể được xem như chuyển động tròn đều của chất điểm M. Tuy nhiên, tất cả
những mối liên hệ nêu trên đều không được SGK đề cập đến, điều này cộng với
những sự liên hệ phía trên chỉ mang tính chất ngầm ẩn làm cho mối quan hệ liên
môn Toán - Lý ở đây khá mờ nhạt, học sinh sẽ khó có thể nào phát hiện ra được.
1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều
Để tập trung làm rõ hơn mối quan hệ liên môn Toán – Lý xuất hiện trong các
kiểu nhiệm vụ nên chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan
đến các bài toán thực tế.
Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
Ví dụ bt 2 trang 190, M10:
“Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện theo thứ tự dài 1,75m và
1,26m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét?
Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.
Giải:
Trong 15 phút, mũi kim phút vạch cung tròn có số đo
độ dài

π
2

Footer Page 20 of 185.

π
2

rad nên cung đó có


mục tiêu về kỹ năng: “…Biết tính độ dài cung tròn (hình học).”. Tuy nhiên sự liên
hệ với Vật lý ở đây chưa sâu sắc do các bài toán tuy nhiều nhưng chỉ xuất phát từ
một mô hình toán học đơn thuần.
Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm số đo góc lượng giác
Ví dụ bt 5 trang 190, M10:
“Coi kim giờ của đồng hồ là tia Ou, kim phút là tia Ov. Hãy tìm số đo của các
góc lượng giác (Ou,Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ, chỉ 10 giờ.”
Kĩ thuật τ 2
+ Xác định góc a 0 (hay α rad) giữa Ou và Ov
+ sđ(Ou,Ov)
= a 0 + k 3600 (hay α + k 2π )
Công nghệ θ 2
Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
Kiểu nhiệm vụ T3: Chứng minh vị trí của hai tia Ou và Ov
Ví dụ bt 12 trang 192, M10:
“Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí tia Ox chỉ số 12 (tức

Footer Page 21 of 185.


Header Page 22 of 185.
13

lúc 0 giờ). Sau khoảng thời gian t giờ (t lấy giá trị thực không âm tuỳ ý), kim giờ
đến vị trí tia Ou, kim phút đến vị trí tia Ov.
…
b) Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov trùng nhau khi và chỉ khi t =

12k
với

đuổi bắt trên đường tròn).
c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou,Ov) =
(2 m − 1)π (m ∈ ) . Vậy

−

11t
11
6
t = 2(l − m) + 1 . Do đó t=
(2 k + 1), k ∈  , vì
+ 2l = 2m − 1 , tức là
6
11
6

0 ≤ t ≤ 12 nên k = 0,1, 2,...,10 .”

Kĩ thuật τ 3
+ Tìm sđ(Ou,Ov) theo vị trí của hai tia Ou và Ov.
+ So sánh với sđ(Ou,Ov) tìm theo hệ thức Sa-lơ.
Công nghệ θ3
+ Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
+ Hệ thức Sa-lơ.
Nhận xét
- Ở đây có sự gán ghép với hình ảnh thực tế nhưng các ký hiệu Ou, Ov làm
cho học sinh cảm thấy quen thuộc với kiến thức về góc lượng giác đã được học.
- Bước đầu tiên trong kỹ thuật τ 3 là thực hiện kiểu nhiệm vụ T2. Do đó sự

Footer Page 22 of 185.

Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu
nhiệm vụ ở M10
Kiểu nhiệm vụ
T1
Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
T2
Tìm số đo góc lượng giác

Kĩ thuật

Bài toán
M10 EM10

Tổng số

τ1

2

τ2

2

2 (20%)

τ3

2

2 (20%)


Kết luận
- Tất cả các nhiệm vụ nêu trên đều cho thấy sự liên hệ ngầm ẩn giữa đường
tròn lượng giác với chuyển động quay và chuyển động tròn đều. Tuy nhiên, SGK
chỉ đưa ra đề bài có ngữ cảnh của chuyển động tròn đều để học sinh tính toán. Mục
tiêu trọng tâm vẫn là việc áp dụng các công thức toán để tính toán còn mối quan hệ
liên môn không được khai thác.
- Ngoài ra, một điểm đáng lưu ý ở đây là việc SGK cho ra các dạng bài tập
thực tế nhưng lại lồng ghép các ký hiệu toán học vào như tia Ou, tia Ov, góc lượng
giác (Ou,Ov). Chính điều này đã làm xuất hiện ngay mô hình toán học trong đề bài
toán, khi đó nhiệm vụ của học sinh sẽ chủ yếu là nhiệm vụ toán học (sử dụng công
thức, tính chất của góc, cung lượng giác) để giải quyết bài toán mà không cần quan
tâm đến vấn đề thực tế (chuyển động quay và chuyển động tròn đều).
1.2. Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11
1.2.1. Định nghĩa các hàm số lượng giác
Do sự quan tâm của chúng tôi trong luận văn này là hàm số sin và cos với đồ
thị có dạng hình sin nên trong bốn hàm số lượng giác y = sin x , y = cos x ,

y = tan x , y = co t x , chúng tôi chỉ tập trung phân tích hai hàm là hàm sin và hàm
cos.
Mở đầu việc xây dựng khái niệm hàm số lượng giác y = sin x và y = cos x ,
M11 đưa ra hoạt động H1 như sau:
“Trên hình 1.1, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng
cosx. Tính sin

Footer Page 24 of 185.

π

 π