SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN : TOÁN 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số y 

2 x  3
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
x2

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3x 2  4 trên đoạn  2;1 .
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình  2sin x  1





3 sin x  2 cos x  1  sin 2 x  cos x

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn An2  3Cn2  15  5n .
20

ET

1 

Tính thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD,

VIE

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có AD  2 AB. Điểm
 31 17 
H  ;  là điểm đối xứng của điểm B qua đường chéo AC . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
 5 5

ABCD , biết phương trình CD : x  y  10  0 và C có tung độ âm.
8 x3  y  2  y y  2  2 x

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
y  2  1 2 x  1  8 x3  13  y  2   82 x  29







Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  2, y  1, z  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P 

1
2 x 2  y 2  z 2  2  2 x  y  3



1


x 2

1

2

x 2

Đồ thị có tiệm cận đứng x  2; tiệm cận ngang y  2.
7
y'  
 0x  2  Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  ,  2;   và
2
 x  2
không có cực trị.
Bảng biến thiên
 2

x

y'


 2
y

2

Đồ thị

0,25

3 sin x  2 cos x  1  cos x  2sin x  1



0,25

3 sin x  cos x  1  0

 2sin x  1  0

 3 sin x  cos x  1  0

0,25



x    k 2

1
6
+) 2sin x  1  0  sin x    
2
 x  7   k 2

6

0,25


20  k

0,25

0,25

k

k 20  k 20 3 k
 1 
k
  2   C20  1 2 x
 x 
5 15 5
Ta phải có 20  3k  5  k  5  Số hạng chứa x 5 là C20
2 x

Khai triển P  x  có số hạng tổng quát C20k  2 x 

0,25

0,25
0,25


5

 10 10 
Gọi M là trung điểm của BC . Ta có AG   ;   .
3


a)

6
b)

tan   1
4

tan   1 tan 2 
2  1 4
P
  2.
2  1 4
5
Số phần tử của không gian mẫu là n     C20
P

0,25
0,25

Gọi A là biến cố “Chọn được 5 thành viên, sao cho mỗi câu lạc bộ có ít nhất 1 thành
viên”
Số kết quả thuận lợi cho A là C105  C105  504.
504 625
Xác suất của biến cố A là P  A  1  5 
.
C20 646
Gọi I là trung điểm của AD. Tam giác SAD là tam
S


BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên  d  .
BD / /  SAH   d  BD, SA  d  BD,  SAH  

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

 d  D,  SAH    2d  I ,  SAH  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên SH  IK   SAH   d  I ,  SAH    IH
Ta có IH 

5
a 6
a 6
a  IK 
 d  SA, BD  
.
5
6
3
H


 cos ACD 
5
5

2 5
5

0,25






 sin HCD  sin ACD  ACH 

Ta có d  H , CD  

3
5

18 2
18 2 5
 HC 
.  6 2.
5
5 3

65 
 31


 B  1;1 .
b  1

Tìm được A  2; 4  , D  8; 2  .

0,25

1

2 x  1  0
x  
Điều kiện: 

2
y  2  0

y  2

Phương trình 8 x3  y  2  y y  2  2 x   2 x    2 x  
3





3

y2  y2


2


2
 2 x  1  4 x  24 x  29  0

Giải phương trình: 2 x  1  4 x 2  24 x  29  0
Đặt t  2 x  1, t  0  2 x  t 2  1.
Ta được phương trình: t   t 2  1  12  t 2  1  29  0  t 4  14t 2  t  42  0
2

t  2

t  3  loai 

  t  2  t  3  t 2  t  7   0  t  1  29  loai 
2

 1  29
t 

2

3/4

0,25


3
 y  11


2

 a  b
a 2  b2  c 2  1 

2

2

 c  1




1
 a  1 b  1 c  1

0,25

2

1
2
Ta có
  a  b  c  1
2
2
4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .

