LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP

r
u =(a,b,c)

PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:

* Chú ý : Nếu cả a, b, c

 x = x0 + at

(d):  y = y0 + bt với t ∈ R
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
≠ 0 thì (d) có PT chính tắc
=
=
a
b
c

* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ
VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
uuu
r

r uur
uu
r uu
r
=> tính [ u , u ].
,
d
l
à
u
v
à
u
1 2
1
1 2
r u2u
r
r uu
- Vì (d) ⊥ (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u , u ]
r 1uu
r2
r uu
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ u , u ]
1 2
- Từ (d1),(d2) ⇒ VTCPd

Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0

+ Viết phương trình d' đi qua M, H

Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:
Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
* Tìm B =

(α ) I d 2

* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

1


LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Viết pt mặt phẳng ( β ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng cần tìm d = α I β
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đường thẳng cần tìm d =

( P ) I (Q)

Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp (α ) qua A và vuông góc d1

(α ) I d 2

- Tìm giao điểm B =

- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'.
* Tìm giao điểm I' = d' I

( P)
r
r
* Tìm VTCP u của d' và VTPT n
r
* Viết ptđt d qua I và có VTCP v

của (P) và tính

r rr
v = [u,n]

Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 :
- Gọi
và

M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d1 ,

N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d 2

là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
- Ta có hệ

uuuu
rr
 MN .u1 = 0



LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc
* Gọi VTCP của d là

α ∈ (00 ;900 ) (= 300, 450, 600)

r
u = (a; b; c), dk : a 2 + b 2 + c 2 > 0

rr
d ⊥ d1 ⇒ u.u1 = 0 =>phương trình (1)
rr
u.u 2
Vì cosα = r r => phương trình (2)
u . u2

* Vì

Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d

rr
u.u P
tạo với mp(P) góc α ∈ (00 ;900 ) thì có sinα = r r
u . uP

Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc
- Gọi VTCP của d là


r
u = (a; b; c), dk : a 2 + b 2 + c 2 > 0

rr
u.n p = 0 => phương trình (1).

rr
u.u1
cos (d , d1 ) = r r = cosα
u . u1

nên có phương trình (2).

- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp

r
u = (a; b; c)

Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.
* Gọi VTCP của d là
* Vì d ⊥
* Vì

d1

nên

r


A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
⇔ Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
v
- Từ ptmp(Q) ⇒ VTPT n Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q)

⇒

VTPT

v v
n P = n Q = (A;B;C)

3

)


LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

v

- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d

r
⇒ VTCP u d = (A;B;C)
r r

uuu
r r
- Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q]
r uuu
r r
- Vì A, B ∈ (P) ; (Q) ⊥ (P) nên chọn n P=[ AB , n Q]
- Từ (d)

- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;

⊥ (Q)
r
r và // với dt (d)
- Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d).
r r
- Tính [ u d, n Q]
r
r r
- Vì (P) ⊥ (Q) và // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
uuu
r
- Tình trung điểm I của ABvà AB

uuu
r

- Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT.


Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D ≠ DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h

r
2
2
2
P = (A,B,C) với đk là A + B + C >0
n
r
- Từ (d) ⇒ VTCP u d và điểm M ∈ (d)
r r
- Vì (d) nằm trong (P) ⇒ u d. n P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là

4


LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 900
- Gọi VTPT của mp (P) là


(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠ DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇒ tìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho
trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =
- d(I,(P)) =

2π r

và diện tích S =

π r 2 tính r.

R 2 − r 2 (1)

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠ DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒ Giải hệ (1), (2) tìm được D' ⇒ viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

r

chọn M trên đường thẳng d.
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ PT mp(P).

5


LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường
hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

R 2 − d 2 ( I ,( p )) để r min ⇒ d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK ≤ Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H
uuu
r
- Bán kính r =

- PT mp(P) đi qua H và nhận

IH

làm VTPT

6