BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phan Quang Thắng

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phan Quang Thắng

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa
Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư

SGKNC

:

Sách giáo khoa nâng cao 12.

GTLN

:

Giá trị lớn nhất .

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu: .....................................................1
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: .............................................................................2
2.1. Lý thuyết nhân chủng học: ...........................................................................2
2.2. Hợp đồng didactic: .......................................................................................4
3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu: ...................................6
4. Phương pháp nghiên cứu:....................................................................................6
5. Cấu trúc của luận văn: .........................................................................................6

3.2.2. Phân tích a priori : ...................................................................................58


3.2.2. Phân tích a posteriori : ............................................................................64
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................71
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................72
PHỤ LỤC ..................................................................................................................73
Phụ lục 1: Phiếu xin ý kiến của giáo viên .............................................................73
Phụ lục 2: Bài toán thực nghiệm học sinh.............................................................74


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu:
Khi nghiên cứu khái niệm cực trị của hàm số được trình bày trong sách giáo khoa
nâng cao 12 (SGKNC), chúng tôi thấy SGKNC đã đưa ra bài toán tìm cực trị của
hàm số f ( x ) = x . Để tìm cực trị của hàm số này, SGKNC đã trình bày như sau:
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

− x vôùi x < 0
Ta có f ( x ) = 
 x vôùi x ≥ 0

−1 vôùi x < 0
Do đó f '( x ) = 
1 vôùi x > 0
(Hàm số f không có đạo hàm tại x = 0 )
Sau đây là bảng biến thiên :

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là f(0)=0.
(trang 15)

-1

1

2

3

4

-1
-2
-3
-4

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do thuật toán tìm cực trị mà SGKNC đã đưa ra
chỉ áp dụng được đối với lớp các hàm số liên tục. Trong khi đó hàm số
2
− x vôùi x < 0
không liên tục tại x = 0 nên không thuộc phạm vi hợp thức
f (x) = 
− x − 1 vôùi x ≥ 0

của thuật toán.
Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã đặt ra câu hỏi xuất phát:
- Sách giáo khoa giải quyết ra sao khi tìm cực trị của hàm số không liên tục và học
sinh có những công cụ gì để giải quyết các bài toán tìm cực trị của hàm số không
liên tục?.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu:
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu
R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O)
cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, …
Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các
ràng buộc của R (I, O).
Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan
hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ
để thực hiện công việc đó.
• Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây
dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan
điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.


Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong
đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ
giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của
công nghệ θ .
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ
chức toán học (organisation mathématique).
Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối
tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán
học gắn liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một
tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này]
phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định”
Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán
học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá
nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì:

– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống
mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.
– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ
mong đợi ở học sinh.
• Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:
– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
– Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức.
– Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK.
Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử
dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng
tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ
tiến hành.
Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của “Lý thuyết nhân chủng
học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” theo chúng tôi là thỏa đáng.


3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu:
Trong phạm vi didactic với các lý thuyết đã chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi
nghiên cứu như sau:
Q1: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào ở bậc
đại học ?
Q2: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong
chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành ?
Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng dạy học được hình thành từ thể chế ?
Nghiên cứu này nhằm giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi đã nêu ở trên.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu các giáo trình đại học về khái niệm cực trị hàm một biến để trả lời câu
hỏi Q1.
- Phân tích chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành để trả lời cho câu
hỏi Q2 và Q3.

thức trình bày trong các tác phẩm dùng ở bậc đại học thường không phải là quá lớn.
Giáo trình đại học được chọn để tham khảo trong chương này là :
•

Giải tích toán học, tập 1, Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn,
Nhà xuất bản giáo dục, 1987.

Lí do chúng tôi chọn giáo trình này là vì đây là giáo trình giải tích cổ điển được sử
dụng nhiều trong các trường đại học sư phạm cũng như trong các trường đại học
tổng hợp trước đây.
Để thuận tiện cho việc trình bày, giáo trình này sẽ được chúng tôi kí hiệu là [a].
1.1. Khái niệm cực trị của hàm một biến:
Giáo trình [a] định nghĩa cực trị địa phương như sau:
Cho hàm số f ( x) xác định trong khoảng (a; b) . Ta bảo rằng tại điểm c ∈ (a; b)
hàm f ( x) có cực đại địa phương nếu tồn tại h > 0 đủ nhỏ sao cho với mọi
x ∈ (c − h; c + h) và x ≠ c , ta có:
f ( x ) < f (c )

Cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự. Các điểm cực đại địa
phương hay cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương.
(trang 153;154)
Như vậy hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c ∈ (a; b) là
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên lân cận (c − h; c + h) của điểm đó.


Điểm cực đại địa phương được giáo trình [a] minh họa bằng đồ thị, qua đồ thị
chúng ta có thể nhận thấy đó là điểm cao nhất của đồ thị hàm số trong lân cận
(c − h; c + h) của điểm c .

