THPT ĐỊNH QUÁN

"RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẼ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG HHKG 11"
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ở cấp trung học cơ sở, học sinh đã được học hình học không gian thông qua một số
hình ảnh như: hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu. ...và mối
quan hệ giữa các đối tượng: điểm , đường thẳng và mặt phẳng nhưng chỉ ở mức độ
làm quen với hình học không gian. Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học
phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Nếu trước đây ta chỉ
xét quan hệ giữa điểm và đường thẳng thì nay còn có thêm mối quan hệ giữa các đối
tượng đó và mặt phẳng -một đối tượng mới. Vì vậy, các mối quan hệ trở nên phức tạp
hơn nhiều. Trước đây, học sinh phần lớn chỉ mới biết cách nhìn trong mặt phẳng. Mỗi
hình đó đều có thể biễu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng và
có thể cả về kích thước bằng kích thước hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ như quan
hệ liên thuộc, quan hệ vuông góc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song...giữa các đối
tượng đều đượ c biểu diễn một các trực quan. Nay, trong hình học không gian, hình vẽ
là những hình phẳng không thể phản ánh trung thực các quan như quan hệ liên thuộc,
quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau.. của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất
lớn cho học sinh khi học hình học không gian . Ngay từ tiết đầu tiên giáo viên đã phải
giúp học sinh làm quen dần với việc biểu diễn này. Vẽ đúng, vẽ tốt hình biểu diễn sẽ
giúp học sinh tưởng tượng đúng hình dung đúng hình thực của chúng trong không
gian, nâng cao khả năng tưởn g tượng của học sinh.
Bên cạnh việc vẽ hình không gian nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương
pháp giải các dạng toán cơ bản thường gặp thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức
và trên cơ sở đó các em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự khi cung cấp thêm
các kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc ở học kỳ II lớp 11. Trong
phạm vi chuyên đề này tôi tập trung và một số dạng toán mà trong quá trình giảng dạy
bản thân cho là cơ bản nhất khi học sinh mới bắt đầu làm quen với hình học kh ông
gian đó là " rèn luyện kỹ năng vẽ hình và phương pháp giải một số dạng toán trong
Hình học không gian 11 " với sự hỗ trợ phần mềm Geometes’s Sketchp 5.0.

+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ
dễ đến khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em
quen dần với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn
học sinh ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của
các em.
+ Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi
dạng toán cần hướng dẫn các em nhận xét để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm
khắc sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian.
+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên
hình, làm cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó
nâng cao nhận thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc
sống sau này.
+ Qua mỗi bài tập , giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là c ơ sở phân tích,
suy luận để giải quyết các bài sau này.
III. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được
thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động
tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người
học, tạo hứng thú cho người học.
Thực tế lực học môn toán của học sinh trường THPT Định Quán như thế
nào?

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 2


THPT ĐỊNH QUÁN

- Phần hai: Khắc sâu kiến thức và hướng dẫn vẽ hình dựa trên câu hỏi trắc nghiệm
khách quan với sự hỗ trợ phần mềm Geometes’s Sketchp 5.0.
- Phần ba:
+ Phương pháp giải các dạng toán và bài tập theo chủ đề.
+ Các ví dụ minh họa bằng phương pháp tố màu với hỗ trợ phần mềm Geometes’s
Sketchp 5.0).
+ Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập.
2. Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
A. Tóm tắt lý thuyết
1) Hình biểu diễn của một hình không gian
 Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian .
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 3


THPT ĐỊNH QUÁN

 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của
hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
 Dùng nét vẽ liề n biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho
đường đường bị che khuất.
2) Các tính chất thừa nhận
 Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàn g.
 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

mp(ABC)

d2

mp(d1,d2)

mp(M,d)

4) Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp:
Trong mặt phẳng (  ) cho đa giác lồi A 1A2...An. Lấy điểm S nằm ngoài (  ). Lần
lượt nối S với các đỉnh A 1,A2,...,An ta được n tam giác SA 1A2, SA2A3,..., SAnA1 .
Hình gồm đa giác A 1A2...An và n tam giác SA1A2, SA2A3,..., SAnA1 được gọi là hình
chóp.
S
Đỉnh
S
Kí hiệu: S.A1A2,..., An
Mặt bên
Cạnh bên

