Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

MỤC LỤC
I. Phần mở đầu.

2

1. Lí do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3. Đối tượng nghiên cứu

2

4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

II. Phần nội dung



19
21

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Môn toán là môn khoa học tự nhiên, đây là môn học khó dạy, khó học,
mà toán cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại, hay
bỏ bài tập dạng này. Vì thế tôi viết đề tài này nhằm giúp học sinh hệ thống
kiến thức và phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết phân loại
và vận dụng phương pháp giải bài toán cực trị một cách nhanh chóng và có
hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng
tạo trong học tập.
2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh
giỏi toán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải viết đề
tài phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số.
Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả
năng sáng tạo cho học sinh.

toán cực trị. Vì nội dung về bài toán cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên
trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số).
2. THỰC TRẠNG :
2.1. Thuận lợi -khó khăn:
-Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7
đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm
cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tôi khá tâm đắc với đề tài .
-Khó khăn: Bài toán cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và
phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học
sinh thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách
bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị...
2.2. Thành công - hạn chế :
-Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng
toán cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt
hơn rất nhiều. Đó chính là sự thành công mà đề tài mang lại.
-Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học
sinh yếu kém.
2.3 Mặt mạnh - mặt yếu:
-Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn
giản đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc
dễ hiểu.
-Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tôi
còn hạn chế nên viết đề tài khá lâu.
2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố .
Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học
sinh thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước
giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn.
-Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc
học tốt môn toán cũng như các môn học khác.
-Ngoài ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi

của biểu thức Q( x); Q( x; y;...) được kí hiệu minQ=n . Nếu thõa mãn hai điều
kiện sau :
+ Với mọi x hay x; y để Q( x); Q( x; y;...) được xác định thì
Q( x) ≥ n; Q( x; y;...) ≥ n ( n là hằng số )

(3)1.

+ Tồn tại ( xο );( xο ; yο ; ...) sao cho Q( x) = n; Q( x; y;...) = n

(4)

Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất
Maximus (Max) là lớn nhất.
Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau :
Phần 1. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 7.
Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ
TRỊ TUYỆT ĐỐI
Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối.
x khi x ≥0

{-x khi x
3
2014
≥0⇒ B =−
+ 2x − ≥ −
. Dấu " = " xảy ra khi
4
2015
4
2015
3
3
2x − = 0 ⇔ x = .
4
8

Do 2 x −

Vậy Bmin = −

2014
3
⇔x= .
2015
8

Ví dụ 2. Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a) C = −3 x − 2020 + 2015
b) D =

2015


2015
2014
⇔x=
.
2017
2015

* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức
a) M = 2020 + 3x − 309
b) N = 2 2 x −

4
− 2015
3

Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
a) P = − 0,75 − x + 3,67

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

5


Sáng kiến kinh nghiệm

b) Q = 2015 −

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)


Vậy Emin = 4029 khi 

 2014 − x ≥ 0

b)

 x ≥ −2015

⇔

 x ≤ 2014

⇔ −2015 ≤ x ≤ 2014

Tương tự như trên học sinh trình bày cách giải. Kết quả :
Fmin =

4027
−2013
2014
⇔
≤x≤
2015
2015
2015

Ví dụ 4. Tìm GTLN của biểu thức sau :
G = x − 1008 + x + 1007


Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng T =  f ( x )  + k ( k là hằng
số )
2
2
Vì  f ( x )  ≥ 0 ⇒  f ( x )  + k ≥ k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi f ( x ) = 0 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi f ( x ) = 0 hay TMIN = k ⇔ f ( x ) = 0
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 4 x 2 − 16 x + 1024
Giải
Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số
Ta có

) ( )

(

2
A = 4 x 2 − 16 x + 1024 = 4( x 2 − 4 x + 256) = 4 x 2 − 4 x + 4 + 252 = 4 x − 2 + 1008

Vì ( x − 2 ) ≥ 0 ⇒ 4 ( x − 2 ) + 1008 ≥ 1008
2

2

Vậy AMIN = 1008 ⇔ x = 2
2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức
2

Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng T = −  f ( x )  + k
2

3

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

7
3

Vì ( x + 1) ≥ 0 ⇒ −3 ( x + 1) ≤ 0 ⇒ −3 ( x + 1) + ≤
2

2

2

7
3

7
3

Vậy BMAX = ⇔ x = −1
3.Tìm GTLN, GTNN của đa thức cao hơn bậc hai
Phương pháp giải : Ta có thể đặt ẩn phụ, hoặc biến đổi đưa về dạng 1, 2.
Ví dụ 3. Tìm GTNN của C = ( x − 7 ) ( x − 4 ) ( x − 3) x
Giải

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
2.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nhiều biến
Phương pháp giải : Tìm GTLN, GTNN lưu ý hằng đẳng thức
2
2
( a + b + c ) , ( a − b − c ) ,...

