LỜI GIỚI THIỆU
Tập bài giảng về “ Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1” do PGS.TS. Lê Hồng Bang –
Bộ môn Lý thuyết thiết kế tàu thủy khoa Đóng tàu Đại học Hàng hải Việt Nam biên soạn
nhằm mục đích trang bị cho các sinh viên hệ chính qui chuyên ngành Thiết kế thân tàu thủy
một số những kiến thức cơ bản nhất về tự động hóa tính toán các yếu tố thủy tĩnh và ổn
định của các loại tàu thủy thông dụng. Bài giảng này là một bộ phận của giáo trình về “Tự
động hóa thiết kế tàu thủy và công trình nổi “ sẽ ra mắt bạn đọc nay mai. Tập bài giảng được
chia thành 2 phần: Phần I mang tiêu đề “ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN". Phần này sẽ giới
thiệu việc ứng dụng phương pháp số để giải các bài toán về tự động hóa tính toán các yếu tố
thủy tĩnh và ổn định của tàu thủy bao gồm đa thức nội suy Lagrange, phương pháp bình
phương nhỏ nhất, các phương pháp gần đúng để tính các tích phân xác định. Phần II mang
tiêu đề “ HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG phần mềm AUTOSHIP”. Do thời lượng của môn học
có hạn vì vậy ở phần này người biên soạn chỉ tạm dừng lại ở chổ giới thiệu và hướng dẫn sử
dụng 3 module trong 5 module của phần mềm nêu trên bao gồm: AUTOSHIP;
AUTOHYDRO và AUTOPOWER. Hai module còn lại là ; AUTOPLATE và
AUTOSTRUCTURE sinh viên sẽ tự nghiên cứu áp dụng khi thấy cần thiết bởi lẻ trong phần
hai của “Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A2” chúng tôi sẽ tập trung hướng dẫn sử dụng phần
mềm SHIPCONSTRUCTOR dành cho tự động thiết kế công nghệ mà trong đó có chứa hai
Module có tính năng mạnh hơn AUTOPLATE và AUTOSTRUCTURE trong AUTOSHIP.
Riêng Phần II của Tập Bài giảng “Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1” sẽ được in thành một
bộ riêng đủ để các sinh viên và các kỹ sư cũng như các học viên cao học ngành Kỹ thuật tàu
thủy sử dụng một cách có hiệu quả trong quá trình thực hiện các bài toán cụ thể.
Để học và nghiên cứu có hiệu quả môn học này người biên soạn mong muồn bạn đọc
và các em sinh viên chuyên ngành Thiết kế tàu thủy hãy dành một phần thời gian để ôn lại
các kiến thức thuộc chương trình toán cao cấp dành cho kỹ sư, tham khảo các tài liệu nói về
phương pháp tính, tĩnh học tàu thủy, động lực học tàu thủy, giáo trình toán ứng dụng trong
kỹ thuật ....
