TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Phần 3. Hình thang, tứ giác nội tiếp và hình chữ nhật
(50 bài tập kèm lời giải chi tiết)
A. Phương pháp
Thực ra mỗi bài toán hình học toạ độ đều chứa đựng trong bản chất của nó một bài toán
phẳng. Nhưng đề bài toán lại không đề cập đến bài toán phẳng đó. Nên phán đoán và giải
quyết bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ luôn là một vấn đề khá hấp dẫn. Với bài
viết này tôi muốn thông qua các bài toán cụ thể hình thành cho học sinh khả năng phán đoán
bài toán hình học phẳng có trong bài toán hình học toạ độ thông qua hình phẳng vẽ biểu thị
chính xác, các giả thiết phẳng đã cho và kết luận của bài toán hình học toạ độ.
1/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua hình phẳng biểu thị
Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ theo cách này đòi hỏi học
sinh phải thực hiện được hai yêu cầu sau
+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đã cho của bài
toán.
+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán để xét xem bài toán phẳng mà ta dự đoán nếu giải quyết
được thì có tìm được kết quả của bài toán hình học toạ độ không.
2/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua giả thiết phẳng đã có và kết luận của bài toán
hình học toạ độ.
Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ theo cách này thì học sinh
cần thực hiện những yêu cầu sau
+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đã cho của bài
toán.
+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán và các giả thiết phẳng đã cho để phán đoán xem cần tìm
được một giả thiết mới nào từ các giả thiết phẳng đã cho thì bài toán hình học toạ độ được
giải quyết
B. Bài tập vận dụng
Các bài tập vận dụng sau đây tác giả lấy từ các đề thi thử THPT QG trên
Thư viện Đề thi & Kiểm tra - Thư viện trực tuyến ViOLET. Xin chân thành cảm ơn các
bạn đã đóng góp nhiều đề thi hay đặc biệt là các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng

D

A

HM HE 1
EM 1

 
 và EM
HD HA 3
AD 3
// AD Suy ra tứ giác BCME là hình bình hành, Suy ra CM // BE
- Dễ thấy E là trực tâm tam giác BAM  BE  AM  CM  AM
 
Vì A thuộc (d) nên tọa độ A(a; a  1) , mà CM  AM  AM .CM  0  a  3  A  3; 4 
 1 
 3 1
Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD  CI  CA  I   ; 
4
 4 2
- Đường thẳng BD đi qua I và M , suy ra BD : 2 x  3 y  0
- Phương trình AH : 3 x  2 y  1  0 , mà H là giao điểm của hai đường thẳng BD và AH
 1 
 
 3 2
Suy ra H   ;  . Mà HD  3HM  D  6; 4  , CB  DA  B  3;2 
3
 13 13 
Bài 2. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang
- Gọi E là điểm trên đoạn AH sao cho 2HE = EA, khi đó

 Vì I là trung điểm của AH nên A(1;1)
 AH 

13
.
2

 Phương trình AH là: 2 x  3 y  1  0 .

Gọi M  AH  CD thì H là trung điểm
của AM  M(-2; -1).
Giả sử D(a; 5a + 1) (a > 0). Ta có:
 ABH  MCH  S ABCD  SADM  AH .d ( D, AH )  14  d ( D, AH ) 

28
13



 Hay 13a  2  28  a  2(vì a  0)  D(2;11) . Vì AB đi qua A(1;1) và nhận MD  (4;12) làm 1


VTCP  AB có 1VTPT là n(3; 1) nên AB có pt là: 3x  y  2  0
Bài 3. (Đề thi thử THPT QG - THPT Bố Hạ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình
2
3

chữ nhật ABCD có tâm I(1;3). Gọi N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN  AB . Biết
đường thẳng DN có phương trình x + y - 2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ điểm B.
Giải

 
  cos(n, n ) 
cos BDN
1

3a  4b
7 2
 24a 2  24b 2  50ab  0  
10
a b 2
 4a  3b
+) Với 3a  4b , chon a=4,b=3, PT BD:4x + 3y - 13 = 0, D  BD  DN  D (7; 5)  B ( 5;11)
|ab|
2

2



+) Với 4a  3b , chon a=3,b=4, PT BD:3x + 4y - 15 = 0, D  BD  DN  D ( 7;9)  B (9; 3)

Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.