Ví dụ 4. Tìm x, y sao cho A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2015 có GTNN
Giải
Ta có
A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2015

(

)

= x 2 − 6 xy + 9 y 2 + 4 x − 12 y + 4 + x 2 − 10 x + 25 + 1986
2

2

= ( x − 3 y ) + 4 ( x − 3 y ) + 4 + ( x − 5 ) + 1986
2

2

= ( x − 3 y + 2 ) + ( x − 5 ) + 1986 ≥ 1986

Vậy AMIN



= −  x 2 − 2 xy + y 2 − 2 ( x − y ) + 1 + 3 y 2 − 4 y + 4 + 2007 




=  − ( x − y ) − 2 ( x − y ) + 1 + 3 ( y − 2 ) + 2007 
2

2





2

2

= − ( x − y − 1) − 3 ( y − 2 ) − 2007 ≤ −2007
y − 2 = 0

Vậy BMAX = −2007 ⇔ 

 x − y −1 = 0

y = 2

⇔


1

x
=

1
2
= ⇔
2
y = 1

2

Ví dụ 2. Cho 2 số x, y thõa mãn x + 2 y = 3 . Tìm GTNN của B = x 2 + 2 y 2
Giải
Từ x + 2 y = 3 ⇒ x = 3 − 2 y thế vào B
Ta có
B = ( 3 − 2 y ) + 2 y 2 = 9 − 12 y + 4 y 2 + 2 y 2
2

= 6 y 2 − 12 y + 9 = 6 ( y − 1) + 3 ≥ 3
2

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

9


Sáng kiến kinh nghiệm



1

thức P = x + y
Bài 3. Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

(

)

E = 2 x4 + y 4 +

1
4 xy

Bài 4. Cho a, b là hai số dương thõa mãn 3a + 5b = 12. Tìm GTLN của M =
a.b
Bài 5. Cho x, y là hai số dương có tích x. y = 216 . Tìm GTNN của biểu thức
F = 6x + 4 y

Bài 6. Cho x, y, z là các số không âm thõa mãn đồng thức 3x + 2z = 51 và z +
5y = 21.
Tìm GTLN của biểu thức G = x + y + z
Dạng 3. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
*Chú ý : Đối với hai mệnh đề sau:
1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.
2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.


= 4P ⇔ a = b

2
2
Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = ( − x + 3x + 21) ( x − 3x + 1) .

Giải
Để giải bài toán này ta thấy các biểu thức − x 2 + 3x + 21 và x 2 − 3x + 1 có tổng
không đổi ( bằng 22 ) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
− x 2 + 3 x + 21 = x 2 − 3 x + 1 ⇔ x 2 − 3 x − 10 = 0
x = 5
⇔ ( x − 5) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 
 x = −2

Khi đó Q = 11.11 = 121
x = 5
 x = −2

Vậy QMax = 121 ⇔ 

Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức P = 5 x +

180
(với x > 1)
x −1

Giải
Ta có P = 5 x +

180


Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức R =

( x + 4) ( x + 9)
x

(với x > 0)

Giải
Biến đổi biểu thức R
Ta có R =

( x + 4) ( x + 9)
x

= x+

36
+ 13 (do x > 0)
x

36
Hai số x và
là hai số dương có tích không đổi (bằng 36) nên tổng của chúng
x

nhỏ nhất khi và chỉ khi
x=

(
)
Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức E =

3 x 2 + 6 x + 10
x2 + 2 x + 3

Trên đây là một số dạng toán tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8.
Phần 3. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9
Việc giải bài toán tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó cần nhiều
phương pháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề bài, mà người
giải phải năng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết bài toán.
Sau đây là một số phương pháp dành cho học sinh lớp 9.
Dạng 1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
CỦA BIỂU THỨC
1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Ta luôn có : a ≤ a ; ∀a ∈ R
x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a (với a > 0)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 x < −a

x ≥a⇔

2
là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số
x −1

2
2
= 1+ x −1 +
≥ 1+ 2
x −1
x −1

Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 =

( x − 1)

2
= 1+ 2 2
x −1

2
⇔ x = 1 + 2 ( TM )
x −1

Vậy AMIN = 1 + 2 2 ⇔ x = 1 + 2
1
x

Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức B = 3x 2 + ( với x > 0)
Giải
Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương.