Xét hàm f (t )  
3
t (t  2)
t
(t  2) 4

10

0,25

f '(t )  0  (t  2)4  81.t 2  t 2  5t  4  0  t  4 ( Do t  1 ).
lim f (t )  0

t 

Ta có BBT.

t

1

f 't 

+

4
0


-

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016-LẦN 2
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y 

x  1
2x  3

Câu 2 (1,0 điểm).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : f  x   x  18  x 2 .
Câu 3 (1,0 điểm).
sin  sin 2  2 cos3   2cos 5 
4
 
a) Cho    ;   và sin   . Tính giá trị biểu thức P 
5
sin  cos 2  sin 5 
2 
b) Giải phương trình : cos 2 x  1  2 cos x  sin x  cos x   0
2

 x  1  log

ET

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình : log 3  x  5  log 9  x  2   log


TM

Câu 7 (1,0 điểm).
Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên  SAB  nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho
BH  2 AH . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách
từ điểm H đến mặt phẳng  SCD  .
Câu 8 (1,0 điểm)..
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; 4  , tiếp tuyến tại A của đường tròn

VIE

ADB là d : x  y  2  0 ,
ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của góc 
điểm M  4 ;1 thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB .
 x3  y 3  8 x  8 y  3 x 2  3 y 2
2
3
2
 5 x  5 y  10  y  7   2 y  6  x  2  x  13 y  6 x  32

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình : 

Câu 10 (1,0 điểm).Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :

T

4




Sự biến thiên. :

1,0

x  1
2x  3

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y 

5
3
3
+ CBT y ' 
 0, x  D  Hàm số nghịch biến trên (;  ) và ( ; ) .
2
2
2
(2 x  3)

0,25

+Hàm số không có CĐ, CT
+Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận

1 (1,0 đ)



x





-

y’
y



3
2



||

-

1
2

0.25






I
-2

0,25

-4

-6

-8

-10

Câu 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : f  x   x  18  x 2 .

1,0


Hàm số xác định và liên tục trên D   3 2;3 2 


2 (1,0 đ)

Ta có f   x   1 






0,25



f  x   f 3 2  3 2

0,25

4
 
a) Cho    ;   và sin   . Tính giá trị biểu thức
5
2 
sin  sin 2  2 cos3   2cos 5 
P
sin  cos 2  sin 5 
Ta có
2sin 2  .cos   2 cos3  1  cos 2  
2sin 2  .cos   2 cos3  sin 2 

P
sin   cos 2   sin 2   cos 2   sin 2    sin 5 
sin   cos 2   sin 2    sin 5 

3.(1,0đ)

2sin 2  .cos  1  cos2  

2sin 4  .cos 
 2 tan 3  1

. Đáp số P  


27
27
3
 5
b) Giải phương trình : cos 2 x  1  2 cos x  sin x  cos x   0

0,25

0,5

Phương trình đã cho   cos 2 x  sin 2 x   1  2 cos x  sin x  cos x   0

  cos x  sin x   cos x  sin x   1  2cos x    0

0,25

 cos x  sin x   cos x  sin x   1  2 cos x   0   cos x  sin x  sin x  1  cos x   0


 tan x  1
x   k

cos x  sin x  0
4

( k  )
sin x  1  cos x  0   2 sin  x     1  

3

1,0

2

x  5  0
 x  5

x  1
2

Điều kiện  x  2   0   x  2  
x  2
x 1  0
x  1



0,25
2

Với điều kiện đó phương trình  log 3  x  5   log3 x  2  log 3  x  1  log 3 2
2

2

 log 3  x  5  x  2   log 3  2  x  1    x  5  x  2  2  x  1



x 
6

1  97
Vậy phương trình có ba nghiệm: x  3, x  4 và x 
6

0,25

8

3 

a) Tìm hệ số của x 6 trong khai triển của biểu thức :  2x 2 
 .
x

8

8k

k

32 5 k
8
 3 
k 8k k
k
2
C



5 (1,0 đ)

1,0

b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n   và n  3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135
đường chéo .
n  n  3
Số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là Cn2  n 
2
n  n  3
 n  18
Từ giả thiết ta có phương trình
 135  n 2  3n  270  0  
2
 n  15
Do n   và n  3 . Nên ta tìm được giá trị cần tìm n  18

Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy  , cho hình vuông ABCD ,
biết hai đỉnh A 1; 1 , B  3;0  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D


Gọi C  x0 ; y0  , khi đó AB   2;1 , BC   x0  3; y0 

0,25

0,25

0,25


0,25

0,25
0,25

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên  SAB  nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc
đoạn AB sao cho BH  2 AH . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 600 . Tính thể tích khối
chóp S .ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SCD  .

