1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


2

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 62.14.01.11




luận án này;
Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên
cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong



suốt quá trình thực hiện luận án này;
Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong
suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh.

Tôi xin chân thành cám ơn:


Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ
bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trường ĐH Y Dược Huế,
Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học
trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi



cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;
Các giáo viên Toán và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT
Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường
Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi
(Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho
nghiên cứu này.

trang


6

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
Glossary in English
Abductive reasoning
Inductive reasoning
Deductive reasoning
Selective abduction
Creative abduction
Visual abduction
Manipulative abduction
Visual representation
Dynamic visual representation
Visualization
Mathematical pattern
Open ended problem
Dragging scheme
National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM)
Programme for International Student
Assessment (PISA)
Organization for Economic Cooperation and Development (OECD)

Nghĩa tiếng Việt
Suy luận ngoại suy
Suy luận quy nạp
Suy luận diễn dịch

1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mô tả chung nhất và đặc
trưng nhất về toán được hầu hết các nhà toán học chấp nhận, đó là: Toán học là
khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]).
Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục toán cho các
quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng
mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của
con người. HS cần học các quy tắc toán, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để có
thể mô tả các sự vật hiện tượng theo ngôn ngữ của toán học”. Một trong những cách
để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm
số. Việc khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết
với HS trong xu hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán
không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các
mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện
tượng tự nhiên, của hành vi con người và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21])
khẳng định “... người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu
lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố
gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho
dù thiếu những thông tin đầy đủ...”.
Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh
quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp
6 chú ý đến dạng mẫu:

3 + (−4) = (−4) + 3, 5 + 8 = 8 + 5, (−6) + (−9) = (−9) + ( −6)

và

nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó,
HS đề xuất giả thuyết


họa cho các kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà còn được thừa nhận là công cụ hiệu
quả cho việc học toán (Arcavi, 2003, [13]).
Trong bối cảnh chung đó, chúng tôi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên
cứu nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy
luật toán của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan.


11

1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Toán học được coi như là môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một
khía cạnh của nó. Bạn cần dự đoán một định lý toán học trước khi chứng minh nó.
Bạn phải phỏng đoán về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh
chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương
tự. Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhưng người
ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]). Do
đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế
nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí. Suy
luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS
khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là
một nội dung cần được quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán.
Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng
toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được
nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Người ta nhận thấy
rằng, trong những tình huống thông thường, con người vận dụng toán học theo hai
cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán
mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua
các phương án toán học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy;
tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hóa; đặc biệt
hóa... Rất hiếm khi con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt

tế PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần
với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam. Một trong
bốn lĩnh vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía
cạnh: Nội dung toán học, quá trình toán học và bối cảnh trong đó toán học được sử
dụng. Trong đó, nội dung toán học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao
quát”: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc
chắn. Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại
lượng, các quy luật về không gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các
mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm cho các mô tả về toán học và tạo nên


13

“trái tim” của bất kỳ một chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học.
PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều
vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các
mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ
số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể được mô tả hay
được mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có
thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng
của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả
năng mô tả những thay đổi trong thế giới dưới dạng có thể nhận thức được để nhận
ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật
sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]).
Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết
vấn đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan
tâm đối với HS mười lăm tuổi. Trong xu hướng đó, với mong muốn thu hút sự quan
tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại
suy và quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các
quy luật toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật toán của
HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các
kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ
vuông góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình Hình học
ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tôi cũng
muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra trong môi trường học tập có sử dụng
máy tính và các phần mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ
trong môi trường giấy bút ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đó
có đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật
toán? Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong lĩnh vực Hình học với
sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn các bài toán hình học kết thúc mở
làm đối tượng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này.


15

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
•

Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai

•

loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán.
Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận

•

ngoại suy và quy nạp.
Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy


•

như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát?
Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ
trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các

•

bài toán hình học kết thúc mở?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật
toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy?

1.6. Các thuật ngữ


16

•

Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để
suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận

•

khác (English, L. D., 2004, [33]).
Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đưa ra một

•



•

vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng...
Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn
hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS
thực hiện các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính
toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tượng được

•

biểu diễn.
Dạng mẫu toán: Mô hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự
đoán được quy luật do một vài tính chất của nó được lặp lại.
- Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7...
- Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học:
Tổng các góc trong của một tam giác bất kì:


17

600 + 600 + 600
-

450 + 900 + 450

1200 + 350 + 250

Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ
23.25 = 28 ; 22.29 = 211 ;25.


lũy thừa cơ số 2 là:
.
Quy luật dãy số: Quy luật toán học cho trường hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối
quan hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nó trong một dãy số. Mối
quan hệ này có thể được mô tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một
số hạng bất kì khi biết vị trí của nó trong dãy số. Trong luận án này, chúng tôi
tập trung vào các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (có quy tắc tổng
quát là

an + b

, n là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy


18

luật hàm số bậc hai (có quy tắc tổng quát là
•

an 2 + bn + c

, n là vị trí của số

hạng trong dãy số).
Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), có hai loại nhiệm vụ liên
quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:
- Tổng quát hóa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng không hẳn phải
liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nó trong dãy số đủ
gần để HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bước tuần tự và có được


Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống như “Chứng minh rằng…”,
các bài toán hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả
thuyết. Các câu hỏi của bài toán thường được diễn đạt dưới dạng: “Em
tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình
… có thể trở thành những hình dạng nào…?”

