BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
PHAN TẤN PHÚ
MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ:
VẤN ĐỀ TÌM MỘT MÔ HÌNH HÀM TỪ
BẢNG GIÁ TRỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
PHAN TẤN PHÚ
MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ:
VẤN ĐỀ TÌM MỘT MÔ HÌNH HÀM TỪ
BẢNG GIÁ TRỊ
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2012
Sách giáo khoa
SGV:
Sách giáo viên
MỤC LỤC
Mở đầu .............................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.........................................................1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................................3
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu ..........................3
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................4
5. Cấu trúc của luận văn...............................................................................................4
Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng .........................................................6
trong toán học ..................................................................................................................6
1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu.............................................................................6
1.2 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong toán học ..........................................7
1.2.1 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng qua các thời kỳ lịch sử ......................7
1.2.2 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại ......................................8
1.3 Kết luận ................................................................................................................15
Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình phổ thông .........................16
2.1 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong sách giáo khoa Vật lí Việt Nam .....................16
2.1.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều...................................................................17
2.1.2 Sự rơi tự do....................................................................................................20
2.1.3 Kết luận .........................................................................................................23
2.2 Phân tích sách giáo khoa Đại số 10 .....................................................................24
2.2.1 Các cách cho hàm số .....................................................................................24
2.2.1.1 Hàm số cho bằng bảng ...............................................................................24
chất của nó được dạy học hầu như xuyên suốt của quá trình dạy học toán ở bậc THCS
và THPT. Học sinh tiếp cận hàm số lần đầu tiên từ lớp 7, hàm số nảy sinh từ việc xem
xét các đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. Ở các lớp cao hơn, các tính chất của hàm số
như tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đơn điệu, cực trị được xem xét dần dần.
Hàm số có thể được biểu diễn bởi ít nhất 5 hệ thống biểu đạt khác nhau: đại số
(công thức), hình học (đồ thị), bảng giá trị, bảng biến thiên, algorit. Việc chuyển từ hệ
thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt kia cho phép học sinh hiểu rõ hơn hàm số
đang xét. Hơn thế, biết chuyển đổi linh hoạt giữa các hệ thống biểu đạt còn là một kĩ
năng cần thiết trong việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề của thực tế hay của
các khoa học khác.
Theo ghi nhận ban đầu của chúng tôi thì hệ thống biểu đạt đại số (biểu thức
giải tích) chiếm ưu thế hầu như tuyệt đối trong sách giáo khoa toán Việt Nam ở bậc
THCS và THPT. Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị dường như bị xem nhẹ.
Giá trị công cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng giá trị trong việc sử dụng hàm số để
dự đoán các vấn đề thực tế chưa được quan tâm. Chúng tôi có nhận định rằng hàm số
biểu đạt bằng bảng tồn tại trong học sinh như là một minh hoạ cho các cách xác định
hàm số chứ ngoài ra không ý nghĩa gì khác.
Tuy nhiên, giá trị công cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng thường xuất hiện
trong sách toán nước ngoài, chẳng hạn bài tập sau:
Bài tập 20, chương 1, Giáo trình Calculus (tương đương năm thứ nhất đại
học ở Việt Nam)
1
Nhiệt độ T (độ F) ở thành phố Dallas ngày 2 tháng 6 năm 2001 được ghi lại
theo thời gian t cứ 2 giờ 1 lần như ở bảng sau:
t
0
• Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến quan niệm của học sinh?
• Bảng số liệu có những đóng góp gì trong nghiên cứu hàm số?
• Làm thế nào để tìm một mô hình hàm từ bảng giá trị về các số đo biến
thiên phụ thuộc lẫn nhau có trong môn học khác?
2
• Có thể xây dựng một tính huống dạy học để giúp học sinh thấy được
vai trò công cụ của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị hay
không?
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm mục đích hiểu rõ tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt
hàm số bằng bảng.
