BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________
Chu Thùy Giang
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
______________
Chu Thùy Giang
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số
: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ....................................................................................2
3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................3
Chương 1 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG BẤT
ĐẲNG THỨC .............................................................................................................4
1.1 Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông ...............................................4
1.2 Bất đẳng thức giai đoạn ngầm ẩn ..........................................................................7
1.3 Bất đẳng thức giai đoạn tường minh ...................................................................24
1.3.1 SGK lớp 8 ................................................................................................24
1.3.2 SGK lớp 9 ................................................................................................33
1.3.3 Bất đẳng thức trong SGK10 .......................................................................36
Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................................50
2.1. Mục tiêu của thực nghiệm ..................................................................................50
2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................50
2.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) .........................................................................51
2.3.1 Các bài toán thực nghiệm ...........................................................................51
2.3.2 Phân tích chi tiết các bài toán .....................................................................51
KẾT LUẬN ...............................................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................66
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK
: Sách giáo khoa
SGV
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó trong chương trình
Toán phổ thông. Bất đẳng thức và tính chất bất đẳng thức có vai trò trong giải bất
phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, xét mối liên hệ
giữa các yếu tố trong tam giác...
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong các đề
thi tuyển sinh và đại học.
Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, sai lầm khi thao
tác trên đối tượng bất đẳng thức. Chẳng hạn:
1) Khi so sánh
5
−3
và
. HS đã trình bày như sau:
a
a
Ta có: 5 > - 3 (*). Nhân 2 vế của (*) với
−3
5
1
ta có: >
(!)
a
a
a
Sai lầm trong lời giải trên là HS nhân 2 vế của (*) với một số mà chưa
biết số đó âm hay dương.
vận dụng các yếu tố lý thuyết sau:
- Lý thuyết nhân chủng học. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm "quan hệ
thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học".
- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) và phân tích hậu
nghiệm (a posteriori).
- Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng khái niệm chướng ngại, sai lầm, quy tắc
hành động, hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu.
3. Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi xác định các khái niệm:
- Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I là thể chế dạy học phổ thông môn Toán
hiện hành ở Việt Nam, O là đối tượng bất đẳng thức.
- Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X là người học (HS) hoặc người dạy (GV).
Chúng tôi giới hạn lại đề tài với việc chỉ nghiên cứu đối tượng bất đẳng thức
trên phương diện đối tượng trong chương trình toán đại số ở phổ thông. Chúng tôi
3
chỉ nghiên cứu các bất đẳng thức “sơ cấp” (không đề cập đến việc huy động công cụ
giải tích để giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến bất đẳng thức).
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
CH1. Đối tượng bất đẳng thức được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể
chế dạy học Toán phổ thông hiện hành? Có những tổ chức toán học nào liên quan
đến đối tượng bất đẳng thức? Các tổ chức toán h ọc đó có đặc trưng gì và tiến triển
như thế nào qua các khối lớp?
CH2. Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ
cá nhân HS với đối tượng bất đẳng thức? Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ so sánh và
chứng minh bất đẳng thức học sinh mắc phải những sai lầm nào? Những quy tắc
phổ thông và sách giáo khoa toán từ lớp 1 đến lớp 10 hiện hành. Hiện nay, chương
trình môn Toán lớp 10 có 2 bộ sách: bộ sách cơ bản và bộ sách nâng cao. Trong
luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét đến bộ sách Đại số 10 nâng cao.
Để thuận tiện chúng tôi dùng các kí hiệu sau đây: SGKi, SGVi, SBTi (i =
1,…,10), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập ở lớp 1,2,...,10.
1.1 Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông
Đối tượng bất đẳng thức gắn liền với dạy học so sánh trên các tập số. Nội
dung dạy học so sánh trên các tập số xuất hiện xuyên suốt chương trình Toán phổ
thông cùng với sự mở rộng của các tập số qua các khối lớp. Nội dung học tập các
tập số ở phổ được quy định trong trong Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thông
môn Toán (2006) ([1], tr. 8) như sau:
5
Mạch nội dung
Chủ đề
Số tự nhiên
Số học
Lớp
1
2
3
4
*
Số hữu tỉ
- Phân số
+
+
- Số thập phân
*
*
*
*
*
*
- Số hữu tỉ
*
Số thực
- Biểu diễn số nguyên trên trục số; thứ tự trong
(tr. 18).
6
Lớp 7:
- Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số; so sánh các số hữu tỉ (tr. 19);
- Biểu diễn số thực trên trục số và so sánh các số thực (tr. 19).
