BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vũ Thị Thùy Trang
MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG
VÀ SAI SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vũ Thị Thùy Trang
MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG
VÀ SAI SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG
GV
: giáo viên
GT
: giáo trình
HS
: học sinh
MTBT
: máy tính bỏ túi
SBT
: sách bài tập Đại số 10
SGK ĐS10 CB
: sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản.
SGK ĐS10 NC
: sách giáo khoa Đại số 10 ban nâng cao.
SGV ĐS10 CB
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát..................................................................... 1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ................................................................................................ 2
3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn..................................................................... 5
Chương 1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC
HỌC ...................................................................................................................... 7
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
Nguồn gốc của sai số ................................................................................................. 7
Sai số tuyệt đối và sai số tương đối .............................................................................. 9
Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn ......................................................................... 11
Cách viết số gần đúng ................................................................................................. 11
Quy tắc làm tròn số ..................................................................................................... 12
Sai số của các phép toán ............................................................................................. 13
Các kiểu nhiệm vụ ...................................................................................................... 15
Chương 2. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ........................................................................... 19
2.1.
2.2.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát
Trong quá trình tính toán và đo đạc, các con số đạt được không phải lúc nào cũng là
một số chính xác. Các số liệu trong thực tế thông thường đều là những số gần đúng,
ví dụ: khoảng cách từ điểm này đến điểm kia, từ nơi này đến nơi khác; độ dài đường
chéo của một hình vuông có cạnh là một số nguyên bất kỳ; số pi (𝜋) là cách biểu
diễn của một dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn, gần bằng 3,1416. Và khi sử
dụng số gần đúng, ta cần biết được sai số mắc phải là bao nhiêu, để có thể đánh giá
được tính chính xác và độ tin cậy của nó. Với mỗi số gần đúng, ta sẽ có một sai số
khác nhau. Và vấn đề là ta phải làm như thế nào để sai số mắc phải càng nhỏ càng
tốt. Vì thế, chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của số gần đúng và sai số trong
thực tế cuộc sống cũng như trong Toán học.
Do đó, khái niệm số gần đúng và sai số được đưa vào sách giáo khoa như một đối
tượng toán học cụ thể; sau đó nó trở thành công cụ trong việc giải các bài toán tính
gần đúng, chẳng hạn tính gần đúng diện tích, thể tích và giải tam giác. Nó làm cơ sở,
là một trong những " nền móng" cho toàn bộ chương trình Toán phổ thông và được
ứng dụng rộng rãi trong các liên môn như Vật lý, Hóa học, Địa lý, … Tuy nhiên,
thực tế những năm qua cho thấy đối tượng số gần đúng và sai số chưa được coi trọng
đúng mức cần thiết. Các kì thi tốt nghiệp, thi vào đại học, đề thi chưa bao giờ hỏi
trực tiếp đến mảng kiến thức này. Điều đó khiến cho đối tượng này dường như bị
xem nhẹ. Trong thực tế, một bộ phận không nhỏ học sinh (HS) hiện nay không tránh
khỏi suy nghĩ: " Phải chăng việc đưa khái niệm số gần đúng và sai số vào sách giáo
khoa (SGK) chỉ để cho biết mà không có ứng dụng gì nhiều?" .
Bên cạnh đó, hiện nay nhiều trường trung học phổ thông (THPT) ở Việt Nam không
còn đưa nội dung về số gần đúng và sai số vào chương trình giảng dạy. Vậy nên
chúng tôi tự hỏi:
-
Nếu giảm tải hoàn toàn nội dung về số gần đúng và sai số, thì học sinh có
hiểu gì về số gần bằng với một số, những khái niệm có liên quan và cách
[2, tr.112].
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tập trung vào
việc vận dụng lý thuyết Didactic Toán, cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học và
Hợp đồng Didactic. Chúng tôi sử dụng Lý thuyết nhân chủng học để tìm hiểu
quan hệ thể chế của đối tượng số gần đúng và sai số trong sách giáo khoa Đại số
10 và sử dụng lý thuyết Hợp đồng Didactic nhằm đưa ra các giả thuyết. Từ đó,
chúng tôi có thể xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đồng thời xây
dựng tình huống phá vỡ hợp đồng.
3
a) Lý thuyết nhân chủng học
Quan hệ thể chế:
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể
chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có
vai trò gì, trong I ?
Quan hệ cá nhân:
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá
nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao
tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình
thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O,
quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn
trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).