4
6

Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức P =

xy z − 1 + yz x − 2 + zx y − 3
( với
xyz

x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 1 )

Giải
Rút gọn P =

z −1
x−2
+
+
z
x

y −3
y

Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho từng cặp số
x − 2 và 2; y − 3 và 3
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

z − 1 và 1;


3 + ( y − 3)
2 3

=
=

z −1 1
≤
z
2
x

2 2
y
2 3

⇒

x−2
1
≤
x
2 2

⇒

y −3
1
≤
y

Mà 1 + 2 x + 3 − 2 x ≥ 1 + 2 x + 3 − 2 x = 4
1 + 2 x ≥ 0

Dấu ‘ = ’ xảy ra khi 

3 − 2 x ≥ 0

Vậy QMIN = 4 ⇔

⇔

−1
3
≤x≤
2
2

−1
3
≤x≤
2
2

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Cho biết x + y = 4. Tìm GTLN của biểu thức E = x − 1 + y − 2
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức F =

x −1
+
x


14


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Giải
4
4
4
4
4 4
Để giải bài toán cần biến đổi biểu thức A = ( x + 1) ( y + 1) = x + y + x y + 1

Và ta có:
x + y = 10 ⇒ x 2 + y 2 = 10 − 2 xy
⇒ x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 100 − 40 xy + 4 x 2 y 2
⇒ x 4 + y 4 = 100 − 40 xy + 2 x 2 y 2

Đặt t = xy do đó A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101
* Tìm GTNN của A
A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101 = ( t 2 − 4 ) + 10 ( t − 2 ) + 45 ≥ 45
2

2

Vậy AMIN = 45 ⇔ t = 2 khi đó xy = 2 và x + y = 10
Nên x và y là nghiệm của phương trình

và 2t ≤ 5
8

125
+ 5 − 40 < 0
8

Còn t ≥ 0 nên A ≤ 101

Vậy AMax

  x = 0

  y = 10
= 101 ⇔ t = 0 tức là  
  x = 10
  y = 0


Ví dụ 2. Với a>1, b>1. Tìm GTNN của biểu thức B =

a2
b2
+
a −1 b −1

Giải
Đặt a − 1 = x > 0; b − 1 = y > 0
Ta có :



y

Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cô-si: x + ≥ 2 ; y + ≥ 2
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Nên B ≥ 8 .Vậy BMIN = 8 ⇔ x = y = 1 ⇒ a = b = 2
Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức C =

5 − 3x
1 − x2

Giải
Đặt 1 + x = a; 1 − x = b ta có a>0 ; b>0
Ta có : C =

5 − 3x
1 − x2

=

1+ x + 4 ( 1− x)
1 + x. 1 − x


Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức F = x3 + y 3 với x, y ≠ 0
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức G = x3 +

3
với x ∈ R
x2

Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM
SỐ
Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y =

x2
x2 − 5x + 7

(1)

Giải
Để giải bài toán này ta xét điều kiện xác định của y
2

5 3 3

Ta có : x 2 − 5 x + 7 =  x − ÷ + ≥ do đó TXĐ là ∀x ∈ R


2

4


16


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Ta có y =

28
14
28
14
⇒x=
vậy yMax = ⇔ x =
3
5
3
5

Giải bài toán này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương
trình bậc hai. Coi y là tham số, x là ẩn số.
Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của

hàm số. Đoạn 0;

28 
là tập giá trị của hàm số.
 3 


3

tức là ( y + 1) − 4 ( y − 1) ≥ 0 ⇔ ( 3 y − 1) ( y − 3) ≤ 0 ⇔ ≤ y ≤ 3
2

1
3

2

1
3

Với y = ⇒ x = 1 vậy yMIN = ⇔ x = 1
y = 3 ⇒ x = −1 vậy yMax = 3 ⇔ x = −1

Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và
giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.
* Bài tập áp dụng :
x2 − 8x + 7
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
x2 + 1