•

Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tượng hình học, chỉ mối
quan hệ toán học không đổi giữa các đối tượng hình học như điểm, đường


19

thẳng, đường tròn... Các quy luật này thường được mô tả qua các tính chất, các
định lý, các công thức... trong hình học.
Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b,

Aˆ , Bˆ , Cˆ
c và số đo các góc
) trong một tam giác ABC bất kì:
Aˆ
Bˆ
Cˆ
=
=
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
1)


Chương 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chương 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy.
Chương 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận
quy nạp và ngoại suy.
Chương 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hướng phát triển chung của
giáo dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tôi quan tâm như quy luật toán,
khám phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán,
đồng thời cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề
hấp dẫn để khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt


20

Nam hiện nay. Tuy nhiên, để triển khai luận án trước hết cần có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã có từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chương 2,
chúng tôi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng
cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan
điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tôi
cũng tìm hiểu các nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến chủ đề khám phá
quy luật toán trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và
khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân
tích các kết quả có được của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở”
về mặt lý thuyết chưa được làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến
phạm vi nghiên cứu của luận án có thể được kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu
đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chương 1
để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận, chúng tôi trình bày câu trả lời cho
Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chương 2 nhằm làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất
cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này.
Kết thúc Chương 1 và Chương 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm được định



22

Chương 2
CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
Chương 2 trình bày kết quả của các nghiên cứu có liên quan và được sử dụng trong
nghiên cứu của chúng tôi. Trước hết là các nghiên cứu về hai loại suy luận có lí là
suy luận quy nạp và ngoại suy. Tiếp theo là các quan điểm về biểu diễn toán, biểu
diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Cuối cùng là các nghiên cứu liên quan
trực tiếp đến hai loại nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số và khám phá bài toán hình
học kết thúc mở. Đặc biệt, từ các kết quả khảo cứu tài liệu, một vấn đề lý thuyết nảy
sinh và trở thành Câu hỏi nghiên cứu 1 của luận án: “Những suy luận nào được sử
dụng trong quá trình tìm kiếm quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau
như thế nào?” Việc trả lời câu hỏi này sẽ được giải quyết ngay trong Chương 2 trên
cơ sở phân tích và phát triển các kết quả nghiên cứu lí thuyết đã có.
2.1. Toán học và những suy luận có lí
Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận
hợp lý từ các thông tin được cho sẵn. Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và
khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng một vai trò trung tâm trong chứng minh.
Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có
nhiều đóng góp cho giáo dục. Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi HS có
thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà HS đó đưa ra. Khi HS hình thành được
con đường này, các em sẽ cảm thấy thích thú với toán học, hiểu lí do tại sao các ý
tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến thức được kết nối và đầy sức mạnh.
Polya (1954, [66]) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn dịch và
suy luận có lí. Chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận diễn dịch nhưng ủng
hộ các giả thuyết bằng các suy luận có lí. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau,
cụ thể là:
•

2.1.1. Suy luận quy nạp
2.1.1.1. Định nghĩa
Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều có chung bản
chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc
chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp
cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro, 2007, [23]; Christu & Papageorgiu,
2007, [27]). Ví dụ như khi quan sát thấy tổng ba góc trong của một vài tam giác cụ
thể luôn bằng 180 độ, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả
thuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng
180 độ. Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lý cơ bản
trong hình học.


24

2.1.1.2. Mô hình suy luận quy nạp
Mô hình suy luận quy nạp được Polya đề xuất lần đầu gồm bốn bước (Polya, 1968,
[68]):
Quan sát những trường hợp đặc biệt;
Hình thành giả thuyết dựa trên những trường hợp đã quan sát;
Tổng quát hóa;
Xác minh giả thuyết với các trường hợp đặc biệt mới.
Reid (2002, [72]) mô tả mô hình này cụ thể hơn gồm năm bước qua những kinh
1)
2)
3)
4)

nghiệm của ông khi tiến hành quy nạp với một số trường hợp hữu hạn:
1) Thực hành với các trường hợp đặc biệt;

khác nhau để sắp xếp, hệ thống hóa các dữ liệu thu thập được, phổ biến nhất là
sử dụng bảng, sơ đồ hay danh sách các dữ liệu.

3)

Tìm kiếm và dự đoán quy luật: Quy luật được phát hiện dựa trên việc lặp lại
một cách có quy tắc của các dữ liệu. Ở bước này quy luật có thể chỉ dành cho
những trường hợp được quan sát chứ không hẳn phải áp dụng được cho tất cả


25

các trường hợp. Bước này được nhận ra bởi khả năng dự đoán về một trường
hợp chưa biết dựa trên việc phân tích các đặc trưng của các trường hợp đã biết.
4)

Hình thành giả thuyết: Phát biểu một giả thuyết từ việc nhận ra quy luật trong
các trường hợp cho sẵn.

5)

Kiểm chứng giả thuyết (với các trường hợp đặc biệt): Khi HS hình thành một
giả thuyết với sự nghi ngờ, giả thuyết được kiểm chứng trước tiên đối với
những trường hợp cụ thể đã biết.

6)

Tổng quát hóa giả thuyết: Dựa trên việc khẳng định một giả thuyết là đúng với
một vài trường hợp đặc biệt, có thể giả định rằng giả thuyết đó cũng đúng cho
nhiều trường hợp hơn. Tổng quát hóa được Polya xem như một trong những