Tổ chức toán học:
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán
học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả
và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã
– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ
mong đợi ở học sinh.
Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:
– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
– Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức.
– Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo
khoa.
Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri
thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc
sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của
tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định
được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu
chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc
vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic. Bất
kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so
với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là
5
quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương
lượng với giáo viên.
Theo Brousseau (1986), sự thương lượng này tạo ra một thứ kiểu hoạt động mà
những quy tắc ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa
ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ
sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.
Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho
tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể
hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà
được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những
“ Những sai số này sinh ra một phần do con người, một phần do các dụng cụ đo đạc
không chính xác tuyệt đối. . . . Khi các nhà thiên văn thực hiện cùng một phép đo 10
lần, 100 lần, nhưng họ không bao giờ nhận được cùng một kết quả. Đặc biệt, trong
các trường hợp quan sát gián tiếp, chẳng hạn như đo khối lượng của một ngôi sao
thì kết quả thu được chỉ thông qua các phương trình trung gian dựa trên rất nhiều
sự đo đạc các biến tự nhiên. „ [6, tr.8-9].
8
Mặc dù con người đã cố gắng cải thiện nhưng sai số vẫn tồn tại. Điều này khiến cho
các nhà khoa học bắt đầu quan tâm đến sai số để có thể tìm ra những phương tiện
cho phép tính toán các đo đạc cùng một hiện tượng và để hạn chế thấp nhất có thể sai
số cuối cùng trên giá trị chính xác của hiện tượng.
Việc nghiên cứu số gần đúng gắn liền với khái niệm sai số. Căn cứ vào nguyên nhân,
có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp và sai số tính toán.
1.1.1. Sai số giả thiết
Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hóa bài toán thực tiễn để thiết lập mô hình toán
học có thể giải được.
“ Là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều
kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán. Do mô hình toán học không
thể biểu diễn đúng như cái vốn có của vấn đề trong thực tế. Đây là khoảng cách
giữa lí thuyết và hiện thực. Sai số này là không tránh khỏi. “ [5, tr.10].
1.1.2. Sai số số liệu
Sai số số liệu hay còn gọi là sai số của số liệu ban đầu.
“ Là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính
xác. Các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm do đó có sai số. Ví dụ như
việc đo chiều dài cây cầu được đề cập đến trong bài viết “ Chính xác toán học và
chính xác thực nghiệm” trên trang web: http://statistics. Vn:” [5, tr.11].
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Khái niệm sai số tuyệt đối được trình bày trong các giáo trình theo hai quan điểm.
Chúng tôi tạm gọi cách định nghĩa thứ nhất là theo quan điểm " Bất đẳng thức" như
sau:
" Nếu a* là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a*
thì sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng a là đại lượng ∆a sao cho
|𝑎∗ − 𝑎| ≤ ∆𝑎 . Vậy 𝑎 − ∆𝑎 ≤ 𝑎 ∗ ≤ 𝑎 + ∆𝑎 . Ta thường ghi: 𝑎∗ = 𝑎 ± ∆𝑎 " . [5, tr.12]
Và cách định nghĩa thứ hai theo quan điểm " Đẳng thức" : gọi a là số xấp xỉ của số
đúng A.
" Trị tuyệt đối |𝐴 − 𝑎| gọi là sai số tuyệt đối của a" . [5, tr.13].
Theo Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh lí giải: do không biết số đúng A nên không
xác định được sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a. Vì vậy, cùng với sai số tuyệt đối, giáo
trình này đưa vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn ở trang 7:
" |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎
Số dương Δa này gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. " [7, tr.7].
Đồng thời, nó cũng đưa ra quy ước:
" Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Δa thì ta quy ước viết
A=a±Δa" [7, tr.7].
Ngoài ra, giáo trình còn giải thích thêm ở trang 7: " a – Δa ≤A≤ a – Δa" . Ở đây, sai số
tuyệt đối giới hạn trong Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh chính là sai số tuyệt đối
10
trong Phương pháp số của Hoàng Xuân Huấn. Về phương diện toán học, nếu dấu "="
trong |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎 xảy ra thì sai số tuyệt đối giới hạn chính là sai số tuyệt đối. Trên
≈
|𝑎−𝐴|
|𝐴|
"
gọi là sai số tương đối của a (so với A)" . Ngoài ra, sai số tương đối
giới hạn của số xấp xỉ a được trình bày như sau, kí hiệu a
" Ta gọi tỉ số: a
a
a
gọi là sai số tương đối giới hạn của a. " [5, tr.15].