1,0

  600
Vì SC tạo với đáy một góc 600 , suy ra SCH
4 13
4 13
64 4 13
8

Ta có: HB   HC  42 
 SH 
.tan 600 
3
3
9
3
3

0,25

1
1
3
1
16
Trong SHK ta có:


 2  2 
 HI  13
2
2
2
HI
4 .13 4 13.4 2
SH
HK
 d ( H , ( SCD))  13 .

0,25
0,25

0,25

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; 4  , tiếp

tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân
ADB là d : x  y  2  0 , điểm M  4;1 thuộc cạnh AC . Viết
giác trong của góc 
phương trình đường thẳng AB .

cung 
A

 AFD
EF  AE  AF

1,0

0,25



8 .(1,0 đ) Ta có AC ( 5; 3) suy ra vtpt của AC là n AC  (3; 5)

 pt AC : 3( x  1)  5( y  4)  0  3x  5 y  17  0
7

x
3x  5 y  17  0

2  F ( 7 ; 11 )
Tọa độ F là nghiệm của hệ: 

2 2
x  y  2  0
 y  11

2

7

2 2


3 5
 AE  (  ;  )  vtpt của AB là nAB  (5; 3)
2 2
 pt AB : 5( x  1)  3( y  4)  0  5x  3 y  7  0
Câu 9. Giải hệ phương trình
 x3  y 3  8x  8 y  3x 2  3 y 2
: 2
3
2
 5 x  5 y  10 y  7   2 y  6  x  2  x  13 y  6 x  32
x  2  0
 x  2
Điều kiện : 

 y  7  0  y  7





3

3

Từ phương trình 1 ta có  x  1  5  x  1   y  1  5  y  1

0,25


 5 x 2  5 x  10

 x  2 





Đ/K x  2



x  2  2  x3  2 x 2  5 x  10  5 

2x  6 
2
   x  2   x  5
x22

 x7 3
 5 x 2  5 x  10

2x  6

  x2  5   0
 x  2 
x2 2
 x7 3


1
10  
  2x  6  
   0 (pt này vô nghiệm)
  5
x  5x 
 
  x  7  3 5   
x2 2 2
 0,x 2    0,x2  

0,25

 0, x2

 0,x2

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất :  x; y    2; 2 
Câu10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :

T

4
4
4
1 1 1


  

2
aa
a  a2
 2
5a  1
 1
 18a  3, a   0; 
Từ đó suy ra :
2
aa
 2

Ta có

0,25


Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự:
5b  1
5c  1
 1
 1
 18b  3, b   0;  và
 18c  3, c   0; 
2
2
b b
cc
 2
 2


   bằng 9 và đạt được khi và chỉ
ab bc ca a b c

1
3

Chú ý: Để có được bất đẳng thức

0,25

5a  1
 1
 18a  3, a   0;  ta đã sử dụng phương
2
aa
 2

pháp tiếp tuyến
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm
nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

Câu 4, a) (0,5 điểm) Trong dịp ra quân chăm sóc di tích Đình Đĩnh Lự (Tân Lộc – Lộc Hà – Hà Tĩnh ) đội
thanh niên tình nguyện của Đoàn trường THPT Nguyễn Văn Trỗi gồm 14 đoàn viên trong đó có 6 đoàn
viên nam 8 đoàn viên nữ trong đó có 2 đoàn viên nam là Ủy viên Ban chấp hành. Cần chọn ngẩu nhiên
một nhóm 3 đoàn viên làm nhiệm vụ thắp hương.Tính xác suất sao cho trong 3 đoàn viên được chọn có

THS

nam, nữ và Ủy viên ban chấp hành.

b) (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = log 2 5 − log 1 12 − log 2 15 .
2

Câu 5. a) (0,5 điểm) Tìm số hạng chứa x 6 của đa thức P( x ) = 25 x 6 + x3 (1 + x ) .
2
π
= 0 với x ≠ k , k ∈ Z .
sin 2 x
2

TM
A

b) (0,5 điểm) Chứng minh: tan x + cot x −

4

Câu 6. (1 điểm) Giải phương trình: x + 9 + log 2
2

16 x 2 + 96 x + 208


TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI – HÀ TĨNH
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN I - KỲ THI THPT QUÔC GIA
NĂM HỌC 2015 – 2016 - MÔN TOÁN
Câu