A

C

D

A

Cạnh đáy

Câu 1: Tính chất nào sau đây là tính chất được thừa nhận?
A) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì khi đó chúng còn có vô số
điểm chung nằm trên cùng một đường thẳng.
B) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì khi đó chúng còn có ba
điểm chung không thẳng hàng.
C) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì khi đó chúng còn có vô số
ểm
đi chung nằm giữa.
D) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì khi đó chúng còn có một
điểm chung khác nữa.
Câu 2: Các yếu tố nào sau đây xác định duy nhất một mặt phẳng?
A) Ba điểm
B) Một điểm và một đường thẳng
C) Hai đường thẳng cắt nhau
D) Bốn điểm
Câu 3: Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Các mệnh đề nào sau

đây là mệnh đề sai?
A) A  (ABC)

B

C

B) I  (ABC)
C) (ABC)  (BIC)
D) BI  (ABC)
Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

A

C

B) AC nằm trong mặt phẳng(D,d)
C) mp(ABCD) và mp(D,d) là khác nhau

d

D) BC không nằm trong mp(D,d).

A
B
Câu 6: Trong không gian cho 4 điểm phân biệt, không đồng phẳng. Khi đó có thể xác
định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Câu 7: Hình nào sau đây là hình biểu diễn của một hình tứ diện trong không gian ?
A

A

D

B

D

B



thẳng nào sau đây sau đây cắt nhau?

A

A) DB cắt cạnh AC
B) AB cắt cạnh DC
C) BG cắt cạnh CD

D

B

D) AG cắt cạnh BC

G
C

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, M là trung điểm của BC, N là
điểm thuộc cạnh BD khác trung điểm BD. Các phát biểu sau phát biểu nào đúng?
Câu 9:

A

A) MN cắt cạnh AC
B) MN cắt cạnh AD
C) MN cắt cạnh CD

B


A dưới đây là sai?
A) MN  (ABD)
B) MN  (ACD)

N

C) MN  (AIJ)
D) IJ không cắt (ACD)

M
D

B
J
I
C

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 7


THPT ĐỊNH QUÁN

Câu 12: Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (  ) và một điểm S không nằm

trong mặt phẳng (  ). I là một điểm thuộc cạnh SD. Các phát biểu nào sau đây là
S
đúng?
A) Đường thẳng BI cắt AC và AD

Câu 14: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AD và BC(Như hình vẽ). Khi đó
giao tuyến của hai mặt phẳng (AND) và BMC là:

C
B

A

I

M

A) PQ
B) PM

P
D

B

C) PN

Q
N

D) MN
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam
C
giác BCD và M, N lần lượt la trun g điểm của AC,


Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. M là điểm thuộc

miền trong tam giác SCD(Hình vẽ). Các phát biểu sau phát biểu nào đúng?
S

A) CD cắt mp(SAM)

M

B) CD không cắt (SAM)

C

B

C) BC cắt (SAM)
D) AN  (SAM)

N

A

D

Câu 17: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là AB, một điểm S không thuộc mp(ABCD).

Gọi M là trung điểm của SA và N thuộc SD sao cho 3SN=2S D.
S


A) AI

I
D
N

C

B) AN
O

C) AM
D) MN

S

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N, P

M

tương ứng trên SA, SB, S C sao MN, NP, PM cắt
mp(ABC) tương ứng tại các điểm I, J, K. Khi đó:
A) I, J, K tạo thành một tam giác

B

A

N


N

B

D) Tam giác MNQR

 Đáp án trắc nghiệm
Câu
1
2
Đáp án A
C
Câu
11
12
Đáp án A
D

P

Q

B) Tam giác MNR

D

C

3
D

B

10
C
20
B

Chú ý:
 Phần trắc nghiệm được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, từ kiến thức cơ bản
đến nâng cao và sẽ được trình bày giải tương tự trong phần bài tập minh họa.
 Đáp án trắc nghiệm từ câu 7- 20 sẽ được GV giải thích kết hợp phần mềm
Geometes’s Sketchp5.0 (trong file Tracnghiem.gsp) để học sinh rèn luyện kỹ năng vẽ
hình cũng như khả năng tưởng tượng trong không gian.
 Đối với phần phương pháp và bài tập minh họa với mong muốn giúp các em
tiếp cận bài toán hình học không gian, rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không
gian nên trong phạm vi chuyên đề với tôi chỉ luyện tập trong 3 dạng toán đó là tìm
giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mp, chứng minh 3 điểm
thẳng hàng và tham khảo thêm dạng chứng minh 3 đường thẳng đồng qui. Các nội
này tập trung chủ yếu trong Bài 1- Chương II-Hình học không gian 11 cơ bản riêng
vấn đề tìm thiết diện sẽ được đề cập ở chuyên đề sau cũng có hỗ trợ phần mềm
Geometes’s Sketchp 5.0. Phần bài tập này cũng có hỗ trợ phần mềm Geometes’s
Sketchp 5.0 trong file Baitapminhoa.gsp.

