http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GI I 205 BÀI HÌNH H C PH NG OXY

Website: http://dethithu.net sưu tầm và đăng tải
Tác giả: Hứa Lâm Phong

De

Câu 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có AD = 2AB, g i M, N l n l t là trung
đi m c a c nh AD, BC. Trên đ ng th ng MN l y đi m K sao cho N là trung đi m c a đo n th ng MK.
Tìm t a đ các đ nh A, B, C, D bi t K (5; 1) , ph ng trình đ ng th ng ch a c nh AC : 2 x  y  3  0 và
đi m A có tung đ d ng. .
http://dethithu.net
(Trích đ thi th t nh B c Ninh n m 2014)
Nh n xét và ý t

ng :

iTh

Th
http://dethithu.net

c 2)

et
u.N

Bài toán trên có th chia thành hai b c:
+ B c 1: ch ng minh AC  KD (dùng gi thi t quan tr ng này đ làm ti p b

AC.KD  0 thành AC.MD  0 (Ta s dùng quy t c “chèn đi m” đ t o ra các tích vô h

ng b ng 0 ho c các

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

1


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
c nh có đ dài và h p góc c th ).
Cách 5: Ta c ng có th ch ng minh “đi m thu c đ ng tròn” d a trên cách ch ng minh t giác
n i ti p. C th trong bài này ta s ch ng minh “H nhìn AK d i m t góc vuông”  Xét th y “M c ng
đang nhìn AK d i m t góc vuông ”  Ta s ch ng minh AMHK là t giác n i ti p  ta c n ch ng

De

minh DAC  MKD (2 góc liên ti p cùng nhìn 1 c nh MH b ng nhau) (vi c ch ng minh này c ng t ng t
nh cách 1 và cách 2).
Cách 6: Ta có th v n d ng “đ nh lý đ o Pytago” đ ch ng minh HCD  H  AC  KD 
đ th c hi n đi u này b n c n tính s đo c a 3 c nh HC, HD, CD theo 1 c nh còn l i ho c m t c nh cho
tr c đ ng th i v n d ng “đ nh lý thu n Thales” do xét th y IC  KD = H và IK // CD).
Ngoài ra các b n còn có th ch ng minh b ng cách “gián ti p đ i đ ng” chuy n t bài toán
ch ng minh vuông góc sang song song, ho c ch ng minh trong tam giác vuông đ ng trung tuy n xu t phát
t đ nh có góc vuông b ng n a c nh huy n, v,v,…
B
+H

http://dethithu.net


_ Có t a đ tâm I (là trung đi m AC và BD)  t a đ c a B và C.
ng th 2: (tìm t a đ đi m A thông qua đ dài AK)
http://dethithu.net
_ Vi t ph ng trình KD  H = KD  AC  t a đ H.
_ Tham s hóa đi m A theo đ ng AC  1 n nên c n m t ph ng trình  đ dài AK = ?
_ D a vào đ nh lý thu n Thales cách 6 ta tính đ c đ dài

iTh

+H

ng th ng AD qua đi m D và có véct

AK.

4
AH  AC

2
CD  KI

5
3
_ Có t a đ đi m A 
 t a đ C  t a đ trung đi m I 
 t a đ D  t a đ B.

et
u.N








Ta có: DAC  ACD  90  KDE  ACD  90  HDC  ACD  90


Suy ra DHC  90  HCD  H  AC  KD t i H
* Cách 3: D ng h tr c Bxy nh hình v , t c nh AB = a > 0  AD = 2AB = 2a
Ta có: A(0; a ), C (2a ; 0), D(2a ; a ), K (a ; a )

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

2


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!