Đến lớp 8 bất đẳng thức được định nghĩa chính thức trong bài “Liên hệ thứ tự
với phép cộng và phép nhân”. Với yêu cầu mức độ cần đạt:
Về kiến thức:
Nhận biết được bất đẳng thức.
Về kĩ năng:
Biết áp dụng một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức để so sánh hai số hoặc chứng
minh hai bất đẳng thức.
([1], tr.114)
Chương trình Toán 9 giới thiệu tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự và
phép khai phương trong bài “Căn bậc hai”, với yêu cầu:
Biết được liên hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và dùng liên hệ này để so
sánh các số.
(SGV9, tr.15)
Chương trình Toán 10 định nghĩa bất đẳng thức theo ngôn ngữ mệnh đề, hệ
thống, bổ sung các tính chất bất đẳng thức, giới thiệu bất đẳng thức Cô – si và bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối. Yêu cầu mức độ cần đạt:
Về kiến thức:
- Biết khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức.
biến đổi tương đương bất phương trình, giải phương trình đại số, lượng giác, …
Chương trình Toán 12 sử dụng công cụ giải tích để chứng minh bất đẳng thức. Tuy
nhiên trong phạm vi của đề tài chúng tôi không nghiên cứu phần này.
Nhận xét
- Bất đẳng thức xuất hiện từ lớp 1 nhưng chưa được gọi tên.
- Đối tượng bất đẳng thức gắn liền với nội dung dạy học so sánh trên tập số từ
lớp 1 đến lớp 7.
- Bất đẳng thức được định nghĩa chính thức ở lớp 8, được bổ sung tính chất ở
lớp 9 và hoàn thiện ở lớp 10.
- Bất đẳng thức xuất hiện trong chương trình Toán phổ thông được chia làm
hai giai đoạn:
+ Giai đoạn ngầm ẩn: Từ lớp 1 đến lớp 7.
+ Giai đoạn tường minh: Từ lớp 8 đến lớp 10.
1.2 Bất đẳng thức giai đoạn ngầm ẩn
1.2.1 SGK lớp 1
Trong SGK Toán 1, HS bắt đầu được tiếp cận với bài toán so sánh số lượng
của hai nhóm đồ vật trong bài “Nhiều hơn, ít hơn”. Chẳng hạn,
(SGV1, tr. 6)
8
Trong đó, các yêu cầu so sánh số lượng này đều do GV nêu ra cho HS thực
hiện. SGK chỉ thể hiện hình vẽ mà không đưa ra lời yêu cầu. Mục tiêu của bài này
là giúp HS:
- Biết so sánh số lượng của hai nhóm đồ vật.
- Biết sử dụng các từ “nhiều hơn”, “ít hơn” khi so sánh về số lượng.
(SGV1, tr.21)
+ Đối với tranh thứ nhất: “Bên trái có mấy ô tô?” (Bên trái có 1 ô tô), “Bên phải có
mấy ô tô?” (bên phải có 2 ô tô). “1 ô tô có ít hơn 2 ô tô không?” (1 ô tô ít hơn 2 ô tô).
Cho HS nhìn tranh và nhắc lại: “Một ô tô ít hơn hai ô tô”.
+ Đối với hình vẽ ngay dưới trang ở bên trái: Hỏi tương tự như trên để cuối cùng HS
nhắc lại được: “1 hình vuông ít 2 hai hình vuông”.
+ GV giới thiệu: “1 ô tô ít hơn 2 ô tô”; “1 hình vuông ít hơn 2 hình vuông”. Ta nói:
Một bé hơn hai và viết như sau: 1 < 2 (viết lên bảng 1 < 2 và giới thiệu dấu < đọc là
“bé hơn”)…GV chỉ vào 1 < 2 và gọi HS đọc “Một bé hơn hai”.
[SGV1, tr.35]
Ví dụ 2 (SGK1, tr.22)
Hướng dẫn từ SGV1 để thực hiện hoạt động trên:
10
Hướng dẫn HS nhận biết 3 = 3:
- Hướng dẫn HS quan sát tranh vẽ của bài học, trả lời các câu hỏi của GV (hoặc HS tự
nêu câu hỏi) để biết:
+ Có 3 con hươu, có 3 khóm cây, cứ mỗi con hươu lại có (duy nhất) một khóm cây (và
ngược lại), nên số con hươu (3) bằng số khóm cây (3), ta có 3 bằng 3.