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 10


THPT ĐỊNH QUÁN


a) Ta có:


I  AD  (AKD)  I  (AKD)  (BIC) (1)


I  (BIC)




K  BC  (BIC)  K  (BIC)  (AKD) (2)


K  (AKD)


B
Từ (1) và (2) suy ra (BIC)  (AKD)  IK

I

M
P
N

Q

D


Từ (3) và (4) suy ra (MND)  (BIC)  PQ

Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB, một điểm S  (ABCD) .
a) Tìm giao tuyến của các mp (SAC) và (SAB); (SAC) và (SDB); (SAD) và
(SBC).
b) Gọi M là trung điểm SA và N thuộc SD sao cho 3SN=2SD. Tìm giao tuyến của
(BMN) và (ABD).
S
Giải
a)


SA  (SAC)  SA  (SAC)  (SAB)


SA  (SAB)


Gọi O  AC  DB

M

A

B

Ta có:


S  (SAC)  S  (SAC)  (SBD) (1)


S  (SAD)  S  (SAD)  (SBC) (3)


S  (SBC)




H  AD  (SAD)  H  (SAD)  (SBC) (4)


H  BC  (SBC)


Từ (3) và (4) suy ra (SAD)  (SBC)  SH

b) Trong mặt phẳng (SAD). Ta có:

SM SN

suy ra MN không song song với AD.
SA
SD

Gọi I  MN  AD
Ta có:


B  (BMN)  B  (BMN)  (ABD) (5)


S  (SAC)  S  (SAC)  (SBD) (1)


S  (SBD)




O  AC  (SAC)  O  (SAC)  (SBD) (2)


O  BD  (SBD)


Từ (1) và (2) suy ra (SAC)  (SBD)  SO
Gọi I  MN  AC

K

P
D

A

N
O

Ta có:


Ta có:


K  SA  (SAB)  K  (SAB)  (PMN) (5)


K  IP  (PMN)




E  AB  (SAB)  E  (SAB)  (PMN) (6)


E  NM  (PMN)


Từ (5) và (6) suy ra (SAB)  (PMN)  KE

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
Tìm giao điểm của một đường thẳng (d) và một mặt phẳng ( )
Cách 1: Tìm một đường thẳng a  ( )
mà a cắt d tại A thì A  d  ( ) .

a

d
A


S
Ta có:


I  BC
 I  BC  (SAD)


I  AD  (SAD)



b) chọn mp phụ (SAD) chứa AM. Trong
mp(ABCD) kéo dài AD và BC cắt nhau tại I
A
Ta có:


S  (SAD)  S  (SAD)  (SBC) (1)


S  (SBC)




I  AD  (SAD)  I  (SAD)  (SBC) (2)


I  BC  (SBC)

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
Giải:
a) Vì MN không song song với CD nên kéo dài MN cắt CD tại F
Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 14


THPT ĐỊNH QUÁN

Ta có:


O  (OMN)  O  (OMN)  (BCD) (1)


O  (BCD)




F  MN  (OMN)  F  (OMN)  (BDC) (2)


F  DC  (BDC)


Từ (1) và (2) suy ra: (OMN)  (BDC)  OF




F
H

I

O

B
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
S
Giải:
a) Gọi O  AC  BD
I
Chọn mp phụ (SAC)  AM
Ta có:
M


S  (SAC)  S  (SAC)  (SBD) (1)


S  (SBD)





I

EK

(AMN)



Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD
lấy điểm N.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAC) .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SC và mp(SAC).
Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 15


THPT ĐỊNH QUÁN

Giải
a) Chọn mp(SNM)  MN
Ta có:
S  (SAC)  (SMN) (1)

Trong mp(SBC) kéo dài SM cắt BC tại M', trong mp(SDC) kéo dài SN cắt DC tại N'
S
Trong mp(ABCD), gọi AC M ' N '  O
Ta có:



C

N'

B
S

Trong mp(SAC) kéo dài AI cắt SC tại E
Ta có:


E  SC
 E  SC (A MN)


E

AI

(AMN)



M
D

A
E
I
M'

c

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

α

I

a
b
Trang 16


THPT ĐỊNH QUÁN

Chú ý:
Để chứng minh ba đường thẳng AB, DC và EF đồng qui ta có thể thực hiện như sau:
Gọi I = AB  DC. Khi đó AB, DC và EF đồng qui khi và chỉ khi E, I và F thẳng hàng.