 AC  (2a ; a )
 AC.KD  2a 2  2a 2  0  AC  KD t i H
M t khác 

 KD  (a ; 2a )
* Cách 4: G i M = KD  BC.
Xét: AC.MD   AD  DC  .  MC  CD   AD.MC  DC.MC  AD.CD  DC.CD

iTh


CD 1

http://dethithu.net
tan DAC 



2
AD
Ta có: 
 tan DAC  tan KDE  DAC  KDE
 tan KDE  KE  1

DE 2

Suy ra t giác AMHK là t c giác n i ti p (2 góc liên ti p cùng nhìn 1 c nh b ng nhau)
Mà M nhìn AK d i m t góc vuông  H nhìn AK d i m t góc vuông  HAK  H
Suy ra AC  KD t i H
* Cách 6: G i M = KD  BC.
IH
HD IK 3
Ta có KI // CD và IC  KD = H, theo đ nh lý thu n Thales ta có:



HC HK CD 2

2
2

H ng d n gi i h ng th 1:
* G i H = AC  KD. Do KD  AC: 2x + y - 3 = 0  KD: x - 2y + m = 0.
KD qua K(5; -1)  m = -7. V y KD: x - 2y - 7 = 0

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

3


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
13

x

x
y



2
3
0


 13 11 
5
* T a đ H là nghi m c a hê: 

H ;


 y  11  2  11  1  yD  3

 D 5 3  5


2
2
* G i n  (a ; b), (a  b  0) là véct pháp tuy n c a AD.

ng th ng AD qua D có d ng là: a(x - 1) + b(y + 3) = 0

Ta có cos CAD 

AD
AD
2


2
2
AC
5
AD  CD

Th

M t khác cos CAD | cos( AD; AC ) |

| n.nAC |
| 2a  b |

 A ;

 5 5 
3x  4 y  9  0
 y  27

5

Lo i vì A có tung đ d ng.
http://dethithu.net
* TH2: V i AD: x - 1 = 0
2 x  y  3  0  x  1

 A1;1
Ta có A = AD  AC  T a đ A là nghi m c a h 
 x 1  0
y 1
Nh n vì A có tung đ d ng.
Do M là trung đi m AD  M(1; - 1).

G i I là tâm hình ch nh t ABCD, ta có MK  3MI  I (2; 1)

M t khác I là trung đi m AC và BD  B(3;1) và C(3; -3)
V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3)

H ng d n gi i h ng th 2:
* G i H = AC  KD. Do KD  AC: 2x + y - 3 = 0  KD: x - 2y + m = 0.
KD qua K(5; -1)  m = -7. V y KD: x - 2y - 7 = 0
13



3

4 1

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

4


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
 a  1(n)
3
Suy ra AK  20  (a  5)  (4  2a )  20  
a  . V y A(1;1) .
21
 a  (l )
2
5

AC 3IC
AC 3 AC


IH
HD IK 3
AH AI  IH
5  2
10  4
* L i có

 C (3; 3)
4
 y  1  5  11  1  yC  3
C



4 5


* G i I là tâm hình ch nh t ABCD  I là trung đi m AC và BD và I(2;-1)

Ta có

2
IK 3
I (2; 1)
  CD  IK  D(1; 3) 
 B(3;1)
3
CD 2

Th

L i bình: Có th th y bài toán đã v n d ng linh ho t r t nhi u k thu t, ph ng pháp đ gi i quy t các
đ i t ng c n tìm. V ph n ch ng minh vuông góc, nh các b n đã th y, v i nhi u ph ng án ti p c n khác
nhau chúng ta có nhi u cách ch ng minh khác nhau. Và sau khi đã ch ng minh đ c AC  KD thì c 2
h ng gi i sau đó ta th y đ c s c m nh c a vi c “v n d ng đ nh lý Thales” c ng nh cách mà chúng ta
“chuy n đ ng th c đ dài v đ ng th c véct ”.



* T gi thi t ta có BD : 7 x  4 y  5  0 .

ng trinh trên đ tìm B và C. M i b n đ c cùng xem l i

http://dethithu.net

AD đi qua A(4;0) và vuông góc v i d : 2 x  8 y  5  0 suy ra ph

ng trình AD : 4 x  y  16  0

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

5


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
7 x  4 y  5  0

x  3

 D(3; 4)
 y  4
 4 x  y  16  0

* T a đ D th a mãn h 

* G i I (a ; b) là giao đi m c a 2 đ

 C (2a  4; 2b)


Câu 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy l n CD. Các đ ng th ng AC, BD l n
l t có ph ng trinh 2 x  y  1  0 và x  2 y  1  0 . G i M là trung đi m c a AB. Xác đ nh t a đ các đ nh
A, B, C, D bi t đ ng DM có ph ng trinh 3x  8 y  11  0 và B có hoành đ âm.
(Trích đ thi th THPT Nguy n

