BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Nhật Duật

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM LOGARIT
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Nhật Duật

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM LOGARIT
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

SBT

Sách bài tập

THPT

Trung học phổ thông

HS

Học sinh

GV

Giáo viên


MỤC LỤC
Trang

MỤC LỤC ............................................................................................ 1
MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Cơ sở lý thuyết............................................................................................... 2


được về dạng a r ( 0 < a ≠ 1, b > 0, r ∈ Q ) ..................................................................33
2.2.2. Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi
..................................................................................................................................33

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM: XÂY DỰNG ĐỒ ÁN DẠY HỌC
............................................................................................................. 36
3.1. Mục đích 36
3.2. Đối tượng 36
3.3. Bài toán thực nghiệm............................................................................... 37
3.4. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm ..................................... 38
3.4.1. Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến ..............................40
3.4.1.1 Biến tình huống ..........................................................................................40
3.4.1.2. Biến didactic ..............................................................................................41
3.4.2. Cách lựa chọn giá trị của biến.....................................................................42
3.4.3. Các chiến lược có thể ...................................................................................44
3.4.4. Các lời giải có thể quan sát được ................................................................46


3.4.5. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................59

3.5. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................. 68

KẾT LUẬN ........................................................................................ 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 90
PHỤ LỤC ........................................................................................... 92


1


2

2. Cơ sở lý thuyết
Luận văn dựa trên phạm vi lý thuyết của didactic toán, cụ thể, chúng tôi sử dụng
các lý thuyết sau đây:
- Trong didactic toán, dựa trên việc chọn lọc các bài học ở một số môn
học khác như lý, hóa, sinh được giảng dạy trong chương trình phổ thông có xuất
hiện khái niệm logarit, chúng tôi xem xét khả năng xuất hiện của khái niệm này
trong các tình huống thực tế gắn liền với mỗi môn học. Kết hợp với việc tìm
hiểu các tổ chức toán học của khái niệm logarit trong bộ môn toán, chúng tôi
chỉ ra các nghĩa của khái niệm logarit cùng phạm vi áp dụng của chúng trong
mỗi tình huống. Việc phân tích chương trình, phân tích SGK cho phép chúng
tôi thấy được mối liên hệ giữa khái niệm logarit trong toán học và các kiến thức
ở những môn học khác gắn liền với những tình huống cụ thể mà chúng tôi xem
xét trong chương trình học của các em. Điều này cho chúng tôi có được cái nhìn
tổng thể về sự liên hệ giữa các kiến thức mà các em có được trong quá trình học
của mình. Các khái niệm của lý thuyết nhân chủng học trong didactic toán mà
chúng tôi sử dụng bao gồm: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri
thức, khái niệm tổ chức toán học.
- Căn cứ vào sự trang bị kiến thức cho học sinh ở từng môn học có liên
quan đến khái niệm logarit đã được lựa chọn và xem xét, chúng tôi tiến hành
xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm này ở trường phổ thông. Thông
qua các tình huống thực tế, chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được một số
nghĩa của khái niệm logarit mà mình nghiên cứu trong luận văn. Bên cạnh đó,
chúng tôi mong muốn kiểm chứng sự liên hệ về kiến thức giữa toán học và các
môn khoa học khác mà học sinh hình thành được trong quá trình học tập của
mình. Việc làm này cho phép chúng tôi tìm ra những mặt hạn chế của việc dạy
toán trên phương diện lý thuyết thuần túy, hơn nữa, nó giúp chúng tôi có điều
kiện chỉ ra những mặt tích cực của dạy học mô hình hóa trong toán học ở


xuất hiện của khái niệm này trong mỗi trường hợp.
Kết hợp những phân tích tri thức toán học có liên quan đến logarit được giảng
dạy ở trường phổ thông với các môn học khác, chúng tôi xây dựng đồ án dạy học đối


4

tượng học sinh trung học phổ thông nhằm giúp các em hiểu thêm về vai trò công cụ
của khái niệm này cũng như tạo điều kiện cho học sinh hình thành kỹ năng mô hình
hóa các tình huống thực tế vào toán học. Từ đó, chúng tôi tìm ra một số ưu điểm của
việc dạy học mô hình hóa dựa trên sự kết hợp giữa toán học với các môn khoa học
khác có liên quan đến khái niệm logarit như lý, hóa, sinh.