Hai điểm B và C thuộc trục tung. Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ACD bằng 1.
Giải

A



AB  BC  CA

16  4b
3

4
2
b4
1
3

 b4 .
2
4
5
3
16  4b
 16  4b 
b
b
b4

4


4

2
b4 

 M , C đối xứng qua BN
4
 AD  d ( B, CN )  d ( B, MN ) 
2
Do AB  AD  BD  AD 2  4
a  5
BD : y  2  0  D ( a; 2) , BD  4  
 a  3

Vậy có hai điểm thỏa mãn là: D (5; 2) hoặc D (3; 2)
Bài 6. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có
AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn
CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung
độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
GV: Ngô Quang Vân

5


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Giải
G

A

B

F
H

2

32
5

2

8
51  8
 17  
E  t ;3t  10   EF    t     3t   
5
5 
5 5

19
 19 7 
 5t 2  34t  57  0  t  3  t 
hay E  3; 1  E  ; 
5
 5 5
2

Theo giả thiết ta được E  3; 1 , pt AE: x+y-2=0. Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân tại D
 x  1   y  1   x  3   y  1
 AD  DE


 AD  DE
 x  1 x  3   y  1 y  1

GV: Ngô Quang Vân

6


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Gọi I  AC  BD . Do BN  DM  IN  IB  ID  IN  IA  IC  ANC vuông tại N
A

B
I

D

C

N

M



Đường thẳng CN qua N   ;  và nhận NA   ;  là pháp tuyến nên có phương trình:
 2 2
2 2
7 x  9 y  13  0 . Do C  CN  d  C  2; 3
Gọi B  a; b  . Do AB  2 BC và AB  BC nên ta có hệ phương trình:
5 1



+ M là giao điểm (T) với IM : 

+Đường thẳng BC qua M,E có pt : x=7
GV: Ngô Quang Vân

7


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

A
B
I
C

D

E
N
M

+ C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1)
+ B đối xứng M qua C => B(7 ;5)
+ Đường thẳng DC qua C và vuông góc BC : y=1
 D(9;1)
 D(1;1)

D là giao điểm (T) và DC : 


2

Phương trình đường thẳng KM: đi qua M ( ; 3 ) và vuông góc với AK: 4 x  y  4  0 nên
MK có pt: x  4 y 

15
0.
2

Do K  AK  MK  Toạ độ K ( 1 ; 2 ) .
2

Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2)  pt của BD: y – 2 = 0
AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: x - 1 = 0 và A  AK  AH  A(1;
0). BC qua M (

9
; 3 ) và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0.
2

Bài 10. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ
nhật ABCD có E, F lần lượt thuộc các đoạn AB, AD sao cho EB  2EA; FA  3FD , F(2;1) và
tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng x  3y  9  0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ
điểm C biết C có hoành độ dương.
Giải
 C
 (vì cùng phụ với góc F
 ),
AEF và DFC có: F
1

C

F

H

Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó:

1

E

CF  2FH  2d(F,CE)  2 5
Gọi C(3t  9; t) với t  3 (vì x C  0 ).

x-3y-9=0
1
A

Ta có: CF  2 5  CF 2  20

2
D
F(2;1)

 t  1
 (3t  7)2  (t  1)2  20  t 2  4t  3  0  
 t  3 (L)
Với t  1  C(6; 1) . Vậy C(6; 1)


GV: Ngô Quang Vân

10


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

C

B
H
K

I

E
D

A
1
2

+) K là trung điểm của AH nên KE   AD
hay KE   BC
Do đó: CE  AE  CE: 2x - 8y + 27 = 0
Mà E  AE  CE  E   ;3  , mặt khác E là trung điểm của HD nên D  2;3
2
3



5

4

D

N

6

8

GV: Ngô Quang Vân

15

H

2

C

10

11


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Chứng minh được tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn đường kính AN .


Vì A có tung độ dương nên A(10; 7)
Từ đó suy ra C (10; 3) .
Kết luận: Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là A(10; 7), B (10; 3), C (10; 3), D(10; 7)
Bài 14. (Đề thi thử THPT QG - Đa Phúc -HN) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình
thang ABCD vuông tại B và C có AB >CD và CD = BC. Đường tròn đường kính AB có
phương trình x2 + y2 – 4x – 5 = 0 cắt cạnh AD của hình thang tại điểm thứ hai N. Gọi M là
hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng AB. Biết điểm N có tung độ dương và đường
thẳng MN có phương trình 3x + y – 3 = 0, tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C, D của hình thang
ABCD.
Giải

D

C

N

A

M I

B

N1
GV: Ngô Quang Vân

12



+) M = MNAB => M (1;0),A,B là các giao điểm

hoặc A(5;0) và B(-1;0). Do IM cùng hướng với IA nên A(-1;0) và B(5;0) .
+) AN: 2x – y + 2 = 0, MD: y = 1 => D = ANMD => D(1;4).
 
MB  DC => C(5;4).