Người biên soạn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các ý kiến góp ý để tập bài
giảng này sẽ ngày càng hoàn thiện hơn cả về nội dung lẫn phương pháp trình bày. Mọi ý kiến
góp ý xin bạn đọc gửi về cho tác giả theo địa chỉ sau: Bộ môn Lý thuyết thiết kế tàu thủy
khoa Đóng tàu Đại học Hàng hải hoặc E-Mail:
tính toán các yếu tố tính nổi thủy lực và ổn định cho tàu thủy
21
2.3.1 Phương pháp hình thang 21
2.3.2. Phương pháp Simpson 22
2.3.3 Phương pháp Tre-bư-sev 25
2.4 Tính nổi tàu thuỷ 26
2.4.1 Tính các đại lượng hình học vỏ tàu 26
2.4.2 Tỉ lệ Bonjean 28
2.4.3 Thể tích phần chìm và các đại lượng liên quan đển thể tích 28
2.4.4 Biện pháp nâng cao độ chính xác của các phương pháp tích phân
gần đúng
31
2.4.5 Tính các đường thuỷ tĩnh trên máy cá nhân 35
2.4.6 Biểu đồ mang tên Firsov 40
2.5 Cân bằng-Ổn định tàu 41
2.5.1 Ổn định ngang ban đầu 41
2.5.2 Ổn định khi tàu nghiêng góc lớn 44
2.5.3 Đồ thị ổn định 46
2.5.4 Thuật toán xác lập họ đường Pan-tô-ka-ren 51
2.5.5 Dựng đồ thị ổn định trên cơ sở Pan-to-ka-ren 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
b¶ng ký hiÖu thêng dïng
2
Ký hiệu Tên gọi Ký hiệu Tên gọi
A
V
Diện tích hứng gió M
TRIM
Mô men chúi trên 1 cm
A
C
M
Hệ số béo sườn giữa X
B
Hoành độ tâm nổi
C
W
Hệ số béo đường nước X
f
Hoành độ trọng tâm đường nước
C
V
Hệ số béo thẳng đứng
θ
Góc nghiêng ngang của tàu
C
P
Hệ số béo dọc ψ Góc chúi của tàu
∆
Lượng chiếm nước trọng lượng Y
B
Tung độ tâm nổi
∆d
Khoảng cách giữa các đường
nước
y
i
Nửa tung độ đường nước khảo sát
ứng với sườn thứ i
∆L
Cao độ trọng tâm hứng gió
I
T
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục dọc
Ω Diện tích mặt sườn khảo sát
I
L
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục ngang
V Thể tích lượng chiếm nước
I
’
L
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục 0
’
- y
’
V
Z
Thể tích ngâm nước ứng với
đường nước z
kg Hệ số cao độ trọng tâm S
Z
Diện tích mặt đường nước tại z
L
Chiều dài tính toán m
z
Mô men tĩnh diện tích mặt sườn
M
V
Mô men nghiêng do gió tác dụng
3
Chương 1
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH VÀ TỰ ĐỘNG HOÁ THIẾT KẾ
1.1. KHÁI NIỆM VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH
Ngôn ngữ lập trình là những phần mềm để phát triển các ứng dụng. Ngôn ngữ lập trình
đã trải qua quá trình phát triển và không ngừng hoàn thiện, nó là công cụ quan trọng đối với
sự phát triển của công nghệ thông tin. Tự động hoá tính toán, thiết kế và hiển thị kết quả tính
đều thông qua ngôn ngữ lập trình. Những ngôn ngữ lập trình có ứng dụng rộng rãi và hiệu
quả có thể nêu lên sau đây.
1.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH ĐIỂN HÌNH
• FORTRAN (viết tắt từ FORmula TRANslation) ra đời từ những năm năm mươi,
chính xác hơn năm 1957, ứng dụng chủ yếu trong các ngành khoa học, kỹ thuật.
Phiên bản đầu của FORTRAN thường được nhắc đến với tên gọi FORTRAN II , song
phiên bản được dùng phổ biến nhất là FORTRAN IV. Các dàn máy IBM thời bấy giờ nhận
dạng phiên bản phổ thông này dưới tên viết ghép FORTRAN. Ngôn ngữ thích hợp cho việc
xử lý những bài toán cỡ lớn của thời đại, được dùng trong các chương trình tính toán thiết kế
ô tô, tàu thuỷ, máy bay, tính toán độ bền các công trình xây dựng, thiết kế tối ưu. Có thể coi
hơn 90% những chương trình lớn trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật được viết bằng ngôn
ngữ này.