Nh n xét và ý t

c M u, Ngh An, n m 2013)

ng :

et
u.N

iTh
_ D dàng tìm đ c t a đ D do D  DB  DM và đ ng th i đi m m i I v i I  AC  BD .
_ Do tính ch t c a hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy ra tam giác IAB cân t i I. Vì v y MI
vuông góc AB.
_ Ta có th tham s A theo AC, B theo BD (2 n nên c n 2 ph ng trinh) và bi u di n t a đ M theo t a
đ A và B. Do M thu c DM nên ta đ c pt (1). M t khác MI vuông AB (pt (2)). T đây gi i (1) và (2) ta
tìm đ c t a đ A và B.
_ Khi đó C  CD  AC nên ta ch c n l p ph ng trinh đ ng th ng CD qua D và CD // AB.
H ng d n gi i :

http://dethithu.net

 x  2 y 1  0
 x7


 a  2b  1 2a  b  1 
 A AC  A(a ;1  2a )
;

* Ta có 
. Ta l i có M là trung đi m AB nên M 

2
2


 B  BD  B(1  2b; b)
13a  2b  11

  a b  0
 IM  AB
 a 1

suy ra A(1;3), B(3; 1)
* M t khác, 
   a  b  2  
3
 M  DM
b  1


1
b 

2

_ M t khác C c ng là giao đi m gi a MI và đ ng tròn (C) nên ta ch c n vi t ph ng trinh MI.
http://dethithu.net
H ng d n gi i :
* (C) có tâm I (0; 2) và bán kinh R = 2 2 . G i t a đ đi m M (m; 2m  1)
* Do tam giác ABC đ u n i ti p (C) nên
 m 1
R
2
2
2
IM   m  (2m  3)  2  5m  12m  7  0  
m  7
2
5

http://dethithu.net
* V i m = 1 suy ra M(1; 1)

Khi đó, AB qua M và nh n IM  (1; 1) có ph

M t khác ph

ng trinh: x  y  0

ng trình MC là MC : x  y  2  0 .

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

7



Khi đó, AB qua M và nh n IM   ;

M t khác ph

ng trinh: 7 x  y  2  0

ng trình MC là MC : x  7 y  14  0 .


14
12

x
,y





x
y
7
14
5
5
Do đó t a đ C th a mãn h 

 2
2



iTh

Câu 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC. Bi t ph ng trình các đ ng th ng ch a đ ng
cao BH, phân giác trong AD l n l t là 3x + 4y + 10 = 0, x – y + 1 = 0; đi m M(0; 2) thu c đ ng th ng
AB và MC = 2 . Tìm t a đ các đ nh tam giác ABC bi t r ng C có hoành đ nguyên.
(Trích đ thi th THPT Tuy Ph c, Bình nh, n m 2013)

et
u.N

Nh n xét và ý t ng :
_ D a vào tinh ch t c a phân giác ta d dàng tìm đ c đi m m i N (b n đ c có th xem l i ch ng 2 đ
hi u rõ h n).
_ Khi đó ta d dàng vi t đ c ph ng trinh AC vuông góc BH và qua N. ng th i tìm đ c đi m A do A
là giao đi m gi a AC và AD.
_ T i đây thì vi c tìm t a đ B b ng cách t ng giao 2 đ ng AB và BH (vi t ph ng trinh AB qua A và
M). V i t a đ C thì ta có th tham s hóa C theo đ ng AC và s d ng gi thi t MC  2 đ gi i tìm t a
đ C. M i b n đ c xem l i gi i.
http://dethithu.net
H ng d n gi i:

* G i N là đi m đ i x ng v i M qua AD, đ
trình là: x  y  2  0 .

ng th ng MN qua M(0; 2) và vuông góc AD có ph

ng


ng th ng AB qua A và M có ph ng trình là 3x  4 y  8  0 .

