BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Huỳnh Thị Kim Huệ
MÔ HÌNH HÓA
TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Huỳnh Thị Kim Huệ
MÔ HÌNH HÓA
TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số
: 6014 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .......................................................................................7
1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán ..........................................................................8
1.1.1. Khái niệm mô hình hóa ...............................................................................8
1.1.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ................................10
1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán ................................................................11
1.3. Lý thuyết tình huống ..........................................................................................11
1.4. Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý....................................14
1.5. Kết luận chương 1 ..............................................................................................15
Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ............................................................16
2.1. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam .........18
2.1.1. Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10 ......18
2.1.2. Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa .....19
2.1.3. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M N và E N .................19
2.1.4. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M C và E C .................31
2.1.5. Kết luận......................................................................................................32
2.2. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ ....................33
2.2.1. Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ ..........................33
2.1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học
hàm số ........................................................................................................42
2.1.3. Kết luận......................................................................................................46
2.3. So sánh và kết luận .............................................................................................47
2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ .........................47
2.3.2. Kết luận chương 2 .....................................................................................48
Chương 3. THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA
TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ ................................................................49
3.1. Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số .......................................................50
3.1.1. Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa ..............................50
3.1.2. Đối tượng, hoàn cảnh và nội dung của thực nghiệm ................................51
Học sinh
MC
MN
Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
Nxb Giáo dục
Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng
chủ biên), Nxb Giáo dục
KNV
Kiểu nhiệm vụ
SBT
Sách bài tập
SGK
Sách giáo khoa
SGV
Sách giáo viên
EC
EN
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán phổ thông ở Việt
Nam. Nội dung này được đề cập xuyên suốt trong chương trình môn Toán Trung học
cơ sở (bắt đầu ở năm lớp 7) và Trung học phổ thông. Người ta có thể sử dụng nhiều hệ
thống biểu đạt khác nhau để biểu thị hàm số, như hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị
hàm số bằng biểu thức giải tích), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ
thị, biểu đồ). Mỗi hệ thống biểu đạt có những lợi thế riêng. Chúng không tồn tại riêng
lẻ, tách rời nhau mà có thể chuyển đổi qua lại hoặc cùng tồn tại song song với nhau.
Việc chuyển đổi giữa các hệ thống này có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số
đang xét và là một kỹ năng không thể thiếu trong việc sử dụng kiến thức về hàm số để
giải quyết các vấn đề trong thực tế hay các khoa học khác.
Thế nhưng, theo kết quả nghiên cứu tác giả Nguyễn Thị Nga (2003) thì:
“Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Vì vậy, họ gặp nhiều khó
khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”
(Nguyễn Thị Nga (2003), tr.2)
Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này, theo nghiên cứu của tác giả, chính là sự lựa
chọn của sách giáo khoa (SGK) toán từ THCS đến THPT và thực tiễn dạy học (DH)
toán, ưu tiên cho hệ thống biểu đạt đại số. Lý do của sự lựa chọn chính là ưu thế của
hệ thống biểu đạt đại số: việc nghiên cứu hàm số sẽ trở nên tổng quát hơn mà lại thuận
lợi hơn, vì các tính chất của hàm số trên toàn tập xác định sẽ được chỉ ra một cách dễ
dàng, đặc biệt là với công cụ đạo hàm. Thế nhưng, việc sử dụng kiến thức đã được học
về hàm số vào các phạm vi ngoài toán học trở thành vấn đề nan giải đối với các em (vì
trong thực tiễn tương quan hàm số không phải lúc nào cũng được cho bằng biểu thức
giải tích).
Chính vì lý do trên, một số công trình nghiên cứu về vấn đề chuyển đổi từ bảng số
hay đồ thị sang biểu thức hàm số kết hợp với dạy học MHH (MHH) đã được tiến hành.
Chẳng hạn, trong số các luận văn Thạc sỹ ở Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh,
“Mô hình hóa trong dạy học hàm số ở lớp 12”
2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu có liên quan
Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học
toán ở trường phổ thông”
3
Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đồng thời ở cấp độ tri
thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của
việc chuyển đổi nói trên.