+ Có 3 chấm tròn xanh, có 3 chấm tròn trắng, cứ mỗi chấm tròn xanh lại có (duy nhất)
một chấm tròn trắng (và ngược lại), nên số chấm tròn xanh (3) bằng số chấm tròn trắng
(3), ta có 3 bằng 3.
- GV giới thiệu “Ba bằng ba” viết như sau:
3 = 3 (dấu = đọc là “bằng”).
[SGV1, tr.39]
Từ hai hướng dẫn trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật τ
11
Kiểu nhiệm vụ T SS_So : “So sánh hai số”
Để có thể phân biệt rõ ràng các kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này chúng ta
có thể dựa vào đặc trưng của hai số cần so sánh.
* So sánh hai số tự nhiên trong phạm vi 10.
Ví dụ (SGK1, Bài 2/ tr.42)
>
dựa vào trực quan mà nhận ra: 63 có 6 chục và 3 đơn vị, 58 có 5 chục và 8 đơn vị; 63
và 58 có số chục khác nhau: 6 chục lớn hơn 5 chục (60 > 50) nên 63 > 58. Có thể cho
HS tự giải thích.
- GV tập cho HS nhận biết: Nếu 63 > 58 thì 58 < 63 (tương tư đối với 62 và 65)
(SGV1, tr.168)
Ngoài kĩ thuật τ SS_So.2 , để giải quyết T SS_So.2 trong trường hợp hai số tự nhiên
đều có 2 chữ số còn có kĩ thuật τ SS_So.3 :
- So sánh chữ số hàng chục: số nào có chữ số hàng chục lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu chữ số hàng chục bằng nhau thì so sánh tiếp chữ số hàng đơn vị. Số nào
có chữ số hàng đơn vị lớn hơn thì lớn hơn.
Đặc biệt trong hướng dẫn trên, chúng tôi nhận thấy SGK1 đã ngầm ẩn đưa ra
một tính chất bất đẳng thức: Nếu a > b thì b < a và ngược lại.
Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh giá trị của hai biểu thức”
Ví dụ (SGK1, Bài 3/ tr.163)
>
3
3
4
2
Có các đặc trưng sau:
- Các dãy số tự nhiên có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
- Khoảng cách của số trong dãy số đều nhau. Khi hoàn thành kiểu nhiệm vụ
này sẽ được một dãy các số tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần.
+ Kỹ thuật τ BS_So :
- Đếm một vài số trước ô số cần điền.
- Dựa vào thứ tự của các số, để xác định số của ô số cần điền.
+ Công nghệ θ BS_So : phép đếm, dãy số tự nhiên.
Kiểu nhiệm vụ T SoLN_BN : “Tìm số lớn nhất, số bé nhất của một dãy số”.
Ví dụ (SGK1,Bài 5/ tr.37)
Khoanh tròn vào số lớn nhất (theo mẫu)
a)
b)
c)
4
8
6
,
,
Kiểu nhiệm vụ T SX : “Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự từ lớn đến bé, từ bé
đến lớn”
Ví dụ (SGK1, Bài 4/ tr.41)
Viết các số 6, 1, 3, 7, 10
a) Theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Theo thứ tự từ lớn đến bé.
+ Kĩ thuật τ
SX :
Giả sử dãy số đã cho gồm n số
- Trước tiên tìm ra số bé nhất trong n số.
- Tìm tiếp số bé nhất trong n – 1 số còn lại.
- Tìm tiếp số bé nhất trong n – 2 số còn lại.
- ……………………………………..
- Tìm số bé hơn trong hai số còn lại.
- Kết thúc quá trình trên được dãy số sắp theo thứ tự từ bé đến lớn.
- Các số theo thứ tự từ lớn đến bé được viết ngược lại từ dãy số từ bé đến lớn.
+ Công nghệ θ SX : so sánh các số với nhau, tìm số bé nhất.
1.2.2 SGK lớp 2
SGK2 củng cố khái niệm “nhiều hơn”, “ít hơn” khi so sánh số lượng của hai
nhóm đối tượng. SGK2 đưa ra bài toán sau:
Ví dụ 1
15
(SGK2, tr.24)
Ví dụ 2
τ
SS_So.5
như sau:
Việc so sánh hai số tự nhiên được quy về phân tích số lớn hơn
thành tổng của số nhỏ và một số tự nhiên khác, sau đó kết luận. Ví dụ, 5 = 3 + 2,
nên 5 > 3.