5. Một số nghiên cứu về khái niệm logarit dựa trên cơ sở của didactic toán
Chúng tôi tiến hành tổng hợp một số công trình nghiên cứu về khái niệm
logarit, cụ thể là các đề tài dựa trên phương pháp luận là didactic toán phục vụ cho nhu
cầu nghiên cứu của luận văn như sau:
5.1 Khái niệm hàm số Logarit trong trường trung học phổ thông, Luận văn thạc
sĩ của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng, 2008.
Trong phần trình bày của mình, tác giả Hoàng Hùng chỉ ra vai trò công cụ của
khái niệm logarit. Với những dẫn chứng có được từ việc nghiên cứu các tổ chức toán
học ở trường phổ thông có liên quan đến khái niệm này, tác giả nhận định cách trình
bày của SGK chưa tạo điều kiện cho học sinh được tiếp cận nghĩa của khái niệm
logarit trong việc hỗ trợ tính toán và giải quyết các vấn đề thực tế.
Trong phần nghiên cứu các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm logarit
của tác giả, chúng tôi nhận thấy hệ thống bài tập được trình bày trong SGK và SBT
chủ yếu giúp kiểm chứng những công thức toán học mà học sinh được học, các tình
huống thực tế có liên quan đến khái niệm logarit chưa được lồng ghép vào các bài tập
để cho học sinh thấy sự ảnh hưởng của khái niệm này. Hơn nữa, sự lựa chọn hệ thống
bài tập chỉ dừng lại ở mức độ tạo điều kiện cho học sinh sử dụng những kỹ thuật biến

môn toán với các môn học khác chưa được tác giả đề cập trong phần nghiên cứu của
mình.
Qua phần thực nghiệm của tác giả, chúng tôi thấy rằng khái niệm logarit bị tách
rời khỏi các ứng dụng thực tế mà nó mang lại. Điều này hoàn toàn trái ngược với sự
hình thành cũng như phát triển của logarit trong lịch sử. Kiến thức học sinh nhận được
qua bài học chỉ dừng lại ở các công thức, tính chất, sự liên hệ logarit với thực tế của
học sinh hầu như không được tìm thấy.
5.3. Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc
trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Viết Hiếu, 2013.
Tác giả tổng hợp một số cách tiếp cận khái niệm logarit, hàm số logarit và chỉ
ra một số lợi điểm của từng cách tiếp cận mang lại. Tuy nhiên, để tránh lặp lại những


6

kết quả đã được trình bày ở những công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi chỉ giới
thiệu sơ nét mà không trình bày cụ thể những kết quả này.
Tác giả tiến hành nghiên cứu một số nghĩa của khái niệm logarit. Trong đó, tác
giả dẫn chứng một số ví dụ thực tế mà logarit tham gia giải quyết, cụ thể như:
- Tính số tiền gửi theo thể thức lãi kép.
- Tính số năm phân rã của chất phóng xạ.
Thông qua nghiên cứu của một số tác giả đã được chúng tôi tổng hợp và trình
bày dựa trên cơ sở didactic toán, chúng tôi nhận thấy với vai trò mạnh mẽ mà logarit
mang lại, khái niệm này đã thể hiện được tầm ảnh hưởng của nó trong mối quan hệ với
các ngành khoa học khác. Tuy nhiên, thể chế dạy học môn toán ở trường phổ thông
chưa tạo nhiều điều kiện cho học sinh tiếp cận với những ứng dụng này. Chính vì thế,
việc học tập khái niệm logarit của học sinh phần nào mang nặng tính chất lý thuyết,
các em chưa được tiếp xúc để thấy rõ các vai trò công cụ của khái niệm này mà
chương trình học muốn truyền tải.
Từ những nhận định và thông tin đã thu thập được, chúng tôi mong muốn đề