Thực tế sử dụng đã nảy sinh vài vấn đề phiền toái. Các nhà sản xuất các chương trình đa
năng tự cho phép mình viết các bộ dịch cho FORTRAN theo sở trường của riêng mình. Tuy
phần lớn các nhà sản xuất vẫn dựa vào tiêu chuẩn của ANSI - American National Standards
Institute để biên soạn compiler cho FORTRAN IV song chẳng có bộ dịch nào giống bộ dịch
nào, vì người nào cũng cố xé rào khỏi chuẩn ANSI. Tình hình ấy bắt buộc ANSI phải ra tay
thống nhất, năm 1978 phiên bản cuối cùng mang tên ANSI X3.9 - 1978 đã đặt dấu chấm cho
sự bùng phát tự do. Phiên bản này có tên gọi FORTRAN 77, ngày nay được dùng tương đối
rộng rãi.
tưởng hay, thiết kế chuẩn song thực tế không được như ý muốn chủ quan của những người
sinh non ra nó. Ngôn ngữ được quảng cáo rùm beng, song người dùng không nhiều vì các
compiler của PL làm việc quá tồi. Ngôn ngữ không thọ được bao lâu, ngày nay thế hệ trẻ khỏi
phải nghe quảng cáo ngôn ngữ number one nữa .
• Pascal ra đời chính thức 1971. Người có công thiết kế ngôn ngữ là Niklaus
Wirrth . Tên gọi của ngôn ngữ Pascal để ghi nhớ công lao của nhà toán học lớn thế kỷ 17
Blaise Pascal. Ngôn ngữ Pascal thuộc nhóm có cấu trúc chặt, là ngôn ngữ lập trình tiêu chuẩn
bất cứ người lập trình nào cũng nên biết. Theo nhận định của các nhà chuyên môn, đây là thứ
ngôn ngữ "lingua franca", làm cả chức năng "common tongue", là tiếng nói chung cho lập
trình. Ngày nay trong các trường học, trong các lớp học về lập trình, tại các kỳ thi năng khiếu
ngôn ngữ này còn là ngôn ngữ chính thức để truyền thụ và thi tài.
• C là ngôn ngữ lập trình đa năng, ứng dụng vào việc giải quyết những công việc
thực tế nảy sinh từ cuộc sống. C được coi là ngôn ngữ gần "ngôn ngữ máy", có khả năng giải
quyết mọi công việc mà những ngôn ngữ lập trình "bậc cao" sinh trước nó như FORTRAN,
PL1, Pascal đã làm, đồng thời còn giải quyết cả những việc mà đàn anh không muốn chạm
tới, những việc chỉ giành cho ngôn ngữ gần gũi máy như Assembler giải quyết.
Lịch sử phát triển của C có nhiều điều đáng nhắc. Yêu cầu thực tế của AT & T là phải
có ngôn ngữ dùng cho hệ điều hành UNIX, sử dụng trên máy DEC PDP - 11. Việc này được
giao cho Nennis Ritchie. Hệ điều hành, compiler và chương trình ứng dụng đều được
D.Ritchie viết bằng C năm 1972. Thực ra, trước đó Martin Richards đã được giao công việc
tương tự và kết quả của nó là ra đời ngôn ngữ có tên viết tắt BCPL. Trên cơ sở BCPL năm
1970 Ken Thompson soạn ngôn ngữ B (có thể bắt nguồn từ cái tên BCPL) và đã soạn đủ phần
mềm để điều hành DEC PDP - 7. Vào năm 1972 với sự cộng tác của K.Thompson , D.Ritchie
đã đi từ B đến C. Nguồn gốc của tên gọi "C" chỉ đơn giản vậy. Năm 1978 nhà xuất bản
Prentice - Hall tung ra thị trường "The C Pragramming Language" do Brian W . Kernighan và
Dennis M.Ritchie, viết tắt là K & R cùng viết. Sách ra đời là món quà vô giá đối với giới lập
trình. C vượt ra khỏi ranh giới ban đầu là ngôn ngữ của hệ điều hành UNIX để thâm nhập vào
DOS và hệ điều hành của IBM. Năm 1983 American National Standarts Institute (ANSI)
thành lập uỷ ban này là khẳng định tính đúng đắn của C và uỷ ban chấp nhận (có thêm bớt)
ngôn ngữ C với tên "ANSI C". ANSI C chính thức có hiệu lực từ năm 1988. Cuối những năm
++
, hiểu theo nghĩa
lập trình hướng đối tượng (OOP) thì lại nhắm vào đối tượng, mà đối tượng theo nghĩa chung
nhất là một cái gì đó có giới hạn.