+Kĩ thuật τ
SS_So.5 :
Dựa vào vị trí các số trên tia số. Mỗi số ứng với một điểm trên tia số:
- Điểm nào đứng trước thì số ứng với điểm đó bé hơn.
- Điểm nào đứng sau thì số ứng với điểm đó lớn hơn.
- Hai điểm cùng vị trí thì hai số ứng với chúng sẽ bằng nhau.
Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh giá trị của hai biểu thức”
Đối với kiểu nhiệm vụ T SS_BT , SGK2 xuất hiện bài tập như sau:
>
số c sao cho a = c.b thì a > b; Nếu có số d sao cho a =
1
b thì a < b.
d
Các kiểu nhiệm vụ T SS_so , T SS_BT , T BS_so , T SoLN_BN , T SapXep tiếp tục xuất hiện
trong SGK3. Tuy nhiên, đặc trưng của các kiểu nhiệm vụ này là làm việc trên tập số
tự nhiên trong phạm vi 100 000. Do đó, đối với T SS_so thì kĩ thuật τ
tiên.
1.2.4 SGK lớp 4
Trong SGK4 xuất hiện bất đẳng thức chứa chữ:
4. Tìm số tự nhiên x, biết:
SS_So.2
được ưu
18
a) x < 5
b) 2 < x < 5.
Chú ý: Có thể giải như sau, chẳng hạn:
a) Các số tự nhiên bé hơn 5 là: 0; 1; 2; 3; 4. Vậy x là : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
(SGK4, tr.22)
Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy trong bất đẳng thức chỉ chứa một chữ.
9
27
20
20
...
19
27
1 ...
15
14
+ Kỹ thuật τ SS_So.6 :
- Nếu 2 phân số chưa cùng mẫu: quy đồng đưa về 2 phân số cùng mẫu.
- So sánh tử số với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
+ Công nghệ θ SS_So.6 : Quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu, khác mẫu.
1.2.5 SGK lớp 5
T SS_so trong SGK5 thực hiện trên số thập phân.
Ví dụ (SGK5, Bài 1/ tr.43)
84,2
>
a) x ∈ B(12) và 20 ≤ x ≤ 50 ;
b) x 15 và 0 < x ≤ 40 .
(SGK6 – tập 1, tr.44)
Hoặc khi viết điều kiện khi trình bày về phép chia có dư:
Chia hai số tự nhiên a và b trong đó b ≠ 0, ta luôn tìm được số tự nhiên q và r duy nhất
sao cho: a = b.q + r trong đó 0 ≤ r < b .
(SGK6 – tập 1, tr.22)
Như vậy, trong SGK6 xuất hiện bất đẳng thức chứa một chữ hoặc hai chữ. Chữ
đóng vai trò là ẩn hoặc vai trò đại diện cho số.
Kí hiệu ≥ , ≤ lần đầu tiên được giới thiệu. Chúng tôi nhận thấy với cách giải thích
như vậy thì kí hiệu ≥ ( ≤ ) là viết gộp của 2 trường hợp > và = (< và =).
* Các tổ chức toán học
Trong SGK6 có các kiểu nhiệm vụ T SS_So , T SX .
Kiểu nhiệm vụ T SS_So : “So sánh hai số”
* So sánh hai số nguyên
20
Ví dụ 1 (SGK6 – tập 1, Bài 11/ tr.73)
>
+ Kỹ thuật τ SS_So.9 :
- Đưa 2 phân số về dạng có mẫu dương.
- Nếu 2 phân số chưa cùng mẫu: quy đồng đưa về 2 phân số cùng mẫu.
- So sánh tử số với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
+ Công nghệ θ SS_So.9 : Nhận xét (SGK6 – tập 1, tr.73)
Kiểu nhiệm vụ T SS_BT : “So sánh hai biểu thức”
Ví dụ (SGK6 – tập 1, Bài 85/ tr.92)
So sánh:
a) (-7).(-5) và 0;
b) (-17).5 và (-5).(-2)
c) (+19).(+6) với (-17).(-10)
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ trên là có thể so sánh được từng biểu thức với 0,
trong đó có một biểu thức có giá trị lớn hơn 0 và một biểu thức có giá trị nhỏ hơn 0.
Ngoài kĩ thuật τ SS_BT.1 . Còn có kĩ thuật τ SS_BT.3 như sau:
- So sánh a với 0, b với 0.
Copyright: Tài liệu đại học ©