11
Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn
1.3.
1.3.1. Chữ số có nghĩa
Các giáo trình đều có cùng nhận định: Những chữ số có nghĩa của một số là những
chữ số của số đó kể từ những chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải.
1.3.2. Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin)
Có hai định nghĩa chữ số chắc chắn thường xuất hiện trong các giáo trình đại học.
Định nghĩa 1:
Các giáo trình đại học tôn trọng 2 cách viết số gần đúng:
Cách thứ nhất là viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a±Δa hoặc
A=a(1 ±𝛿 a)
Cách viết trên thường được dùng trong tính toán hoặc phép đo.
Cách thứ hai là viết số xấp xỉ theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là những chữ số
đáng tin.
Trong các bảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác,. . .
người ta viết các số gần đúng theo cách thứ hai. Như vậy, ở đây việc viết số gần
đúng rất nghiêm ngặt, nghĩa là, nếu viết không kèm theo độ chính xác thì phải theo
quy ước mọi chữ số của số gần đúng phải là chữ số chắc chắn. Cách viết thứ hai còn
được bổ sung thêm các chú ý như sau:
" Ghi chú:
i) Khi viết một số nguyên gần đúng, nếu không ghi độ chính xác, thì tất cả các chữ
số 0 đứng bên phải chữ số khác không cuối cùng là số 0 không có nghĩa.
12
Thí dụ: Khi viết một vật cân nặng 2500 kg thì số 2500 có hai chữ số có nghĩa là 2, 5.
Còn nếu viết: một vật cân nặng 2500 kg (chính xác đến hàng chục) thì số 2500 có ba
chữ số có nghĩa là 2, 5, 0.
ii) Khi viết số thập phân gần đúng thì ở phần thập phân ta chỉ viết các chữ số 0 có
nghĩa.
Thí dụ: Khi viết 1 vật cân nặng 24,30 tạ thì số này có bốn chữ số có nghĩa. "
[5, tr.17]
1.5.
Quy tắc làm tròn số
Tùy từng giáo trình mà có hoặc không đề cập đến cách chứng minh công thức
xác định sai số của hàm số khi biết sai số của các đối số, tuy nhiên, tất cả các giáo
trình đều giới thiệu quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép toán. Theo [5], tác
giả đã tóm tắt lại các quy tắc xác định sai số trong các giáo trình tham khảo như sau:
Sai số tuyệt đối (sai số tuyệt đối giới hạn) của tổng đại số bằng tổng đại số của
các sai số (sai số tuyệt đối giới hạn).
∆𝑥±𝑦 = ∆𝑥 + ∆𝑦
Sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của một tích hoặc một thương bằng
tổng của các sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của các thừa số.
𝛿𝑥.𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
Đối với 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 ∈ 𝑄, 𝑥 > 0), khi đó y x
-
Nếu α >1 (phép luỹ thừa) thì y x do đó độ chính xác giảm.
-
Nếu 0
Ví dụ:
-3
-3
√7 ≈ 2,646± 0,25. 10 và 3,142 ± 0,41. 10 , khi đó,√7 + 𝜋 ≈ 5,788 có độ
chính xác là 0,66. 10-3 nên chữ số thập phân thứ ba không phải là chữ số chắc chắn.
Phép nhân
x1 a1 1.10 n , x2 a2 2 .10 n trong đó 0 1 , 2
Sai số tương đối của x1, x2 là: 1
1.10 n
x1
,
2
1
2
2 .10 n
x2
Sai số tương đối của tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số, do đó, sai
số tương đối của x1. x2là: 1 2
2 .10 n
x2
2
Sai số tương đối của x là: 1
x2
x1
2
Sai số tương đối của thương bằng tổng các sai số tương đối các thừa số, do đó, sai số
2 .10 n 1.10 n
x1
tương đối của x là: 1 2
x
x1
2
2
x1 . x2 1 2
n
n
x1 2 .10 n 1.10 n x1 2 .10 x1 1.10 x2
2
x2 x2
hơn hoặc bằng 5.
Công nghệ - Lý thuyết: Quy tắc làm tròn số.
Ví dụ: [8, tr.13]
Làm tròn các số sau đến 3 chữ số có nghĩa: a. 2,1514 b. 0,16152 c. -392,85
Giải: a. 2,1514≈ 2,15 b. 0,16152 ≈ 0,162 c. -392,85 ≈ -393
b. Tt: Thực hiện phép tính với các số gần đúng.