Liên quan đến cực trị địa phương tại những điểm hàm số khả vi (có đạo hàm), giáo

đạo hàm thì điểm x = x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số.
(trang 180;181)
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị địa phương được giáo trình [a] nêu thông qua hai
định lí:
Định lí 1:(trang 181)
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm x0 , có đạo
hàm trong lân cận đó (có thể trừ điểm x = x0 ) và x0 là một điểm tới hạn của
hàm số.
1. Nếu f '( x) đổi dấu khi đi qua điểm x0 thì hàm số có cực trị địa phương tại
điểm đó.
Hơn nữa, nếu f '( x) > 0 với x < x0 và f '( x) < 0 với x > x0 thì y = f ( x) có cực đại địa
phương tại x0 . Nếu f '( x) < 0 với x < x0 và f '( x) > 0 với x > x0 thì y = f ( x) có cực
tiểu địa phương tại x0 .
2. Nếu f '( x) > 0 (hoặc f '( x) < 0 ) khi x > x0 và x < x0 thì hàm số y = f ( x) không có
cực trị địa phương.


Theo giáo trình [a], định lí 1 cho ta cách tìm cực trị địa phương tại điểm dừng hoặc
trong trường hợp hàm số không có đạo hàm tại hữu hạn điểm và định lí chỉ áp dụng
trong phạm vi các hàm số liên tục.
Sau đó giáo trình [a] đưa ra hai thí dụ về tìm cực trị địa phương của hàm số:
2

Thí dụ 1:(trang 182) Tìm cực trị của hàm số f=
( x) x 3 ( x − 5)
Đạo hàm của hàm số này là:
2
3

2 − 13


0

+

Theo định lí vừa nêu, tại x = 0 hàm số có cực đại địa phương, tại x = 2 hàm số
có cực tiểu địa phương.
Giáo trình [a] minh họa điểm cực trị của hàm số trong thí dụ này bằng đồ thị:


Qua đồ thị minh họa này chúng tôi nhận thấy, nếu hàm số đạt cực trị tại điểm dừng
thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó song song với trục hoành. Nếu hàm số
đạt cực trị tại điểm không có đạo hàm thị đồ thị của hàm số tại điểm đó bị “gãy”.
Thí dụ 2:(trang 183) Tìm cực trị của hàm số f ( x=
) ( x − 1)3
Đạo hàm của hàm số này là:

f '(=
x) 3( x − 1) 2
Tại điểm x = 1 đạo hàm triệt tiêu nhưng vì f '( x) luôn luôn dương với mọi
x ≠ 1 nên hàm số không đạt cực trị tại bất cứ điểm nào. Hàm số tăng nghiêm

ngặt trên toàn trục số.
Cực trị địa phương chỉ đạt tại các điểm tới hạn của hàm số. Muốn tìm cực trị địa
phương của hàm số ta cần phải xét dấu đạo hàm bậc nhất. Nếu đạo hàm đổi dấu từ
+ sang - khi qua x0 thì hàm số đạt cực đại địa phương tại x0 ; nếu đạo hàm đổi dấu
từ - sang + khi qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu địa phương tại x0 ; nếu đạo hàm
không đổi dấu khi qua x0 thì hàm số không đạt cực trị địa phương tại x0 . Thông
qua thí dụ 2, giáo trình [a] đã cho thấy một phương pháp tìm cực trị, đó là sử dụng
tính đơn điệu của hàm số.

Tuy nhiên có nhưng hàm số có đạo hàm mọi cấp tại một điểm, nhưng tại điểm này
mọi đạo hàm đều triệt tiêu. Trong trường hợp này, định lí 2 không cho ta kết luận gì
về sự tồn tại của cực trị tại điểm đó. Giáo trình [a] đã đưa ra ví dụ:

 − 12
 x
f ( x ) = e
0

vôùi x ≠ 0
vôùi x = 0

Hàm số này có đạo hàm mọi cấp bằng không tại điểm x = 0 . Định lí 2 không cho
biết gì về cực trị của hàm số nhưng ta thấy ngay nó có cực tiểu tại x = 0 vì

f ( x ) > 0 ∀x ∈ R \ {0} .
Đối với lớp hàm không liên tục, chúng tôi không tìm thấy thuật toán tìm cực trị
trong giáo trình này.
Về cực trị tuyệt đối, giáo trình [a] đã nêu định lí về sự tồn tại GTLN, GTNN của
hàm số liên tục trên một đoạn:
Định lí Vâyest’rat thứ hai:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó.
(trang 125)


Thuật toán tìm cực trị tuyệt đối đối với lớp các hàm số liên tục được nêu như sau:
1. Tìm tất cả các cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số liên tục y = f ( x) trên
đoạn [a; b] .
2. Tính giá trị của hàm số y = f ( x) tại các đầu mút của đoạn [a; b] (tức là tính
f (a ) , f (b) ).