Trong đối tượng người ta đưa dữ liệu vào và cả các phương pháp khai thác, sử dụng dữ
liệu nữa. Và lập trình hướng đối tượng không chỉ hạn chế làm một việc cụ thể mà giải quyết
bất kỳ việc gì cần cho đối tượng.
Trước khi mang tên C
++
ngôn ngữ này có tên ban đầu là "C with Classes" tức là "C với
các lớp". Lớp đi liền với chúng ta khi còn dùng C
++
.
C ra đời trên thực tế từ 1972 từ Bell Labs do Dennis Ritchie và Ken Thompson viết. Ban
đầu C chưa nổi tiếng ngay, nó phát triển âm thầm cho đến năm 1978 khi Brian Keringhan và
Dennis Ritchie tung ra "The C Programming Language". Từ đó ngôn ngữ C phát triển nhanh
và được tiêu chuẩn hoá bằng hội đồng của ANSI ( Mỹ ), từ 1983 đến năm 1988. Ngôn ngữ
ANSI C được chính thức khai tên từ 1988.
C
++
tự nó đã là ngôn ngữ lập trình như tên gọi của cuốn sách, song nó thừa kế một cách
hoàn mỹ những gì tốt đẹp nhất của C và phát triển sự tốt đẹp ở mức cao hơn. Thực tế đã
chứng minh C là ngôn ngữ uyển chuyển, có khả năng thâm nhập vào các lĩnh vực tính toán,
quản lý song C
++
còn linh hoạt và uyển chuyển hơn. C là ngôn ngữ vô cùng mạnh song C
++
được coi là mạnh hơn.
Giống như các ngôn ngữ lập trình khác, C theo nghĩa cũ vẫn bị rào cản trong một vài
hạn chế, còn C
thức tính như đang viết công thức toán vậy, không hề để ý đến nguyên lý làm việc của ngôn
ngữ máy là thứ ngôn ngữ duy nhất máy có thể hiểu. Ví dụ khi cần tính "số quả còn lại C, nếu
biết rằng tổng số quả A, em đã ăn B quả", người lập trình chỉ cần ra lệnh:
C = A - B
Để máy hiểu được ý trên nhất thiết phải dịch dòng lệnh này ra ngôn ngữ máy. Những bộ
dịch cho HLL mang một trong hai tên gọi "compiler" hoặc "interpreter". Thứ tự truyền đạt
lệnh đến máy có thể hình dung như sau: người lập trình → compiler hoặc interpreter →
Assembler → máy tính.
Bạn đọc cần phân biệt hai tên gọi vừa nêu "compiler" và "interpreter" cùng làm một
việc, trong tiếng Anh người ta dùng khái niệm "translation" (nghĩa của nó là dịch) để diễn
đạt việc ấy. Compiler dịch toàn bộ chương trình giống như cách dịch toàn bộ bài nói của một
ai đó từ tiếng nước này sang ngôn ngữ của nước chủ nhà. Trong khi đó interpreter dịch từng
câu lệnh một, giống kiểu người phiên dịch (tiếng Anh gọi là interpreter) chuyển từng câu nói
của một vị khách sang tiếng chủ nhà. Trường hợp bắt buộc phải có mặt cả hai thành phần cho
công việc dịch là người phát biểu bằng tiếng nước ngoài và người phiên dịch. Compiler thực
hiện công việc nhanh hơn, gọn hơn. Công việc kiểu sau chậm hơn vì phải chờ thông tin qua
lại giữa người phát biểu và phiên dịch viên. Tuy nhiên interpreter có ưu điểm nổi trội là làm
cho chương trình hoạt động thuận lợi và dễ dàng hơn. Vì không cần thiết phải dịch xong toàn
bộ chương trình mới chạy chương trình, interpreter chuyển từng phần chương trình vào hoạt
động nếu phần việc ấy đã được viết đúng bằng ngôn ngữ lập trình. Trường hợp có lỗi trong
câu lệnh, interpreter phát hiện lỗi ngay tức thì và yêu cầu chỉnh lại ngay lúc đó. Sau mỗi lần
chỉnh, nếu đúng, câu lệnh sẽ được thực thi ngay. Trong thực tế người ta đang kết hợp cả hai
cách làm việc nhằm đẩy mạnh tốc độ thực hiện và tạo thuận lợi tối đa cho người dùng.