HÓA
Để phục vụ cho nghiên cứu của luận văn về dạy học mô hình hóa, chúng tôi
tổng hợp và đưa vào một số khái niệm như:

1.1. Dạy học tích hợp
Một số kết quả được chúng tôi tổng hợp và trình bày ở các tài liệu sau:
 Nguyễn Kim Hồng, Huỳnh Công Minh Hùng (2013), “Dạy học tích hợp
trong trường phổ thông Australia”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp.
HCM (42), 7 – 16.
Trong phần trình bày của tác giả, chúng tôi chú ý một số quan điểm:
- Tác giả đề cao phương pháp dạy học giúp phát huy tính sáng tạo của
người học. Bên cạnh đó, tác giả cho rằng cách thức mà người học vận dụng
và liên hệ những kiến thức với nhau góp phần giải quyết cho một vấn đề
chung đóng vai trò quan trọng. Với lý luận này, tác giả nêu lên những lợi
điểm mà phương pháp dạy học tích hợp mang lại. Dạy học tích hợp tạo cơ
hội cho học sinh thấy được sự gắn kết giữa các kiến thức mà các em đã
được học, bám sát thực tế cuộc sống, giúp học sinh hình thành các kỹ năng
giải quyết vấn đề bằng cách kết hợp các kiến thức lại với nhau.
Trong thực trạng giáo dục hiện nay, chúng tôi nhận thấy quá trình dạy học trong
đó có sự lồng ghép việc giải quyết các vấn đề thực tiễn thường được quan tâm với mục
đích giúp học sinh liên hệ được giữa lý thuyết được học và thực tiễn cuộc sống.
- Tác giả giới thiệu các hình thức dạy học tích hợp bao gồm tích hợp
ngang (Horizontal integration) và tích hợp dọc (Vertical integration). Chúng
tôi lưu ý đến khái niệm Dạy học tích hợp ngang, cụ thể được tác giả trình
bày như sau:
“ Tích hợp ngang (Horizontal integration): Tích hợp dựa trên cơ sở liên kết các đối
tượng học tập, nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác nhau xung quanh một chủ đề. ” [10,

tr.8].


vào thực tiễn. Dạy học tích hợp tạo cho người học không chỉ lĩnh hội kiến thức từ
những môn khoa học nhất định, mà đó còn là sự kết hợp trên nhiều phương diện ở
những bộ môn khác nhau. Xoay quanh một vấn đề được đặt ra, người học xác định và


10

lựa chọn những kiến thức, những khái niệm hỗ trợ nhau, cùng nhau giải quyết vấn đề
đó.
Tác giả cho rằng nhiệm vụ của dạy học tích hợp là chỉ ra cách thức chuyển từ
những lý thuyết, những nghiên cứu sang việc vận dụng chúng vào thực tiễn. Dạy học
tích hợp phải đảm bảo được việc chuyển tải tính ứng dụng từ những lý thuyết được
giảng dạy trong chương trình học đến người học nhằm chỉ ra được sự xuất hiện của
những kiến thức cùng khả năng vận dụng chúng trong các tình huống khác nhau.
Tác giả chỉ ra những mục tiêu của dạy học tích hợp bao gồm:
• Gắn lý luận với thực tiễn: Phương pháp dạy học tích hợp với mục tiêu
không những làm cho quá trình giảng dạy của giáo viên thêm phần sinh
động mà còn hỗ trợ cho quá trình tiếp thu kiến thức của người học thêm
phần vững chắc. Việc truyền đạt kiến thức mang nặng tính lý thuyết
phần nào tạo cho người học đôi khi phải chấp nhận những bài học mà
mình có được học trong khi họ không hiểu được khả năng xuất hiện và
tính ứng dụng của các kiến thức này.
• Tạo sự liên kết chặt chẽ giữa những kiến thức với nhau, góp phần đặt
nền móng vững chắc cho sự tiếp thu và phát triển những kiến thức ở
những cấp độ cao hơn.
• Giúp người học hiểu kỹ, hiểu sâu những kiến thức đã học thông qua khả
năng tổng hợp và chọn lọc những điểm kiến thức phù hợp để giải quyết
cho những tình huống nhất định.
• Tạo sự gắn kết giữa các môn khoa học, kiến thức của người học hình
thành được sẽ là một khối vững chắc, không rời rạc nhau.