Với mục đích trên, nghiên cứu này có nhiệm vụ đi tìm một mô hình hàm số
cho bằng bảng ở một môn học khác. Nếu có thể, chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống
dạy học giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt hàm số bằng
bảng giá trị.
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi
nghiên cứu
Để trả lời cho những câu hỏi ban đầu, chúng tôi đặt nghiên cứu này trong
phạm vi didactic toán, cụ thể là Thuyết nhân học sư phạm và Lý thuyết tình huống.
Trong Thuyết nhân học sư phạm, chúng tôi sử dụng các khái niệm: trường
sinh thái, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, khái niệm
tổ chức toán học.
Trong Lý thuyết tình huống, chúng tôi sử dụng các khái niệm: tình huống dạy
học, biến, chiến lược.
Trong phạm vi lý thuyết này, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi đã đặt ra như
những ghi nhận đó dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu.
4
Chương 1 tìm hiểu hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong
Toán học và các khoa học khác.
Chương 2 phân tích mối quan của thể chế dạy học toán Việt Nam với hệ thống
biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị.
Chương 3 trình bày thực nghiệm.
Phần kết luận tóm tắt những kết quả nghiên cứu được và hướng nghiên cứu
mới có thể mở ra từ luận văn này.
5
Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng
trong toán học
1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu
Như chúng tôi đã làm rõ trong phần mở đầu của luận văn, mục đích của
chương này là tìm hiểu xem bảng số được hình thành như thế nào trong lịch sử, nó
được dùng để giải quyết những bài toán nào? Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng
hiện diện như thế nào ở cấp độ tri thức bác học, cụ thể hơn là nó có mặt trong các giáo
trình đại học như thế nào? Kết quả của chương này sẽ là cơ sở phương pháp luận cho
việc nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa ở phổ thông và lựa chọn tình huống thực
nghiệm.
Chương này cũng sẽ đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q 1 sau:
Q 1 : Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán
…
Thời gian
Những hình hình hình học kiểu này chắc chắn phải được phác thảo lên từ một
bảng số đã có. Bảng số đó biểu thị mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng, chẳng hạn
vận tốc và thời gian.
Sang thế kỷ 16 - 17, Descartes là người đầu tiên mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa hai đại lượng x và y bằng “đường”. “Đường” theo Descartes là vô hạn các điểm
7
mà mỗi điểm ứng với một cặp giá trị (x; y) cụ thể. Việc tạo ra “đường” như vậy chắc
chắn phải thông qua một bảng số, giống như thao tác vẽ đồ thị mà học sinh hay làm
bây giờ. Đồ thị chắc chắn được vẽ bằng cách nối một đường liền đi qua những điểm
rời rạc. Các điểm rời rạc này thì được xác định nhờ một bảng số, hay gọi là bảng giá trị
khi vẽ đồ thị hàm số.
Đến thế kỷ 18 thì người ta đồng nhất hàm số với biểu thức giải tích. Như vậy
bảng số trong giai đoạn này đượi coi như không có liên quan gì đến hàm số.
Đến thế kỷ 19, người ta định nghĩa tường minh hàm số là sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa hai đại lượng mà không nói gì đến biểu thức giải tích. Sau đó, với sự ra đời
của lý thuyết tập hợp, người ta định nghĩa hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai
đại lượng của hai tập hợp số.
Bảng số là một phương tiện để thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại
lượng. Có nhiều trường hợp, sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng kia được
mô tả bằng một bảng số. Do đó, trong giai đoạn này, bảng số là một phương tiện để
biểu diễn hàm số. Người ta có thể cho một hàm số bẳng một bảng số (điều này sẽ được
làm rõ ở mục dưới đây).
Trên đây là tóm tắt lịch sử của hình thành của bảng số và hàm số biểu đạt bằng
bảng. Bảng số có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số. Hàm số trong toán học
đạc theo thời gian (vị trí) một cách chính xác, mà thường biểu thị chúng dưới dạng
bảng ghi số liệu. Khi ấy ta có hàm được cho dưới dạng bảng số. Cách cho hàm như
vậy, mặc dù thường cho thông tin về hàm không đầy đủ (không tại mọi điểm), nhưng
lại rất phổ biến trong thực tiễn. Một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích
Toán học là nghiên cứu phương pháp “khôi phục” thông tin tại những điểm không
được đo để biến những hàm loại này thành một hàm mà các công cụ giải tích có thể xử
lý được như một hàm thông thường khác.