Kỹ thuật:
-Đưa các số cần tính về số thập phân
-Làm tròn các số thập phân đó
-Thay các số thập phân gần đúng vào công thức tính toán cuối cùng.
Công nghệ - Lý thuyết: " Sai số tương đối giới hạn của hiệu lớn hơn sai số tương đối
giới hạn của số trừ và số bị trừ khoảng 5000 lần. Vì vậy, khi tính toán người ta thường cố
16
gắng tránh phép trừ hai số dương có giá trị bằng nhau bằng cách biến đổi biểu thức của
hiệu (trong trường hợp có thể được). " [2, tr.14)]
Ví dụ: [2, tr.14]
Tính hiệu u = √2,01 − √2 với 3 chữ số đáng tin.
Giải: Vì √2,01 = 1,41774469… ; √2 = 1,41421356…
Nên ta có thể xem √2,01 = 1,41774 ; √2 = 1,41421 và u = 0,00353.
Có thể thu được kết quả trên mà chỉ cần lấy √2,01 ≈ 1,42 ; √2 ≈ 1,41
Nếu viết hiệu u dưới dạng:
u=
(√2,01−√2)(√2,01+√2)
√2,01+√2
d. TƯLSS: Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của các phép toán với số
gần đúng.
Kỹ thuật:Tìm d sao cho |𝐴 − 𝑎| ≤ 𝑑.
Công nghệ - Lý thuyết:Định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối giới
hạn.
Ví dụ: [3, tr.4]
Căn phòng có chiều dài d = 5,45m và chiều rộng r = 3,94m với sai số 1cm. Hãy ước
lượng sai số tuyệt đối của diện tích căn phòng.
Giải: Khi đó, ta hiểu là: ∆𝑑 = 0,01m hay d = 5,45± 0,01m
17
∆𝑟 = 0,01m hay r = 3,94± 0,01m
Như vậy diện tích của phòng được ước lượng bởi
S = d. r = 5,45. 3,94 = 21,473 m2
Với cận trên và cận dưới của S là:
(5,45 – 0,01)(3,94 – 0,01) = 21,372 ≤ S ≤ 21,567 = (5,45 + 0,01)(3,94 + 0,01)
Vậy ta có ước lượng sai số tuyệt đối của S là |𝑆 − 𝑆0 | ≤ 0,094 m2 hoặc làm tròn là
0,1 m2.
e. TCSC: Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi biết sai
số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó .
Kỹ thuật:
1
-Tìm k để 𝑑 ≤ . 10𝑘 , 𝑘 ∈ 𝒁
2
-Các chữ số bên trái chữ số hàng thứ k là chữ số chắc.
viết một số gần đúng mà không kiểm soát được độ chính xác của số ấy thì nó không
có giá trị sử dụng. Do đó, các giáo trình đại học tuân thủ nghiêm ngặt hai cách viết:
Viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a± ∆𝑎 .
Viết số xấp xỉ thep quy ước mọi chữ số của số gần đúng đều là chữ số
chắc chắn, ví dụ: khi viết a≈1,35 thì ngầm hiểu là các chữ số 1, 3 và 5 là
chữ số chắc chắn. Khi đó, chúng ta có thể suy ra được độ chính xác của số
gần đúng 1,35 là nhỏ hơn hoặc bằng 0,5. 10-2.
-Sau khi tham khảo các giáo trình đại học, chúng tôi tìm được 5 kiểu nhiệm vụ liên
quan tới số gần đúng và sai số:
•
TLT-k: Làm tròn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑁 ∗ ).
•
Tt: Thực hiện phép tính với các số gần đúng.
•
TSS: Tính sai số tương đối (sai số tuyệt đối) của số gần đúng khi biết
sai số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.
•
TƯLSS: Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của các phép toán
với số gần đúng.
•
TCSC: Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi
2.1. Sách giáo khoa Toán 7 – tập 1
Trong chương 1: SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC của sách giáo khoa Toán 7 trình bày bài 10
" Làm tròn số" ngay sau khi đã học xong kiến thức về " số thập phân vô hạn tuần
hoàn" . Các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa hoàn toàn không có thuật
ngữ " Số gần đúng" , cũng như các yếu tố Toán học liên quan khác. Mục tiêu giảng
dạy được trình bày trong sách giáo viên yêu cầu học sinh phải vận dụng thành thạo
các quy tắc và biết ý nghĩa của việc làm tròn số với ghi chú " không đề cập đến các
khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối, các phép toán về sai số" .
Copyright: Tài liệu đại học ©