thống bài tập mà chương trình đặt ra chủ yếu dừng lại ở việc luyện tập cho học sinh
khả năng giải quyết những bài tập minh họa cho phần lý thuyết đã học, những bài tập
mang tính ứng dụng vào thực tiễn ít được quan tâm khai thác.
Khi nói về tích hợp trong dạy học toán, tác giả nêu các hướng như sau: Tích
hợp trong nội bộ môn toán, tích hợp đa môn, tích hợp xuyên môn và tích hợp theo
phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn.
Tác giả giới thiệu về đặc điểm và cách thức cho hướng dạy học này, cụ thể như
sau:
“ Trong cách tiếp cận tích hợp liên môn, GV kết nối các nội dung học tập chung nằm
trong các môn học để nhấn mạnh các khái niệm và kỹ năng liên môn. Đây là điểm chung
với xu hướng tích hợp đa môn. Tuy nhiên, việc tổ chức học tập có thể chỉ đặt trong khuôn
khổ một môn học, ở đó GV tổ chức chương trình học tập những chủ đề, khái niệm cụ thể
của môn học trong mối quan hệ với các khái niệm, kỹ năng liên môn.” [4, tr.11].


12

Với những lợi ích mà cách tiếp cận tích hợp liên môn mang lại kết hợp với mục
đích nghiên cứu của luận văn, chúng tôi lựa chọn hướng dạy học này với mong muốn
cho học sinh thấy được tầm ảnh hưởng của toán học đối với các ngành khoa học khác,
cụ thể ở khái niệm logarit. Bên cạnh đó, phương thức dạy học tích hợp liên môn cũng
là điều kiện để chúng tôi thiết lập các chuyên đề hỗ trợ cho việc tiếp thu các kiến thức
và kỹ năng mà các em đã học được tốt hơn với chủ đề “Ứng dụng của toán học vào
thực tiễn”.

1.2. Mô hình hóa trong dạy học Toán
Chúng tôi nghiên cứu xoay quanh việc giải quyết những tình huống trong thực
tế mà ở đó, toán học đóng vai trò quan trọng trong việc tìm lời giải đáp.
Khi tiếp cận một vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, học sinh gặp khó
khăn không chỉ ở việc giải một bài toán cụ thể mà còn ở giai đoạn chuyển tình huống

những điều kiện nhất định và những đặc điểm nổi bật có thể phục vụ tốt cho mục đích
dạy học tích cực này.
Đối với môn toán ở bậc học THPT hiện nay, chúng ta thường gặp không ít
những ý kiến của học sinh khi thắc mắc về các ứng dụng của những kiến thức được
học. Nắm bắt được quan điểm trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu mô hình hóa trong
giảng dạy môn toán ở cấp học trung học phổ thông, cụ thể với việc dạy học khái niệm
logarit.
1.2.2. Quá trình mô hình hóa toán học
Tác giả nêu lên 4 bước trong quá trình mô hình hóa toán học như sau:
“ Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý
nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng
ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể
có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối
liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở
bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp
giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người
ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc
áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. ” [5, tr.1].