Tại đây bạn đọc cần làm quen thêm với khái niệm mã nguồn và mã đối tượng. Mã
chương trình được gọi là mã nguồn. Sản phẩm có xuất xứ từ mã nguồn, sau khi dịch gọi là
mã đối tượng. Tất cả phần mềm khi bán ra đều được ghi lại dưới dạng mã đối tượng. Với các
bản dịch người dùng không còn một khả năng nào để đọc, để nhận biết và không có cách nào
để cải biên, thay đổi.
7
Thế hệ thứ tư giành cho ngôn ngữ bậc rất cao (Very high level languages). Trong trào
Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng
khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu.
Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân
gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất.
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange
Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không biết
chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và một vài
nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên không
thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết) nhưng
người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và dĩ nhiên
đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm f(x) tại
tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng của một số
đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm; từ số liệu thử
mô hình tàu thủy tại bể thử v.v….
Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ biết
một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x
0
, x
1
, …, x
n
X [a, b] .
Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau:
x x
0
x
1
x
2
… x
≠ 0 với a
0
, a
1
, …., a
n
X R sao cho P
n
(x) trùng với f(x)
tại các nút x
i
,
ni ,0=
nghĩa là P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
.
Đa thức P
n
(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm số
f(x) vì đa thức là loại hàm số đơn giản nhất và dễ xác định nhất.
Như vậy ta sẽ có định lý sau: Nếu tồn tại đa thức nội suy P
n
(x) của hàm số f(x) thì đa
thức đó là duy nhất.
,
ni ,0=
(Vì P
n
(x
i
) – Q
n
(x
i
) = y
i
– y
i
= 0,
ni ,0=
). Do vậy đa thức
hiệu P
n
(x) – Q
n
(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là P
n
(x
i
) ≡ Q
n
(x
i
).
n
i
iii
ba
n
f
xxxfxLxf
0
)1(
0
,
)!1(
)(
)()()()(
ξ
ξ
(2.2)
trong đó
∏
≠
=
−
+−
+−
,
ni ,0=
Hiển nhiên L
i
(x) là đa thức bậc n và
≠
=
=
ijkhi
ijkhi
xL
ji
0
1
)(
(2.4)
L
i
(x) được gọi là đa thức Lagrange cơ sở.
Đa thức
∑
=
=
n
+ a
2
(x - x
0
)(x - x
1
) (x – x
3
) ... (x - x
n
) +
...
+ a
i
(x - x
0
)(x - x
1
)... (x - x
i-1
)(x - x
i+1
)... (x - x
n
)
...
a
n
(x - x
0
.