Chỉ ra được các ràng buộc của sách giáo khoa ở trường phổ thông với vấn đề
chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai.
Trong sách giáo khoa toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức
hàm số và vấn đề MHH trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì
đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất.
Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết
nghiên cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được
hình thành ở HS”.
Tác giả đã làm rõ quan hệ cá nhân của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu
thức và vấn đề MHH nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên. Một
tiểu đồ án didactic đã được thiết kế nhằm dạy học việc chuyển đổi từ đồ thị sang biểu
thức hàm số.
Tuy nhiên, nghiên cứu này còn hạn chế trong việc chuyển từ đồ thị sang biểu thức
hàm số đối với hàm số bậc nhất và bậc hai.
Luận văn thạc sĩ của Phan Tấn Phú về “Mô hình hóa trong dạy học hàm số:
Vấn đề tìm một mô hình hàm tử bảng giá trị”
Với nghiên cứu này, tác giả Phan Tấn Phú đã tìm hiểu về kỹ năng chuyển từ bảng
số sang biểu thức hàm số. Trong luận văn, chúng tôi tìm thấy phân tích thể chế về việc
xử lý bảng số liệu trong SGK Vật Lý 10 và hàm số biểu đạt bằng bảng.
hàm số nào? Vấn đề này được đặt ra một cách tường minh hay ngầm ẩn
đối với học sinh?
-
Tìm cách xây dựng một thực nghiệm nhằm:
• Hình thành cho học sinh kỹ thuật tìm mô hình toán học cho một vấn đề
của thực tiễn cũng như tìm một hàm số xấp xỉ cho tương quan hàm ấy.
• Thực hiện việc dạy học MHH.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Câu hỏi nghiên cứu ban đầu của chúng tôi được trình bày như sau:
Q 1 : Trong toán học, kỹ thuật nào cho phép thực hiện kiểu nhiệm vụ (KNV) tìm
biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số) trong một khoảng nào đó khi biết
hữu hạn điểm của hàm số? Nếu có, nó xuất phát từ nhu cầu nào của toán học và lĩnh
vực ngoài toán học?
Q 2 : Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho
trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học
5
nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được
thể chế quan tâm đến khi xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với
sách giáo khoa của Mỹ?
Q 3 : Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng thế nào đến học sinh khi được đặt trước
những kiểu nhiệm vụ liên quan đến tìm biểu thức xác định hàm số đặc biệt khi những
kiểu nhiệm vụ đòi hỏi phải có mặt sự MHH.
Để trả lời được những câu hỏi trên chúng tôi xin dựa vào khung lý thuyết tham
chiếu là: Thuyết Nhân học, Lý thuyết tình huống. Các khái niệm này đã được trình bày
Thực nghiệm nhằm triển khai tình huống MHH trong dạy hàm số ở lớp 12.
Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3
của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.
7
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Mục tiêu của chương này là:
Tìm hiểu về dạy học MHH và sự cần thiết của việc dạy học MHH.
Tìm hiểu những kết quả đạt được của một số nghiên cứu về MHH trong dạy học
hàm số.
Tổng kết lại vấn đề tìm một hàm số xấp xỉ trong toán học, các kiểu nhiệm vụ
cũng như kỹ thuật trong các công trình liên quan.
Để thực hiện được mục tiêu đề ra, chúng tôi buộc phải tham khảo thật kỹ các tài
liệu sau đây:
-
Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống hổ trợ quá trình toán học
hóa – Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số
48(62)/KHGD
-
Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng
biến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí
khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 28(62)/KHGD
-
8
Kết quả của chương này sẽ đóng vai trò là cơ sở phương pháp luận và là nền tảng
tri thức để chúng tôi trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu cũng như hướng đi cho những
phân tích ở chương sau:
1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán
1.1.1. Khái niệm mô hình hóa
1.1.1.1. Khái niệm mô hình hóa
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH toán học là sự giải thích toán học cho một
hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt
ra trên hệ thống này.