Ta có t a đ A th a mãn h 
*

De


 x  3
1 
 3x  4 y  8  0


Ta có t a đ B th a mãn h 

1  B  3; 
4 
y

3 x  4 y  10  0

4


* Ta có MC  2 nên C thu c đ ng tròn (C) tâm M, bán kinh MC  2 . Ngoài ra C thu c AC nên
t a đ C là nghi m c a h :

Th

 x  1, y  1


1 
 , C (1;1)
4

iTh

Câu 6. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có A(5; 7) , đi m C thu c đ
ng th ng đi qua D và trung đi m c a đo n th ng AB có ph
th ng có ph ng trinh x  y  4  0 .
trình 3x  4 y  23  0 . Tìm t a đ đi m B và C, Bi t B có hoành đ d ng.

ng
ng

(Trích đ thi th THPT Chuyên V nh Phúc, n m 2014)

Nh n xét và ý t ng :
_ Ta liên h quan h gi a 4 đi m đ c bi t A, M, C, D b ng cách cho AC c t DM t i I.
_ V n d ng đ nh lý Thales thu n quen thu c ta có đ

c t s đ dài gi a các c nh

CD IC ID


 2. T
AM IA IM

et

http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

M t khác I thu c DM nên ta có 3




* Ta có M thu c MD  M  m;

c  10
c  10
4
 23  0  c  1  C (1;5)
3
3

3m  23 
3m  9 

  B  2m  5;

4 
2 


De


3m  5 


; 
 5 5 

ng nên ta nh n B 

 33 21 
;  , C (1;5)
 5 5

Th

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là B 

Câu 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12 . Tâm I là giao đi m c a
hai đ

ng th ng

đi m c a

d1 : x  y  3  0

và đ

ng th ng

d2 : x  y  6  0

. Trung đi m c a c nh AD là giao


 M (3;0)
G i M là trung đi m c a AD, T a đ c a M là nghi m c a h 
x  y  3  0
Suy ra AB = 2 IM = 3 2 .

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

10


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* M t khác SABCD  AB. AD  AD  SABCD  12  2 2 .
AB

3 2

Vì M, I cùng thu c d1 suy ra AD  d1 .
V y AD đi qua đi m M và nh n n  (1;1) làm vtpt có ph
* L i có MA = MD =

AD

2

ng trình: x  3  y  0  x  y  3  0 .


x  y  3  0
.
2 . T a đ đi m A, D là nghi m c a h 


(Trích đ thi th kh i A, THPT B m S n, Thanh Hóa, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

iTh

http://dethithu.net

et
u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ đi m B do B  BD  AB . Ngoài vi c s d ng các đ ng th ng tìm đi m m i ta
còn có th tính góc gi a các đ ng đ tìm quan h gi a các c nh t đó chuy n v quan h đ dài và di n
t ch. C th trong bài này là cos ABD  cos( AB; BD)  ?  tan ABD 

AD
và
AB

SABCD  AD. AB .

_ n đây ta có th tham s hóa D theo BD ho c A theo AB đ liên h đ dài AD ho c AB.
_ Khi đã có t a đ đi m D ta có th vi t ph ng trình AD qua D vuông góc AB đ t đó tìm d dàng t a
đ đi m A  AD  AB . n đây ta có th dùng quan h vecto đ tìm đi m C th a AB  DC
H ng d n gi i :

http://dethithu.net


 d 6
|11d  11|
 11  
5
 d  4

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

11


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* V i d = 6 suy ra D(6; 9). Ph

ng trình AD đi qua A, vuông góc v i AB là 4 x  3 y  3  0

 3 1 
 38 39 
 A  AD  AB   ;   C  ; 
 5 5
 5 5 
* V i d = -4 suy ra D(-4; -11). Ph

ng trình AD đi qua A, vuông góc v i AB là 4 x  3 y  17  0

 13 11 
 28 49 
 A  AD  AB   ;
;

I ( 5;1) . Tìm t a đ các đ nh A, B, C

Nh n xét và ý t

(Trích đ thi th THPT Hà Trung, Thanh Hóa, n m 2013)

ng :

iTh

http://dethithu.net

et
u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ A (giao đi m AH và AM).
ng th i ta có th vi t ph ng trình IM // AH và
qua H (do tính ch t đ c bi t c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
_ Khi đó M chinh là giao đi m c a IM và AM nên tìm đ c t a đ c a đi m M.
_ n đây ta đã có th vi t ph ng trình đ ng BC qua M và vuông AH.
_ T a đ B và C chinh là giao đi m gi a BC và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
H ng d n gi i :
 x  2 y  13  0

 x  3

 A(3; 8)
 y  8
13x  6 y  9  0
* Ta có IM qua I(-5;1) và song song AH. Ph ng trình IM là x  2 y  7  0 .