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

20 x 2 + 10 x + 3
3x 2 + 2 x + 1

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =


3
khi
4

x+

1
1
= 0 ⇔ x = − (vô lí)
2
2

Cách giải đúng : Vì x ≥ 0 và x ≥ 0 nên A = x + x + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1 với ∀x ≥ 0
Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0
Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B =

1
x − 6 x + 11
2

Lời giải sai :
Phân thức B có tử không đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị
nhỏ nhất.
Ta có x 2 − 6 x + 11 = x 2 − 6 x + 9 + 2 = ( x − 3) + 2 ≥ 2
2

1
2

Do đó GTNN của x 2 − 6 x + 11 là 2 khi x = 3 . Vậy BMax = ⇔ x = 3

• Những sai lầm trong phương pháp giải bài toán cực trị khi sử dụng bất đẳng
thức cô-si
Ví dụ 4. Cho a>0 ; b> 0 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức D =

( x + a) ( x + b)
x

Lời giải sai :
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số không âm, ta có :
x + a ≥ 2 ax

( 1)

x + b ≥ 2 bx

( 2)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

18


Sáng kiến kinh nghiệm

Do đó

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

( x + a) ( x + b)
x


Nên D ≥ 2 ab + a + b = ( a + b )
Vậy DMIN = ( a + b )

2

x

2

ab

x =
⇔
x ⇔ x = ab
 x > 0

Khi giải bài toán cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm không đáng
có. Nên tôi xin nhấn mạnh một số sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý thêm.
Ngoài ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải toán cực trị thì tôi xin
đưa ra phương pháp giải toán cực trị bằng máy tính bỏ túi.
Phần 5. GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Giáo viên nên sử dụng máy tính fx-570VN PLUS, máy tính này có nhiều
chức năng mới. Ta có thể vận dụng để giải bài toán cực trị.
Ví dụ 1. Cho hàm số A =

1, 4 x − 5,3
( 1). Tìm GTNN, GTLN của biểu
3, 7 x 2 + 0, 2 x + 3



(

− 4.3, 7 y

)

(

)

3 y + 5,3 ≥ 0

⇔ 0, 22 − 4.3, 7. 3 y 2 − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) y + 1, 4 2 ≥ 0

(INEQ)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

0, 22 − 4.3, 7. 3 = − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) = 1, 4 2 =

Kết quả −3,1112 ≤ y ≤ 0,0246
Vậy AMIN = −3,1112


(INEQ)

−7 = 16 = −8 =

Kết quả

8−2 2
8+2 2
≤ y≤
7
7

Vậy BMIN =
BMax =

8−2 2
7

8+2 2
7

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức C =
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức D =

x−3
x + 2x + 3
2


3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp.
Giúp học sinh phân loại và vận dụng tốt các phương pháp giải toán cực trị
(phần đại số) một cách nhanh chóng có hiệu quả .Pháp huy tính tích cực học tập
trong mỗi học sinh.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ chặc chẻ với nhau, các bài
toán cực trị đòi hỏi học sinh nắm vững chắc các kiến thức về cực trị từ thấp đến
cao ,từ đơn giản đến phức tạp,vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi ,từ lý
thuyết đến thực hành.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học :
Bằng cách kiểm tra trên phiếu học tập của học sinh, qua các lần kiểm tra
chất lượng bài làm có nhiều khã quan hơn.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học.
Qua nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi chất lượng
học tập của học sinh càng ngày nâng cao hơn qua kết quả khảo nghiệm.
Năm học 2013-2014: kiểm tra 20 HS trên trung bình 12 em đạt 60%
Năm học 2014-2015: kiểm tra 20 HS trên trung bình 15 em đạt 75%
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Trong thực tế giảng dạy, khi áp dụng phương pháp giải dạng toán cực trị,
học sinh nắm vững kiến thức và học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này.
Dựa vào kết quả trên ta có thể thấy học sinh nắm vững kiến thức về giải
toán cực trị ngày càng khả quan hơn.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ để hướng dẫn học sinh giải bài toán cực trị
một cách có hiệu quả và đạt kết quả tốt. Để bài viết của tôi hoàn chỉnh hơn và
giúp học sinh học tốt, tôi rất mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để tôi dạy thành
công hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị: Đối với lãnh đạo các cấp:
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

……………………………………………………………………………………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

23


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT TÊN TÀI LIỆU

TÁC GIẢ

01