Bài 14. (Đề thi thử THPT QG - Quỳnh Lưu 1) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật
3 3
ABCD, E(5;0) là hình chiếu của B lên AC. Biết F(0;2), I  ;   lần lượt là trung điểm của
2 2
AE và CD. Viết phương trình của đường thẳng CD.
Giải

A

B
F

P
E

D

I

C

Kẻ FP  BC tại P, FP  BE  H . Ta có H là trực tâm của  FBC và FH / / AB ,
1

 58

=> C(7,5; -1) => CD : 2 x  24 y  39  0
Bài 15. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x  8 y  10  0 . Điểm B
nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  1  0, y  2 . Tìm toạ độ A, B, C
1
C
Giải

A

B
I

K
M
G

H
C

D
Ta có DK  d ( D, CM ) 

26
.
65
2


14


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

C  CM  C (8c  10; c ) (c < 2).
c  1

 

Có CB.CD  0  65c 2  208c  143  0  

 c  143

65

.

Do c < 2 nên C(-2; 1), A(8; -1)
Vậy A(8; 1), B(2; 5), C(2;1)
Bài 16. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có
hai đáy là AD và BC, biết AB = BC, AD = 7. Đường chéo AC có phương trình x  3 y  3  0 ,
điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD. Viết phương trình CD biết B(1; 1).
Giải
B

C

F


hai phía của AD nên D  ;

0  C (3; 2)  AB  5, CD  13 suy ra ABCD không phải là hình thang cân, mâu thuẫn với
giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.
Bài 17. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD với
CD = 2AB. Đường thẳng AC, BD lần lượt có phương trình x  y  4  0, x  y  2  0 . Biết toạ
độ các đỉnh A, B đều dương và diện tích hình thang bằng 36, tìm toạ độ các đỉnh của hình
thang
Giải
15
GV: Ngô Quang Vân


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

A

B

I

D
H

K

C

ACD  450 , suy ra tam giác AHC vuông cân tại H

Do C  AC  C(c; 4-c ). Mà DC  2 AB  D (c  8; 4  c)
Ta có IC = ID suy ra toạ độ C(7; -3), D(-1; -3)
Vậy A(1; 3), B(5; 3), C(7; -3), D(-1; -3)
Bài 18. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác
ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Đỉnh B thuộc đường thẳng  có phương trình
x  y  5  0 . Các điểm E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và B lên AC . Tìm
tọa độ các đỉnh B, D biết CE  5 và A  4;3 , C  0; 5 .
Giải
A
B
F
I
H
D

GV: Ngô Quang Vân

E

C

16


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Gọi H là trực tâm tam giác ACD, suy ra CH  AD nên CH || AB
(1)
(2)
Mặt khác AH||BC ( cùng vuông góc với CD )

x  y  5  0
y  0



Đường thẳng DE qua E và nhận EF (2; 4) làm một véc tơ pháp tuyến, DE có phương trình:
x  2y  5  0 .

Đường thẳng DA qua A và nhận AB (1; 3) làm một véc tơ pháp tuyến, DA có phương trình:
x  3y  5  0 .
D là giao điểm của DA và DE nên tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình:
x  2 y  5  0
 x  5
 D  5;0  . Kết luận: B  5;0  , D  5;0 


x  3y  5  0
y  0

Bài 19. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang

cân ABCD có diện tích bằng

45
, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng (d) : x - 3y - 3 = 0. Biết
2

hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I(2 ;3). Viết phương
trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương.
Giải

19
 17

 2 a;   2 b 
2
 2


MN  

Bài 21. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ

nhật ABCD , biết phân giác trong góc 
ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, phương trình
đường thẳng BM là (d) : x - y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng (d1) : x + y - 9 = 0, điểm
E(-1 ;2) thuộc đường thẳng AB và điểm B có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
chữ nhật.
Giải
GV: Ngô Quang Vân

19


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

GV: Ngô Quang Vân

20




A, B là giao điểm của (C) và đường thẳng AB suy ra A, B có tọa độ là (2;1), (-1;0)
GV: Ngô Quang Vân

21


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 23. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ

nhật ABCD có các cạnh AB và AD tiếp xúc với đường tròn (C): (x + 2)2 + (y - 3)2 = 4.
 16 23 
;  và điểm N thuộc trục Oy. Xác định tọa độ các
 5 5 

Đường chéo AC cắt (C) tại điểm M  

đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hoành độ âm và điểm D có hoành độ dương,
diện tích tam giác AND bằng 10.
Giải

Đường tròn (C) cắt trục Oy tại điểm N(0;3)  MN 

8 5
và phương trình MN : x + 2y - 6
5

= 0. Giả sử đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AD tại điểm G và F  AGIF là hình vuông 
AF = IF = 2. AMN là cát tuyến của (C) và AF là tiếp tuyến của (C)  AM.AN = AF2 = 4. Vì


23


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 25. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang

cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có
phương trình x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm H(-3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C và
D.
Giải

GV: Ngô Quang Vân

24


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 26. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang
ABCD có AD//BC, AD = 2BC, đỉnh B(4;0). Phương trình AC: 2x - y - 3 = 0, trung điểm E

của AD thuộc : x - 2y + 10 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng
  2.
cot ADC

Giải

B