Câu 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C ) : ( x  1)  ( y  2)  1 . Ch ng minh r ng t đi m
M b t k trên đ ng th ng d : x  y  3  0 luôn k đ c hai ti p tuy n đ n đ ng tròn (C). G i hai ti p
2

đi m A, B. Tìm t a đ đi m M đ kho ng cách t J (1;1) đ n đ

2

ng th ng AB b ng

3
2

Th

De

(Trích đ thi th kh i B, THPT Chuyên B c Ninh, n m 2013)
Nh n xét và ý t ng : ( hi u rõ cách gi i bài này b n nên tham kh o v m ng ki n th c tr c đ ng
ph ng gi a hai đ ng tròn ch đ 2.3, ch ng 2)

et
u.N

iTh

_
ch ng minh v i m i M ta đ u k đ c 2 ti p tuy n đ n đ ng tròn (C) ngh a là đ bài đang mu n
ki m tra ta có n m v ng ki n th c v xét v trí t ng đ i gi a đi m và đ ng tròn không. đây ta có th
ch ng minh theo 2 h ng nh sau

2

2

2

2

(C') : ( x  m)2  ( y  m  3)2  2m2  1
* Vì  A; B  (C) (C ') suy ra t a đ A, B đ u th a ph

ng trình:

( x  m) 2  ( y  m  3) 2   ( x  1) 2  ( y  2) 2   2m2  (1  m) x  (1  m) y  3m  2  0

Do đó ph

ng trình đ

ng AB là AB : (1  m) x  (1  m) y  3m  2  0

 m 1
3
| m 2 |
3
2
* Theo gi thi t ta có: d [ J ; AB]  
  7 m  8m  1  0  
m  1
2

C bi t A có hoành đ l n h n

Nh n xét và ý t

http://dethithu.net

1
.
2

(Trích đ thi th kh i B, THPT Chuyên B c Ninh, n m 2013)

ng :

Th

http://dethithu.net

iTh

et
u.N

_ Bài toán có th phân tích theo hai h ng sau:
+ H ng th 1: Tham s hóa t a đ A và C theo AC và thông qua tr ng tâm G ta bi u di n t a đ
B theo A và C. Khi đó ta có 2 n nên c n 2 ph ng trình g m có pt (1) là AB = 2AC, pt (2) là AB  AC
+ H ng th 2: Vi t ph ng trình AG qua G vào khuy t vecto pháp tuy n c a AG. Ta tìm vecto
pháp tuy n đó thông qua quan h góc AGC  BCA do đã có t l c nh AB = 2AC. Khi vi t đ c ph ng
trình AG ta d dàng tìm đ c t a đ đi m A  AC  AG . n đây ta có th l p ti p ph ng trình AB qua A
vuông góc AC. S d ng công th c tr ng tâm G (ng m n 2 ph ng trình) và tham s hóa B theo AB, C theo

 a 0
1
 3a 2  4ab  0  
5
3a  4b

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

14


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
1


4
x


1
 y  0

1 4
3
Khi đó t a đ A là nghi m c a h 

 A ;  (lo i do xA  )
3
2
3 3

C  AC C (c; 2  2c)

http://dethithu.net
2  2b  c  6 b  2  B(5; 2)


b  2  2c  4  c  0 C (0; 2)

M t khác G là tr ng tâm tam giác ABC nên ta có 

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(1; 0), B(5; 2), C (0; 2)

Th

Câu 12. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC, đ ng phân giác trong c a góc A và đ ng cao k
ng th ng AC đi qua đi m M(0; -1), bi t
t đ nh C l n l t có ph ng trình x  y  0 , 2 x  y  3  0 .
AB  3AM . Tìm t a đ đ nh B.
(Trích đ thi th l n 1, THPT Chu V n An, Hà N i, n m 2014)

Nh n xét và ý t

ng :

et
u.N

iTh

http://dethithu.net


Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

15


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
(C’): ( x  1)  ( y  1)  45 .
2