1.1.1.2. Quá trình mô hình hóa toán học
Quá trình MHH một hệ thống ngoài toán học đã được Coulange tóm tắt bằng một
sơ đồ, trong đó bước 1 được tác giả đặt tương ứng với bước chuyển từ lĩnh vực ngoài
toán học vào lĩnh vực phỏng thực tế. Mô hình này được tác giả Lê Văn Tiến mô phỏng
lại trong Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông. Chúng tôi xin mô phỏng
lại như sau:
Phạm vi ngoài toán
Hệ thống hay tình huống ngoài toán
Câu hỏi trên hệ thống này
(Bài toán thực tiễn)
Câu trả lời cho BT thực tiễn
Câu trả lời cho bài toán
phỏng thực tiễn
Bài toán phỏng thực
“Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán còn nhắm đến
một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa
và dạy học bằng mô hình hóa”
(Lê Văn Tiến (2005), tr.171).
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến vấn đề dạy học
MHH. Và quá trình MHH toán cho một vấn đề thực tiễn thường trải qua các bước:
“Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ
toán học cho mô hình định tính. Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái
của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và hệ số điều khiển hiện tượng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai.
Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trong phần này phải xác
định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế”
(Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr. 8-9).
Ở bước 4 trên có thể xảy ra một hai khả năng:
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
Khi đó cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật
toán đã sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2: mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.
Trường hợp này ta phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau:
-
Các kết quả ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không?
10
nhưng làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất đi
nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ
không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp
với tri thức được đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô
hình toán học phù hợp hay không?
Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho phép
khắc phục khuyết điểm này.Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ được hình thành từ quá
11
trình nghiên cứu thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết
vấn đề.Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH.
Như vậy, dạy học mô hình hoá và dạy học bằng MHH là con đường để nâng cao
năng lực hiểu biết toán cho học sinh.Như vậy, để đạt được mục đích dạy toán thì cần
thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học.
1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán
Đầu tiên chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: chuyển đổi didactic, quan hệ thể
chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học.
Các đối tượng mà chúng tôi xem xét trong luận văn này là “Tìm hàm số xấp xỉ với
tương quan hàm ban đầu” và “vấn đề MHH” trong dạy học hàm số ở bậc Trung học
phổ thông mà chủ yếu là lớp 12. Chúng tôi xin gọi đó là Vấn đề MHH trong việc “Tìm
hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu”. Các tài liệu được xem xét ở đây là sách
giáo khoa hàm số ở Giải tích lớp 12 theo chương trình, SGK hiện hành và quyển sáchJames Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole.
Quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức O là một khái niệm cơ bản của Thuyết
nhân học trong didactic toán. Nó phản ánh quá trình nảy sinh, tồn tại và phát triển của
O trong I. Trong Thuyết nhân học còn có khái niệm trường sinh thái của đối tượng O,
cho biết vai trò, chức năng, nơi lưu trú, điều kiện để O tồn tại và phát triển. Tổ chức
toán học là một khái niệm khác của Thuyết nhân học, được dùng để nghiên cứu quan
hệ thể chế với đối tượng O.
…
xn
y0
y1
…
yn
Tìm đa thức nội suy bậc n có dạng
Pn ( x ) = a0 + a1 x + + an x n
thỏa mãn Pn ( xi ) = yi với mọi i từ 0 đến n. Người ta chứng minh được đa thức này là duy nhất
và được tính bởi công thức:
n
Pn x = ∑ yi Li x
i =0
()
()
với
()
( x − x0 )( x − x1 ) ...( x − x i−1 )( x − x i+1 ) ...( x − x n ) ,i 0,n
=
( xi − x0 )( xi − x1 ) ...( x i − x i−1 )( x i − x i+1 ) ...( x i − x n )
n
-
Lập đa thức nội suy Lagrange : L n ( x ) := ∑ y i l i ( x )
i=0
Công nghệ: phương pháp nội suy Lagrange.
(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.15)
KNV2: Hàm số f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f
tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào.