14

Căn cứ vào các bước của quá trình mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán
học, chúng tôi nhận thấy các bước này tạo điều kiện cho học sinh nhận thấy được
những điểm kiến thức mà mình vận dụng, thể hiện ở sự lựa chọn và sự kết hợp các lý
thuyết, các khái niệm không chỉ ở toán học mà còn ở các môn khoa học khác có liên
quan. Học sinh lựa chọn các kiến thức toán học và các tri thức ở những bộ môn khoa

1.2.3. Dạy học mô hình hóa xét trên phương diện tiếp cận bằng vai trò công
cụ của khái niệm logarit
Với việc chỉ ra một số kiểu nhiệm vụ của khái niệm logarit kết hợp với dạy học
mô hình hóa cho đối tượng học sinh trung học phổ thông, chúng tôi tiến hành nghiên
cứu tình huống trong đó có sự vận dụng những kiến thức liên quan đến khái niệm
logarit để mô hình hóa chúng vào toán học. Sau khi chuyển tình huống thực tế sang
ngôn ngữ toán học, chúng tôi sự dụng khái niệm logarit để giải quyết cho vấn đề được
đặt ra. Để làm rõ cho mục đích nghiên cứu của mình, chúng tôi tổng quát những lý
luận của mình bằng sơ đồ như sau:
Tình huống thực tế được tìm thấy
ở một số môn học khác
Lựa chọn các khái niệm toán học có liên quan
(cụ thể là các khái niệm liên quan đến logarit)
Sử dụng các khái niệm có liên quan đến
logarit trong toán học để hình thành mô hình
chung cho phép giải quyết tình huống

Có sự kết hợp các
kiến thức ở môn
khoa học liên quan

một cách tổng quát
Vấn đề thực tế được chuyển sang ngôn ngữ
toán học
Làm việc với bài
toán cụ thể

Kiểm chứng các kết quả
thu được trong tình huống


LOGARIT
Để hiểu thêm về các ứng dụng thực tế liên quan đến khái niệm logarit, chúng
tôi phân tích một số tình huống ở các môn lý, hóa, sinh trong chương trình THPT có
sự ảnh hưởng của khái niệm này. Cụ thể hơn, chúng tôi phân tích chương trình cùng
một số sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành với những mục đích:
•

Tìm ra sự ảnh hưởng của khái niệm logarit thông qua một số các tình

huống được đề cập trong chương trình THPT ở các môn học khác.
•

Phân tích các bài học cụ thể trong từng môn học gắn với khái niệm

logarit nhằm chỉ ra những vai trò công cụ mà khái niệm này mang lại.
Chúng tôi kết hợp cả hai bộ sách nâng cao và cơ bản cho nghiên cứu của luận
văn bởi một số điểm đáng chú ý như sau:
 Đối với bộ sách nâng cao: được chúng tôi lựa chọn chủ yếu cho phân
tích của mình với những lý do sau:
- Những bài đọc thêm được các tác giả minh họa cho bài học nhằm củng
cố hoặc mở rộng kiến thức khá phong phú.
- Hệ thống bài tập mà bộ sách nâng cao đưa ra đáp ứng khá tốt cho nhu
cầu nghiên cứu của luận văn.
 Đối với bộ sách cơ bản: Cho phép chúng tôi so sánh và đối chiếu với bộ
sách nâng cao để có được cái nhìn tổng quan về kiến thức mà mình
muốn nghiên cứu.

2.1. Sự xuất hiện của khái niệm logarit trong các tình huống thực tế ở một
số môn khoa học khác như lý, hóa, sinh.
Sau khi tổng hợp một số tình huống có sự xuất hiện của khái niệm logarit được


-

Đồng vị phóng xạ: Các nguyên tử có tính phóng xạ.

-

Nguyên tố phóng xạ: Các nguyên tố hóa học chỉ gồm các đồng vị phóng xạ
(không có đồng vị bền).

-

Tia phóng xạ: Các dòng hạt chuyển động nhanh phóng ra từ các chất phóng xạ.

-

Ký hiệu hạt nhân: Hạt nhân nguyên tử của nguyên tố có ký hiệu hóa học X
được ký hiệu là ZA X , trong đó: A là số khối, Z là số proton của hạt nhân.

-

Các đại lượng phóng xạ