Ví dụ, từ P
n
(x
0
) = f(x
0
) = y
0
= a
0
(x
0
- x
1
)(x
0
- x
2
)... (x
0
- x
n
) sẽ nhận được:
))...()((
)(
02010
0
0
−−−
=
−−−
=
nnnn
n
n
n
xxxxxx
xf
a
xxxxxx
xf
a
Hệ số thứ i có dạng tổng quát:
10
))...()()...()((
)(
1110 niiiiiii
i
i
xxxxxxxxxx
xf
a
−−−−−
=
+−
(2.7)
Thay các biểu thức vừa xác định vào vị trí a
0
))...()((
))...()((
)(
110
21
1
12101
21
0
02010
21
−
−−−
−−−
++
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
(2.8)
hoặc dưới dạng tổng quát ta có:
∑
=
=
n
i
Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange:
Với n = 1:
x x
0
x
1
y y
0
y
1
Đa thức nội suy có dạng
1
01
0
0
10
1
1
)(
)(
)(
)(
)( y
xx
xx
y
xx
xx
xP
−
)1(
5,27
)21(
)2(
17
−
−
+
−
− xx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
1
(x)= 6,5+ 10,5x
Với n = 2:
x x
0
x
1
x
2
y y
0
y
1
y
2
Đa thức nội suy có dạng
11
−−
+
−−
−−
=
(2.10)
Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai.
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2 3
y 17 27,5 76
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
2
(x) =
)23)(13(
)2)(1(
76
)32)(12(
)3)(1(
5,27
)31)(21(
)3)(2(
17
−−
−−
+
302010
321
3
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
)(
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
xP
−−−
−−−
+
−−−
−−−
−−−
−−−
+
−−−
−−−
xxxxxx
xxxxxx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
3
(x)= -3,5+ 41,5x - 29x
2
+ 8x
3
2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2.1.2.1. Đặt bài toán
12
Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc
nhau theo một số qui luật đã biết nào đó ví dụ như:
1) y = a + bx
2) y = a + bx + cx
2
3) y = a+ b cosx + csinx
4) y = ae
bx
5) y = ax
b
nhưng chưa biết các giá trị cụ thể của các tham số a, b,c. Muốn xác định chúng người ta cần
thực hiện các thí nghiệm, các đo đạc v.v…. một số cặp giá trị tương ứng (x
i
−−=
2
)(
ii
bxayS
(2.12)
là tổng các bình phương của các sai số.
S phụ thuộc vào tham số a và b còn x
i
và y
i
đã biết.
Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và
b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau:
0;0 =
∂
∂
=
∂
∂
b
S
a
S
(2.13)
tức là:
∑ ∑
=+
Bảng 2.1.1
x
i
y
i
2
i
x
x
i
y
i
n = 5
- 1,1 0,78 1,21 - 0,858
2,1 7,3 4,41 15,33
3,2 9,2 10,24 29,44
4,4 11,9 19,36 52,36
5,2 13,3 27,24 69,16
Σ
∑
=
=
5
1
n
i
i
x
= 13,8
∑
đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2)
Bảng 2.1.2
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4
Như vậy quan hệ (2.13) xấp xỉ khá tốt với các số liệu đưa ra ở bảng 2.1.3
2.1.2.4. Các dạng quan hệ khác
Các dạng quan hệ (2), (3) được giới thiệu ở mục 2.1.2.1. là các mối quan hệ tuyến tính
đối với các tham số a, b và c nên cũng có thể giải quyết một cách tương tự. Chẳng hạn,
nếu :
y = a + bx + cx
2
thí các tham số a, b và c là nghiệm của hệ phương trình chính tắc sau:
∑ ∑∑
=++
ii
i
yxcxban
2
∑ ∑∑∑
=++
iiii
i
yxxcxbxa
32
(2.16)∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
=+
iiii
yxxbxa
2
tìm a và b
3. Kết luận: Viết ra phương trình cuối cùng
b) Cho mối quan hệ y = a e
bx
1. Lấy lô-ga-rít hai vế của y = ae
bx
2. Chuyển bảng số giữa x và y thành bảng số X và Y
3. Tính các tổng
4. Giải hệ chính tắc để tìm A và B
5. Tính : a = a
A
, b = B/lge
6. Kết luận.
2.2. Các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định
2.2.1. Đặt bài toán
Xét tích phân xác định :
∫
=
b
a
dxxfI )(
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) thì công thức Niu-tơn - Lép-nít
cho:
∫
= f(x
i
)
Ta có
∫
=
b
a
dxxfI )(
=
∫
1
0
)(
x
x
dxxf
+
∫
2
1
)(
x
x
dxxf
+…+
∫
−
n
n
0
là t
0
= 0 , ứng với x
1
là t = 1, nên ta có
22
1
0
1
)
2
()()(
10
00
1
0
0
2
0001
1
0
yy
hyyh
t
t
y
t
tyhdtytyhdxxP
0
M
0
M
1
x
1
bởi
diện tích hình thang thường x
0
M
0
M
1
x
1
(Hình 2.1)
Hình 2.1
Đối với tích phân thứ i + 1 ta có:
2
)(
1
1
+
+
≈
∫
+
ii
x
++++
+
=
−
121
0
...)
2
n
n
T
yyy
yy
hI
và
n
ab
h
)( −
=
Công thức này gọi là công thức hình thang.
2.2.3. Đánh giá sai số
16
x
0
x
dx
I
Lời giải:
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là π/4. Do đó nếu biết số π thì ta có:
I = 0,78539816 …
Bây giờ ta tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả.
Công việc được tiến hành như sau:
Chia đoạn [0, 1] thành 10 khoảng (n =10) con bằng nhau với h = 0,1. Lập bảng trị số
như sau ( bảng 2.2)
Bảng 2.2
x f(x) = 1/(1 + x
2
)
0 1,000000 = y
0
0,1 0,9900990 = y
1
0,2 0,9615385 = y
2
0,3 0,9174312 = y
3
0,4 0,8620690 = y
4
0,5 0,800000 = y
5
0,6 0,7352941 = y
6
0,7 0,6711409 = y
7
0,8 0,6097561 = y
) , i = 0, 1, …, n.
4) Tính
++++
+
=
−121
0
...)
2
n
n
T
yyy
yy
hI
;
17
(2.20)
5) Kết quả:
I y I
T
Phương án 2: Cho trước sai số
1) Xét tích phân
∫
+
=
−121
0
...)
2
n
n
T
yyy
yy
hI
6) Kết quả :
I yI
T
Với sai số
ε
〈−
T
II
2.2.6. Công thức Simson
Ta chia [a, b] thành 2n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia x
i
:
a = x
0
< x
1
< …< x
2n
dxxfdxxfdxxfdxxf
2
22
4
2
2
0
)(...)()()(
(2.21)
Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay f(x) bằng đa thức nội suy bậc hai P
2
(x). Với tích
phân thứ nhất ta có :
∫∫
≈
2
0
2
0
)()(
2
x
x
x
x
dxxPdxxf
Đổi biến x = x
0
+ h t thì dx = h dt, ứng với t = 0, ứng với x
2
∆
−+∆+=∆
−
+∆+=
∫∫
t
t
y
tt
y
t
tyhdty
tt
ytyhdxxP
x
x
=
( )
2100
2
00
4
2
0
yyy
h
dxxf
x
x
++≈
∫
.
Đối với các tích phân sau ta cũng tiến hành tương tự và nhận được:
)4(
3
)(
22122
22
2
++
++=
∫
+
iii
x
x
yyy
h
dxxf
i
i
nnnS
yyyyyyyy
h
I
(2.22)
trong đó
n
ab
h
2
)( −
=
Công thức (2.22) được gọi là công thức Simson.
2.2.7. Đánh giá sai số
Người ta đã chứng minh được
bxaxfM
abh
M
II
IV
S
≤≤=
−≤=−
,)(max
),(
180
4
2.2.8. Thí dụ
)( −
=
; x
i
= a + ih, với i= 0,1,…,2n; y
i
= f(x
i
), i= 0,1,…, 2n
4) Tính
[ ]
)...(2)...(4)(
3
2242123120
−−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy
h
I
5) Kết quả I yI
S
Phương án 2: Cho trước sai số
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
S
với sai số
ε
<−
S
II
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số y = lg x với các giá trị tương ứng của x và y cho trong bảng sau:
x 50 55 60 65
y 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129
Hãy tính đạo hàm của y tại x = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp .
2. Cho tích phân:
∫
+
1
0
1 x
dx
Hãy chia đoạn con [0, 1] thành 10 đoạn con bằng nhau ( n=10) rồi tính gần đúng I và
đánh giá sai số bằng :
a) Công thức hình thang; b) Công thức Simson.
3. Cho tích phân
dx
x
x
∫
1
0
sin
=
+
∆++
+
∆+
+
∆≅
−
−
n
iinn
nn
yK
L
yyyyyL
yy
L
yy
L
yy
L
0
1210
1
21
10
2
)2...22(
2
...
= a
0
;
y
1
= a
0
+ a
1
∆L + a
2
∆L
2
y
2
= a
0
+ 2a
1
∆L + 4a
2
∆L
2
Suy ra
a
0
= y
0
;
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅++
∫
b
a
x
x
dxxaxaa )(
2
210
21
f(x)
x
y
∆L
∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
y
1 4 1
1 4 1 ...
1 4 1
1 4 1
+ K
i
: 1 4 2 4 2 ... 2 4 2 4 1
Hình 2.4. Sơ đồ xác định hệ số qui tắc Simpson I.
Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.24)
trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 3 tọa độ đều nhau được viết như sau :
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅++
∫
b
a
x
x
dxxaxaa )(
2
210
∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
a b
Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.4. Giả sử đây là đường cong bậc 3 và có
phương trình biểu diễn như sau :
y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+a
3
x
3(2.28)
Khi thay x = 0; x = ∆L; x = 2∆L và x = 3 ∆L vào phương trình (2.28) ta thu được
y
0
∆L
3
;
y
3
= a
0
+ 3a
1
∆L + 9a
2
∆L
2
+ 27a
3
∆L
3
.
Suy ra
a
0
= y
0
;
L
yyyy
a
∆
+−+−
=
Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác
định như sau:
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅+++
∫
b
a
x
x
dxxaxaxaa )(
3
3
2
210
4
3
3
2
2
10
hai của phương pháp Simpson cho nhóm 4 tọa độ kế tiếp nhau, các hệ số tính toán được chọn
như sau:
23
x
a
y = a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
+ a
3
x
3
y
∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
b
∆L
y
3
yK
L
0
8
3
(2.31)
trong đó:
n
ab
L=∆
; K
i
= 1, 3, 3,2, 3, 3, 2, ... ,2, 3, 3, 2, 3, 3, 1 (theo hình 2.6)
Trong trường hợp số khoảng chia đều nhau với n là một số lẻ bất kỳ không phải là bội
số của 3, ta có thể kết hợp áp dụng đồng thời cả hai qui tắc của phương pháp Simson.
Ví dụ khi n = 5 ta có thể xác định các hệ số tính toán như sau (Hình 2.7):
Hình 2.7 Sơ đồ xác định hệ số khi n = 5
Trong cùng một khoảng tính toán, nếu có khoảng chia không đều nhau giữa các nhóm
tọa độ thì hệ số Simson sẽ được điều chỉnh tỷ lệ thuận với tỷ số giữa các khoảng chia đó.
2.3.3. Phương pháp Tre-bư-sev
Giả sử ta có đường cong được biểu diễn trên hình 2.8.
Diện tích hình phẳng được chắn bởi đường cong y = f(x) trong khoảng từ - L/2 đến +
L/2 được xác định như sau:
)....(
21
2/
2/
n
L
3
x
2
x
1
L
x
6
x
7
x
8
x
9
y
1
y
2
y
3
y
4
y
6
y
7
y
8
y
9
Copyright: Tài liệu đại học ©