Kỹ thuật
-
Gọi Pn ( x ) := a0 + a1x + ... + an x n ,an ≠ 0 , là đa thức nội suy của f.
-
Thay giá trị của (n + 1) nút (x i , yi ), i = 0, 1, …, n vào P n (x) để tìm các hệ
số a i .
-
Sau đó thay giá trị đã cho của x vào P n (x) để có giá trị của f tại x.
Ở đây, có một lưu ý rất quan trọng rằng
a. Quỹ đạo của hòn đá.
b. Thời gian chuyển động của hòn đá (từ lúc ném đến lúc chạm đất)”
(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.19)
O
y
x
x
N
h
H
M
y
Lời giải: Lời giải sau thu được từ việc sử dụng kỹ thuật τ QT
15
“Ta thấy hòn đá chịu tác động của hai lực: trọng lực p hướng xuống và chuyển động theo
phương nằm ngang với vận tốc v 0 . Chuyển động này có hai thành phần kéo xuống và kéo ngang nên
chuyển động tổng hợp của hòn đá sẽ là chuyển động cong trong mặt phẳng đứng chứa v 0 . Để giải
Thay vào (2), ta có: y =
g 2
x
2v20
Vì x > 0,y ≤ h nên quỹ đạo của hòn đá chỉ là nhánh parabol OM
b. Khi hòn đá chạm đất y = h. Gọi
=
τ
2h
=
g
τ là thời gian chuyển động của hòn đá. Từ (2) suy ra:
2.25
= 2, 26 (s) ”
9, 81
(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.20)
1.6. Kết luận chương 1
Các kết quả đã đạt được trong nghiên cứu chương 1.
- Xét các KNV liên quan đến việc tìm biểu thức giải tích của hàm số: có hai kiểu
nhiệm vụ
KNV 1 : Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho
nó nhận giá trị yi tại x = x i , với i = 0, 1, 2, …, n)
cụ thể. Học sinh chỉ cần nhớ các công thức và thay các dữ kiện cần thiết vào.
Những kết quả đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích sách
giáo khoa mà chúng tôi sẽ thực hiện ở chương
17
Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ
Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi
Q 2 : Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho
trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học
nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK
Mỹ?
Hay cụ thể hơn nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ: Các KNV liên quan
đến tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước. Bên
cạnh đó, các KNV có liên quan sẽ giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối
tượng tri thức này.
Tài liệu chúng tôi dùng để phân tích
1. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương và Cấn Văn Tuất (2007).
Giải tích 12. NXB Giáo dục. (kí hiệu M C )
2. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên
(2007). Giải tích 12 Sách giáo viên. NXB Giáo dục.
3. Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên
(2011). Bài tập Giải tích 12. NXB Giáo dục Việt Nam.
4. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,
Đăng Hùng Thắng (2007). Giải tích 12 (nâng cao). NXB Giáo dục. (kí hiệu
MN)
5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,
Đăng Hùng Thắng (2007). Giải tích 12 (nâng cao) Sách giáo viên. NXB
Giáo dục.
trình mô hình hóa…đây chính là các bước 1, bước 2 và bước 3 điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa
có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10”.(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.47)
Như vậy, vấn đề MHH có mặt trong dạy học hàm số ở lớp 10 nhưng theo chúng tôi
nó chưa được quan tâm đúng mực và chưa thể hiện được những mục tiêu mà chương
trình đặt ra
“Về thực tiễn, học sinh thấy được rằng: Toán học là môn khoa học trừu tượng, nhưng các vấn đề
toán học nói chung cũng như vấn đề hàm số nói riêng lại thường được xuất phát từ việc nghiên cứu
các bài toán thực tế.”(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.28)
Nhận xét: chúng tôi thấy rằng có bước tiến triển trong việc dạy học MHH hàm số.
Nếu như ở sách giáo khoa Toán lớp 9 “vấn đề mô hình hóa toán học đã không được
tính đến” thì sang sách giáo khoa Toán lớp 10 “vấn đề mô hình hóa có mặt…nhưng nó
Copyright: Tài liệu đại học ©