2

 x  5
x  7
ho
c



2
2
 y  2
y  4
( x  1)  ( y  1)  45
x  2 y  1  0

* B  AB  (C ' )  t a đ B là nghi m c a h 

V y t a đ đi m B c n tìm là : B(7; 4) hay B(5; 2)
Câu 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho elip (E): 4 x  9 y  36 có hai tiêu đi m F1 , F2 l n l

2

Th

2
2
5
* Gi s M ( x0 ; y0 )  ( E ) ,ta có x0  y0  1 ,v i  3  x0  3 , ta có e 

9

3

4

Ta đ t P  MF12  2MF22  a  ex0   2a  ex0   3a 2  2aex0  3e2 x02
Nên P  27  2.3.

2

2

5
5
5
3 2 81 
x0  3. x02   x02  2.
x0  
3
9

4 
 3
;
* V y min P  36 khi x  3 khi đó M 

5
5
 5
ng đ

et
u.N

V y yêu c u bài toán t

http://dethithu.net

4 
 3
;
 , min P  36
5
 5

ng v i M 

Câu 14. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(3; 4) , đ ng phân giác trong góc A có
ph ng trình x  y  1  0 và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là I (1; 7) . Vi t ph ng trình c nh BC,
bi t di n tích tam giác ABC g p 4 l n di n tích tam giác IBC.
(Trích đ thi th l n 1, THPT oàn Th ng, H i D ng, n m 2014)

(C ) : ( x  1)2  ( y  7)2  25

iTh

* G i D là giao đi m th hai c a đ

ng phân giác trong góc A v i đ

( x  1)  ( y  7)  25
 D(2;3)

x  y 1  0

2

ng tròn (C). T a đ D th a mãn:

2

http://dethithu.net

* Vì AD là phân giác trong c a góc A nên D là đi m chính gi a cung nh BC. Do đó ID  BC hay
đ

ng th ng BC nh n DI  (3; 4) làm vecto pháp tuy n. Do đó ph

ng trình c nh BC là:

BC : 3 x  4 y  m  0


2

2

ng tròn (C) sao cho MA2  MB2 đ t giá tr nh nh t.

(Trích đ thi th l n 1, THPT Yên Thành 2, Ngh An, n m 2012)
Nh n xét và ý t

ng :

http://dethithu.net

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

17


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

_ V i bài toán max – min thì trong ba h ng t duy ta có th v n d ng b ng cách chuy n bi u th c đang
c n tìm max – min sang m t bi u th c khác t ng d th c hi n h n.
2
đây MA2  MB2  2MH 2  AB . Nh v y yêu c u bài toán t

_

H

Nh n xét A, B, H đ u là các đi m c đ nh. Vì v y  MA2  MB2    MH 2 
min
min

iTh

Hay M là giao đi m c a IH v i (C)
 x  5  3t
( t  R) , thay vào ph ng trình đ ng tròn ta đ c:
* IH : 
 y  4  4t
t  1  M (2;0)
t 2  3t  2  0  
.
t  2  M (1; 4)
Xét kho ng cách t ng đi m M tìm đ c đ n AB ta nh n M(2; 0)
V y t a đ đi m M c n tìm là M (2;0)

http://dethithu.net

Câu 16. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có tr c tâm H. Bi t đ

ng tròn ngo i ti p tam

2

et
u.N

giác ABC là x  y  3x  5 y  6  0 , H thu c đ ng th ng d : 3x  y  4  0 , t a đ trung đi m AB là

2 2

* Ta có tâm I  ;  . Do IM vuông góc AB nên AB nh n IM làm vecto pháp tuy n nên AB có d ng:
AB : x  y  5  0

Th

* T a đ A và B là nghi m c a h :

 x2  y2  3x  5 y  6  25
 A(3; 2), B(1; 4)

x y5  0


 a 1 b  4 
;

2 
 2

* G i C (a; b) , t a đ trung đi m N c a BC là N 

http://dethithu.net

* Do đó H thu c đ

iTh

G i D là đi m đ i x ng v i A qua I suy ra BHCD là hình binh hanh nên N là trung đi m HD.