Điểm

Nội dung
•TXĐ: D = R \ {2}

0,25đ

• Sự biến thiên
+ Giới hạn – tiệm cận:
lim y = 1 suy ra đường y = 1 là tiệm cận ngang.

x →±∞

lim y = +∞ , lim− y = −∞ suy ra đường x = 2 là tiệm cận đứng.

x → 2+

x →2

Câu 1 a (1 điểm)

+) Chiều biến thiên: Ta có: y ' =

−1

0,25đ

Câu 2 (1 điểm)

Câu 1b (1 điểm)

• Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm

Câu 3a
(0.5
điểm)

1
(0; ), (1;0), (3; 2)
2

0,25đ

Tại điểm có hoành độ x = 3 ta có tung độ tương ứng là y = 2

0,25đ

y' =

−1

( x − 2)

2


⇔
⇔ x = kπ , k ∈ Z
cos x = 1

2x

2

− x−4

= 4x ⇔ 2x

2

− x−4

0,25đ

0,25đ

= 22 x ⇔ x 2 − x − 4 = 2 x

 x = −1
x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ 
x = 4

0,25đ

Câu 4a (0.5 điểm)


15

0,25đ

(

Ta có: P( x ) = 25 x 6 + x3 (1 + x ) = 25 x 4 + x 3 C40 + C41 .x + C42 .x 2 + C43 x3 + C44 x 4
4

(

)
0,25đ

)

= C40 x3 + C41 x 4 + C42 x5 + 25 + C43 x 6 + C44 x 7

(

)

Nên số hạng chứa x 6 là 25 + C43 x 6 = ( 25 + 4 ) x 6 = 29 x 6
Với x ≠ k

Câu 5b (0.5 điểm)

0,25đ

= log 2 5.12 − log 2 15

−
=
−
= 0 , điều phải chứng minh.
1
sin
2
x
s
in2x
sin
2x
s in2x
2

Điếu kiện x ≥ −

0,25đ

4
3

Ta có x 2 + 9 + log 2

16 x 2 + 96 x + 208
= 2 3x + 4 − 6 x + 3 5 x + 9
12 x + 16 + 45 x + 81

(


)

x + 6 x + 13 = 2 3 x + 4 + 3 5 x + 9

0,25đ

2

Câu 6 (1 điểm)

⇔ x 2 + x + 2 ( x + 2) − 3 x + 4  + 3 ( x + 3) − 5 x + 9  = 0

(

2

(

2

)

⇔ x +x +

(

2 x2 + x

x + 2 + 3x + 4


3
x + 3 + 5x + 9

2
x + 2 + 3x + 4

+

]=0

3
x + 3 + 5x + 9

> 0 ∀x ≥ −

4
3

⇔ x = 0; x = −1

0,25đ

Đối chiếu với điều kiện ban đầu suy ra phương trình có nghiệm x = 0, x = −1
Ta

BC =

có

( 2a )


Gọi O là giao điểm của AC và BD ,

G
D
H

H là hình chiếu vuông góc của G

O

B

lên mp ( ABCD )

thì ta có

C
1
a
GH = SA = ,thể tích khối chóp G. ABC
3
3

là

1
1
a3 3
VG. ABC = .GH . S ABCD =

2

a 17
 4a   a 
CG =   +   =
,gọi N là trung điểm SD do SB = a 2 + a 2 = a 2
3
 3  3

SD = a 2 + 3a 2 = 2a nên BG =
=> BG =

2
2 2 SA2 + 2 BD 2 − SD 2
BN =
3
3
4

2 4 a 2 + 8a 2 − 4 a 2 2 a 2
=
3
4
3

Áp dụng định lí cô sin trong tam giác BGC ta có



Ta có ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) => ( x + y + z ) = 3 + 2 ( xy + yz + zx )

.
xy
yz
zx
x
y
z


Câu 9 (1 điểm)


x3 + y3 + z 3 1 
1
Suy ra
≥ +
 3 − ( xy + yz + zx ) 
9 xyz
3  xy + yz + zx  

0,25đ

Từ đó ta có


1 
1
3
P ≤ 3 + 2 ( xy + yz + zx ) − − 
 3 − ( xy + yz + zx )  +


0,25đ