Kĩ thuật τ 1ĐH1 : (sử dụng đạo hàm bậc nhất)
- Tính f '( x ) . Tìm các điểm tới hạn.
- Xét dấu đạo hàm và kết luận cực trị.
Công nghệ θ13 : Định lí 1 về điều kiện đủ để hàm số có cực trị địa phương.
2
3

Thí dụ 1:(trang 182) Tìm cực trị của hàm số f=
( x) x ( x − 5)
Kĩ thuật τ 1ĐHC : (sử dụng đạo hàm bậc cao)
- Tính f '( x ) . Tìm điểm dừng x0 của hàm số.
- Tính f ''( x0 );...; f ( n−1) ( x0 ); f ( n ) ( x0 ) .
- Nếu f ''( x0 =
) ...= f ( n−1) ( x0 =
) 0; f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 thì:
+ n lẻ: hàm số không có cực trị đại phương tại x0 .
+ n chẵn: hàm số đạt cực trị địa phương tại x0 . Hơn nữa, nếu f ( n ) ( x0 ) > 0 thì
hàm số đạt cực tiểu địa phương tại x0 , nếu f ( n ) ( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại địa
phương tại x0 .
Công nghệ θ14 : Định lí 2 về điều kiện đủ để hàm số có cực trị địa phương.
Thí dụ 1: (trang 184) Xét hàm số f ( x) =e x + e − x + 2cos x có đạt cực trị tại điểm
x = 0 hay không?

Thí dụ 2: Hàm số f ( x) = x3 có đạo hàm đến cấp hai triệt tiêu tại x = 0 ; nhưng

f '''(0)= 6 > 0 nên f ( x) = x3 không có cực trị tại x = 0 .
Kiểu nhiệm vụ T2 : “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x)
liên tục trên đoạn [a; b] ”
Kĩ thuật τ 2 :
- Tìm các điểm cực trị địa phương của hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và tính giá trị

của hàm số. Nó chỉ được giáo trình [a] đưa vào nhằm mục đích minh họa cho
định nghĩa và các bài toán về cực trị địa phương.
 Đối với lớp các hàm số không liên tục, thuật toán tìm cực trị không được
trình bày. Giáo trình [a] chỉ quan tâm tới lớp các hàm số liên tục.


Chương 2
QUAN HỆ THỂ CHẾ
VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Toán ở lớp 12
với khái niệm cực trị của hàm số. Cụ thể chúng tôi sẽ làm rõ và giải quyết các vấn
đề đã đặt ra trong phần mở đầu:
Q2: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong
chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành?
Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng dạy học được hình thành từ thể chế ?
2.1. Khái niệm cực trị của hàm số trong chương trình toán lớp 12 hiện hành:
Cực trị của hàm số được đưa vào giảng dạy ở chương ứng dụng của đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của giải tích lớp 12 sau khi học sinh đã được học xong
chương đạo hàm ở lớp 11. Chương này gồm các bài:
- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Cực trị của hàm số.
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Đường tiệm cận.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Như vậy bài cực trị của hàm số học sinh được học sau bài sự đồng biến và nghịch
biến của hàm số. Công cụ để học sinh xét cực trị của hàm số là đạo hàm. Đồ thị của
hàm số được giảng dạy ở bài cuối của chương, và được sử dụng để xét các bài toán
về sự tương giao giữa hai đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình. Đối với cực
trị của hàm số, đồ thị chỉ đóng vai trò minh họa hình ảnh cho điểm cực trị được đưa
ra trong khái niệm.

nhật có diện tích 48 m 2
(trang 179)
Đây là hai ví dụ về tìm GTNN, GTLN của hàm số trên khoảng và đoạn. Trong các
ví dụ này, hàm số cũng liên tục trên khoảng, đoạn được xét. Việc tìm GTLN,
GTNN của hàm số không liên tục trên khoảng đoạn không được chương trình nhắc
đến.
Những trích dẫn trên cho thấy chương trình đã không nói gì về việc hàm số mà học
sinh cần xét cực trị hay tìm GTLN, GTNN có liên tục hay không. Hơn thế, việc các


ví dụ chỉ được đặt trên các hàm số liên tục khiến chúng tôi tự đặt ra câu hỏi : liệu
các hàm số không liên tục có được xem xét hay không? Để trả lời, chúng tôi phải
phân tích sách giáo khoa.
2.2. Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa chuẩn:
Chúng tôi sẽ lần lượt xét sự có mặt của đối tượng O – “cực trị của hàm số” trong
phần lý thuyết và phần bài tập.
2.2.1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Trước khi đưa ra khái niệm cực trị của hàm số, sách giáo khoa chuẩn 12 (SGKC) đã
đưa ra hoạt động 1: (trang 13)
Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất):
a) y =
− x 2 + 1 trong khoảng (−∞; +∞)
b)=
y

3
1 3
x
( x − 3) 2 trong các khoảng ( ; ) và ( ;4)