H

ng d n gi i :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

19


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* Ta có DM : y  1  0 và d (C, DM )  1  1  2

d (C , DM ) IC MC 1
,
)  2d (C , DM )  4


  d ( ADM
d ( A, DM ) IA DA 2
* i m A thu c đ

ng th ng 5 x  y  7  0 nên A a ;5a  7 

De

2

a 
 5a  6  4


Th


2


 AD   d  5 ; 4 
* D  DM  D(d;1)  


CD   d  3; 2 


http://dethithu.net



2
5

2
Do AD  CD  AD.CD  0   d    d  3  8  0  d 

13
46
d 0
5
5

 d  2

et
u.N

 11 13 
E (7;1), F  ;  và ph
5 5

ng Th Vinh, Hà N i, n m 2014)

http://dethithu.net

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

20


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

_ V i các d ki n đang có thì ta đ t m t câu h i có th “tìm đ c đi m m i ho c ph ng trình m i không
?”. đây ta có th vi t ph ng trình EF song song BC. Tuy nhiên trong các d ki n đó thì d ki n ph ng
trình đ ng trung tuy n NC g i cho ta nhi u suy ngh ?
_ Trên đ ng th ng hi n có 2 đi m N và C nh ng n u tham s hóa chúng thì l i không liên h đ c gì v i
E và F. N u g i G là tr ng tâm tam giác ABC thì do tính ch t c a tam giác ABC cân t i A thì GE = GF (gi i
ph ng trình trên giúp tìm đ c t a đ đi m G).
_ n đây ta có th vi t ph ng trình AG vuông EF và qua G (nh m m c đích tham s hóa đi m A). Cùng
lúc đó ta có th tham s C theo NC và dùng công th c tr ng tâm G đ bi u di n t a đ B theo A và C.
_ Nh v y, ta có 2 n ph thu c theo A và C vì v y, ta c n đ n 2 ph ng trình ? (đó là nh ng ph ng trình
nào ? )

 xA  xB  xC  3xG
 B(10  a  c; 7  3a  2c)

 yA  yB  yC  3 yG

* Ta có BC  (a  2c  10;3a  4c  20) . L i có BC vuông góc AG nên

BC.uAG  0  1(a  2c 10)  3(3a  4c  20)  0  a  c  5
Suy ra B(15  2c;8  c) và EB  (8  2c;7  c), EC  (c  7;12  2c)
* Vì EB vuông góc EC nên ta có EB. EC  0  (8  2c)(c  7)  (12  2c)(7  c)  0  c  7  a  2

V y t a đ các đi m c n tìm là: A(7;9)

http://dethithu.net

et
u.N

Câu 19. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang ABCD v i hai đáy là AB và CD bi t
B(3;3), C (5;3) . Giao đi m I c a hai đ ng chéo n m trên đ ng th ng  : 2 x  y  3  0 . Xác đ nh t a đ
các đ nh còn l i c a hình thang ABCD đ CI  2BI , tam giác ACB có di n tích b ng 12, đi m I có
hoành đ d ng và đi m A có hoành đ âm.
(Trích đ thi th l n 2, THPT Nguy n Quang Diêu, ng Tháp, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net



t  1
 t  1  I (1;1)
CI  2 BI  15t 2  10t  25  0  
t   5 (ktm)
3

* Ph ng trình đ ng th ng IC : x  y  2  0

Th

Mà S ABC 

1
AC.d ( B, AC )  12  AC  6 2
2

 a  11
2
 a  1  A(1;3)
* Vì A IC  A(a ;2  a ), a  0 nên ta có a  5  36  
 a  1
Ph ng trình đ ng th ng CD : y  3  0 , IB : x  y  0

iTh

x  y  0
 x  3

 D(3; 3)

,đ
4

ng cao h t đ nh A có ph

(Trích đ thi th THPT Qu nh L u 3, Ngh An, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