E

C

A

C

A
I






J  AC  (ABC)  J  (ABC)  (A'B'C') (3)


J  A 'C'  (A'B'C')


A'

S

C'

Từ (1), (2) và (3) suy ra:
I, J, K thuộc giao tuyến của hai
mặt phẳng (ABC) và (A'B'C')
nên ba điểm I, J, K thẳng hàng

B'

C

J

A

B

Q
Ta có:


G  AE  (SAE)  G  (SAE)  (SBD) (1)


G  BD  (SBD)




I  AM  (SAE)  I  (SAE)  (SBD) (2)

A

I  BN  (SBD)




J  QE  (SAE)  J  (SAE)  (SBD) (3)


J  BP  (SBD)


S  (SAE)  (SBD) (4)

N

S
K
Q
N



L  BQ  (SAB)  L  (SDE)  (SAB) (6)


L  PE  (SDE)


A


K  AN  (SAB)  K  (SDE)  (SAB) (7)


K  DM  (SDE)



P
M

B

G
D

Ta có:


L  AB  (ABM)  L  (ABM)  (SDC) (1)


L  DC  (SDC)




M  (ABM)
 M  (ABM)  (SDC) (2)


M  SC  (SDC)

D

Từ (1) và (2) suy ra: (ABM)  (SDC)  ML

S
N
M
K

Trong mặt phẳng (SCD) kéo dài ML
cắt SD tại N, ta được :
N  SD  (ABM)




K  AM  (SAC)  K  (SAC)  (SBD) (5)


K  BN  (SBD)



Từ (3), (4) và (5) suy ra S, O, K cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD)
Vậy S, K, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng qui.
Cách 2:
a) Chọn mp phụ ( SBD) chứa SD
Trong mp(ABCD), Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mp(SDB), Gọi K là giao điểm
của AM và SO
Ta có:
Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 19


THPT ĐỊNH QUÁN
B  (BMN)  (SBD) (1)


K  AM  BMN)  K  (BMN)  (SBD) (2)


K  SO  (SBD)

Phần 3: Bài tập tương tự
Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
Bài 2) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và
(ABD).
Bài 3) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2
mặt phẳng (IBC) và (DMN).
Bài 4) Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ABD, N là một điểm bên
trong ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và
(ABC).
Bài 5) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và
AD với mặt phẳng (MNK).
Bài 6) Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lầ n lượt trên AC và AD. O là một điểm
bên trong BCD. Tìm giao điểm của:
a) MN và (ABO).
b) AO và (BMN).
HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).b) Tìm giao tuyến của (BMN) và
(ABO).
Bài 7) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy l ớn AB. Gọi I, J, K là
ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
HD:a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK). b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD) và
(SCD).
Bài 8) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI >

1
2

2,6%
5,5%

Khá
12
10

TB
31,6% 19
27%
20

50%
54%

Yếu
6
5

15,8%
13,5%

Chuyên đề được áp dụng trên lớp 11A4 còn lớp 11A8 thì GV sử dụng các phương
pháp giải trước đây. Kết quả qua bài kiểm tra 15' như sau:
Lớp Điểm  8
11A4 10
26,3%

Trang 21


THPT ĐỊNH QUÁN

vào câu hỏi giáo viên đưa ra. Đồng thời cũng làm cho học sinh nâng cao được tư duy,
sáng tạo, khả năng tưởng tượng không gian để có thể tiếp cận các bài toán về sau
chẳng hạn như dạng toán về thiết diện hoặc phần kiến thức về quan hệ song song và
quan hệ vuông góc ở các chương sau.
V. LỜI KẾT.
Chuyên đề này chỉ đề cập được một số dạng toán thường gặp và ứng dụng. Còn rất
nhiều dạng toán hay hơn, khó hơn hữu dụng hơn mà tôi chưa thể đề cập tới. Mặc dù
đã cố gắng rất nhiều, song chuyên đề chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong
toàn thể quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề được tốt hơn và
hữu ích hơn.
Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề
này.
Định Quán, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện

Lê Thái Bình Nguyên

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 22


THPT ĐỊNH QUÁN

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO


Phần 2: Phương pháp và bài tập minh họa ......................................................... 11
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (  ) và (  ) .......................................................11
Dạng 2: Tìm giao điểm của đ ường thẳng và mặt phẳng .........................................................13
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đ ường thẳng đồng qui.................................16

Phần 3: Bài tập tương tự...................................................................................... 20
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI ..................................................................................... 21
1) Kết q uả nghiên cứu: ............................................................................................. 21
2) Bài học tổng kết: .................................................................................................. 21
V. LỜI KẾT. ................................................................................................................. 22
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 23

Giáo viên: Lê Thái Bình Nguyên

Trang 23