Phương pháp đồ thị
Một phương pháp thứ ba để biểu diễn hàm số là phương pháp đồ thị. Theo tài
liệu Giải tích hàm một biến ([7]), đây là một biến thể của phương pháp bảng. Thay vì
cho một bảng số liệu, người ta cho một tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Đề-
9
các, và hàm f được xác định bởi phép cho tương ứng hoành độ mỗi điểm trong tập hợp
điểm đã cho với tung độ của nó. Tập hợp các điểm đã cho ở trên gọi là đồ thị của hàm
số f.
Một hàm số cho bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp bảng có thể
biểu diễn được bằng đồ thị. Việc biểu diễn tập hợp các điểm đã cho lên mặt phẳng gọi
là việc vẽ đồ thị hàm số.
Cũng theo tài liệu Giải tích hàm một biến , trong thực tế người ta thường kết
hợp cả ba phương pháp trên để mô tả hàm số. Tuy nhiên không phải hàm số nào cũng
có thể mô tả chính xác bằng đồ thị, đồng thời có những hàm số mô tả được bằng
phương pháp bảng mà không thể mô tả được bằng biểu thức giải tích.
Phương pháp mô tả
Cũng bàn về các phương pháp biểu diễn hàm số, giáo trình Calculus ([1], tương đương
chương trình toán đại học năm thứ nhất) có đưa ra 4 phương pháp biểu đạt (repesent)
hàm số: bao gồm 3 phương pháp như trên và có thêm phương pháp mô tả (verbally),
nghĩa là mô tả bằng lời, bằng một mệnh đề hoặc bằng một thuật toán.
4
6
8
10
12
14
T
73
73
70
69
72
81
88
91
Vấn đề mô hình hoá cũng hiện diện trong bài tập này. Thế nào là mô hình
hoá, các bước của quá trình mô hình hoá, vấn đề mô hình hoá thể hiện qua các bước ở
bài tập này như thế nào sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2.
Khôi phục hàm số bằng phương pháp giải tích
Sau đây là ví dụ minh hoạ cho việc “khôi phục” (xấp xỉ) hàm số bằng biểu
thức giải tích để giải quyết bài toán trong thực tế (hình 1.1, trang 14, sách [1]). Chúng
tôi tạm dịch như sau:
Chúng ta mô tả hàm số bằng lời: P (t) là dân số thế giới ở thời điểm t.
Bảng số liệu bên dưới cung cấp thông tin về hàm số. Nếu vẽ đồ thị những số
liệu này, chúng ta sẽ thu được đồ thị rời rạc (scatter plot). Đồ thị rất hữu ích trong
việc quan sát dữ liệu một lần thay vì phải đọc tất cả dữ liệu trong bảng. Thế còn công
thức hàm thì sao? Tất nhiên không thể biểu diễn dân số P (t) tại thời điểm t dưới dạng
biểu thức. Tuy nhiên chúng ta có thể tìm một biểu thức xấp xỉ cho P (t). Trong thực tế,
12
dùng phương pháp xấp xỉ bằng hàm mũ với sự hỗ trợ của một máy tính cầm tay có
chức năng này ta thu được sự xấp xỉ như sau:
P(t)≈ (0.008079266).(1.013731)
t
Năm
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Dân số
xn
y0
y1
…
yn
Tìm đa thức nội suy bậc n có dạng
Pn ( x ) = a0 + a1 x + + an x n
thỏa mãn Pn ( xi ) = yi với mọi i từ 0 đến n. Ngời ta chứng minh được đa thức này là
duy nhất và
n
Pn ( x ) = ∑ yi Li ( x )
i =0
với
Li ( x ) =
( x − x0 ) ( x − x1 )( x − xi −1 )( x − xi +1 )( x − xn )
( xi − x0 )( xi − x1 )( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )( xi − xn )
Đa thức nội suy Lagrange đơn giản và dễ tính nếu các nút nội suy đã được cố
định. Nhưng khi ta bổ sung thêm nút nội suy thì quá trình tính lại phải thực hiện lại từ
đầu. Đây là nhược điểm của đa thức nội suy Lagrange. Để khắc phục nhược điểm này
Kiểu nhiệm vụ T 1 : Vẽ đồ thị dạng điểm của hàm số từ một bảng số liệu.
Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Nối liền” đồ thị của hàm số từ đồ thị dạng điểm.
Kiểu nhiệm vụ T 3 : Dự đoán giá trị của hàm số tại một điểm không có trong
bảng.
• Có sự hiện diện của vấn đề mô hình hoá trong các kiểu nhiệm vụ T 1 ,
T2, T3.
15
Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình
phổ thông
Ở chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu sự xuất hiện của bảng số trong lịch sử và sự
hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng giá trị trong Toán học hiện đại. Để biết
những nội dung ấy hiện diện như thế nào trong chương trình phổ thông, ở chương này
chúng tôi thực hiện phân tích sách giáo khoa.
Như thông lệ, sau khi kết thúc chương 1, chúng tôi tiến hành phân tích sách
giáo khoa Toán Việt Nam để tìm hiểu sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng ở
chương trình Toán phổ thông. Tuy nhiên, các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 không được
tìm thấy trong sách giáo khoa Toán. Vì vậy, phạm vi nghiên cứu được mở rộng sang
các môn học khác và chúng tôi đã tìm thấy sự hiện diện của các kiểu nhiệm vụ này ở
sách giáo khoa Vật lí. Ở chương này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi
nghiên cứu Q 2 , Q 3 , Q 4 .
Q 2 : Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các môn học khác
ở chương trình phổ thông?
Q 3 : Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị được trình bày như thế nào
trong sách giáo khoa Toán Việt Nam, mối liên hệ với các hệ thống biểu đạt khác?
Q 4 : Có hay không đối tượng mô hình hoá trong việc trình bày hàm số của sách
giáo khoa? Cuộc sống của đối tượng mô hình hoá này như thế nào?
biến đổi đều theo thời gian nên Δv tỉ lệ thuận với Δt với hệ số tỉ lệ a không đổi và viết
được Δv = aΔt. Từ đó sách giáo khoa nêu định nghĩa gia tốc:
“Gia tốc của chuyển động là đại lượng xác định bằng thương số giữa độ biến
thiên vận tốc Δv và khoảng thời gian vận tốc biến thiên Δt.”
a=
∆v
∆t
Từ công thức này, sách giáo khoa xây dựng công thức tính vận tốc tức thời:
17
=
a
∆v v − v0
=
∆t t − t0
Nếu lấy gốc thời gian ở thời điểm t0 ( t0 = 0 ) ta sẽ có Δt = t và:
v= v0 + at
Công thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều
Việc chứng minh công thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến
đổi đều
=
s v0t +
v. Từ đó ta được
=
s
1
( v0 + v ) t
2
Với v= v0 + at nên ta có
=
s v0t +
1 2
at
2
Việc trình bày này của sách giáo khoa cho chúng tôi thấy sự phụ thuộc bậc hai
giữa quãng đường và thời gian trong chuyển động thẳng biến đổi đều được xây dựng
dựa vào tư tưởng của tích phân xác định. Vì chứng minh này được trình bày trong bài
đọc thêm, nên trong tiết lý thuyết trên lớp chắc chắn học sinh bị áp đặt phải thừa nhận
công thức này. Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: “Có thể cho học sinh tự phát hiện ra
sự phụ thuộc bậc hai của quãng đường theo thời gian bằng đo đạc thực nghiệm thông
qua bảng số hay không?”
19
Copyright: Tài liệu đại học ©