_ Do BC vuông AH nên ta suy ra d ng ph

ng trình c a BC: x + y + m = 0. S d ng d ki n kho ng cách

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

22


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

t I đ n BC ta gi i tìm đ c đ ng th ng BC.
_ Khi có ph ng trình BC ta k t h p v i đ ng th ng x + 5y – 14 = 0 đ gi i tìm t a đ đi m B.
_ c bi t ta có nh n xét I thu c đ ng cao H nên suy ra H là trung đi m BC , t đây ta có H là giao đi m
gi a H và BC và suy ra t a đ C.
_ Còn v i t a đ đi m A thì chính là giao đi m AH và đ ng tròn (C) ngo i ti p tam giác ABC.
H ng d n gi i :

 y  11

4


Th

 xy6
x  4

 B  4; 2  ( tmbt)
* V i m=-6, t a đ đ nh B th a mãn h 
 x  5y  14  y  2
Khi đó ph ng trình BC: x + y – 6 = 0
* D th y AI là đ ng cao c a tam giác ABC nên chân đ ng cao c ng là trung đi m c a BC có t a đ
x  y  0
x  3

 H  3;3  C(2;4) .
là nghi m c a h 
x  y  6
y  3
* G i A(a;a) ta có

iTh


7
7 7
2


_ D th y AKEH là hình ch nh t nên ta có th tìm t a đ đi m A thông qua trung đi m HK. Ho c ta c ng
có th l p ph ng trình AB và AD và tìm giao đi m A.
Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

23


http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
_ n đây ta có th l p ph ng trình BD qua E và khuy t vecto pháp tuy n.
tìm vecto pháp tuy n trong
bài toán này kh d nh t là s d ng góc ABD b ng 45 đ .
_ Khi l p đ c ph ng trình BD ta có th tìm nhanh t a đ B và D và d dàng suy ra t a đ đi m C.
H ng d n gi i :
* Ta có EH: y – 3 = 0, EK: x – 2 = 0 suy ra AH: x + 2 = 0, AK: y – 4 = 0.
x 2  0
 A(2; 4)
Khi đó A là giao đi m c a AH và AK nên th a h : 
y 4  0

De

* Gi s n  a ; b  ,  a 2  b 2  0  là VTPT c a đ

ng th ng BD .

Có: ABD  45 nên:
0

a




 ED   1;1

 EB  4ED  E n m ngoài đo n BD (lo i)

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A 2; 4  ; B  2; 1 ; C  3; 1 ; D  3; 4 

iTh

Câu 22. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC, đ ng trung tuy n k t đ nh B và đ ng phân
ng th ng AB đi qua
giác trong c a góc ABC l n l t có ph ng trình là x  2 y  3  0, x  y  2  0 .
đi m M (1; 2) , đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kinh b ng 5 . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác
ABC, bi t đ nh A có tung đ d ng.
(Trích đ thi th l n 3, THPT H ng Quang, H i D ng, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

et
u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ đi m B (do là giao đi m c a BD và BI).
_ T ng t nh nh ng bài tr c, ta d a vào tính ch t c a đ ng phân giác trong đ tìm đ c đi m m i N.
ng th i khi đó ta d dàng vi t đ ng AB và BC.
_ Khi đó ta tham s hóa đi m A theo đ ng AB, C theo đ ng BC. (2 n nên c n 2 ph ng trình) v y đó
là ph ng trình nào ?

 x y 2  0

De

* G i N là đi m đ i x ng c a M qua d 2 . i m M thu c AB suy ra N thu c AC.
MN vuông góc d 2 và MN qua M nên có d ng: x  y  1  0 .

x  y  2  0
1 3
I ;  .
Khi đó H  MN  d 2  
2 2
 x  y 1  0

Do M và N đ i x ng qua d 2 nên H là trung đi m MN suy ra N (0;1)  AC

Th

 AB : x  1  0
V i các đi m B(1;1), M (1; 2), N (0;1)  
 BC : y  1  0

 1 c a 1 
;
 .
2 
 2

* G i A(1; a), C(c; 1), t a đ trung đi m I c a đo n AC là I 


ng chéo AC, BD vuông góc v i nhau t i I (2;3) . Vi t ph ng trình

đ
đ

et
u.N

Câu 23. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang cân ABCD có di n tích b ng

ng th ng x  3 y  3  0 . Bi t hai đ
ng th ng ch a c nh BC, bi t đi m C có hoành đ d ng.
(Trích đ thi th l n 2, THPT T ng Duy Tân, Thanh Hóa, n m 2014)
H

ng d n gi i :

* Do ABCD là hình thang cân v i đáy l n CD và hai đ
tam giác ICD vuông cân t i I.

ng chéo AC và BD vuông góc v i nhau nên

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

25