SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN CHO HỌC
SINH LỚP 8 -9 THÔNG QUA SỬ DỤNG PHƯƠNG
PHÁP TƯƠNG TỰ TRONG GIẢI TOÁN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Quý Đôn
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2013


MỤC LỤC
TT

Nội dung

Trang

A

Đặt vấn đề

2

B



4. Giải các bài toán cực trị với nội dung tương tự hoặc giải bằng
phương pháp tương tự.

10

5- Sử dụng phương pháp tương tự trong giải toán chứng minh

12

bất đẳng thức.
C

IV. Kiểm nghiệm.

15

Kết luận

16

2


A- ĐẶT VẤN ĐỀ
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới
không ngừng. Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh
sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán
đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Trong dạy học toán, một việc làm không thể thiếu được đối với mỗi giáo

tạo. Giáo viên có thể đưa ra những dạng bài cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tính
chất dễ dàng lĩnh hội và đặt học sinh vào tình huống làm thế nào để có được
khái niệm, bài toán tương tự của những bài toán đơn lẻ đó, Qua đó học sinh sẽ
tiếp nhận kiến thức một cách chủ động, sáng tạo theo tư duy của từng cá nhân.
Trên cơ sở phân loại các dạng bài tập, tôi đưa ra các ví dụ từ dễ đến khó,
từ đơn giản đến phức tạp từ đó hình thành bài toán tương tự nhưng ở mức độ
cao hơn.

4


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận :
Trong toán học, nhất là trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy
học theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được
tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, mô hình, ví dụ
... để hình thành các khái niệm tương tự, tổng quát hơn.
Tương tự hóa được các nhà toán học thường xuyên sử dụng, nhờ đó mà bài
toán được giải bao giờ cũng ngắn gọn hơn và kết quả thu được cũng cho thấy rõ
bản chất của vấn đề.
Đối với học sinh thì các em thường hay ngại trình bày đặc biệt là các bài
toán cứ phải lặp đi lặp lại cách trình bày như nhau . Là người giáo viên, chúng
ta cần biết gây hứng thú học tập của các em thông qua các lời giải ngắn gọn,
đằng sau mỗi lời giải của các bài toán luôn ẩn chứa nhiều bất ngờ dành cho các
em say sưa tìm tòi.
Rất nhiều em không dừng lại ở những bài toán tưởng chừng như rất nhỏ,
các em luôn cố gắng suy nghĩ tự tìm tòi sáng tạo để thêm giả thiết,tìm các bài
toán tương tự cho bài toán ban đầu nhưng ở mức độ hay hơn nhiều..
II.Thực trạng của vấn đề:
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đa phần học sinh chỉ chú trọng việc

N
- Chứng minh AN = BC
Cũng hoàn toàn giống như
chứng minh AM = BC,
Chứng minh AN // BC cũng

E
B

D
C

hoàn toàn giống như chứng minh
AM // BC. Do đó để gọn, ta dùng
từ "Chứng minh tương tự" mà không cần lặp lại chứng minh như trên. Ở đây
chứng minh tương tự là một suy diễn chính xác
Ví dụ 2: Cho ∆ABC; Â = 105o, một đường thẳng qua A cắt BC ở D. Chia tam
giác ABC thành hai tam giác cân. Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC.
Giáo viên: Gợi ý:
Bài này đòi hỏi học sinh xét nhiều trường hợp vì đề bài không xác định rõ đáy
của tam giác cân ADB và ADC. Ta hãy chú ý đến sự tương tự giữa hai góc
6


·
·
; ADC
Nếu thay B bởi C thay C bởi B thì lời giải của bài toán không đổi:
ADB


(H.b)

(H.a)
a

C

B

D

C

Đặt Cµ = a
Trường hợp 1: Cho ta 3a = 1050 nên a = 35o

A

Trường hợp 2: Cho ta: a + (180o- 4a) = 105o nên a = 250
·
Trường hợp 3: Không xảy ra vì khi đó BAC
= 90

(H.c
)

0

Vậy chỉ xảy ra trường hợp 1 và trường hợp 2.


E

B

A

O
F

C

O
H.b
B

F

E

C

A

Vì EO và FO là các tia phân giác của đỉnh E và F của ∆ AEF nên AO là tia phân
µ < 900 (h.a)
giác của góc EAF lời giải này ứng với trường hợp A
µ > 90o (h.b) lời giải cũng tương tự như trên chỉ khác ở chỗ EO và FO là
Nếu A

các tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh, E và F của ∆ AFE ta vẫn có AO là tia

3

giác bất kỳ đối diện với 2 cạnh bằng nhau là 2 góc bằng nhau.
3. Sử dụng phương pháp tương tự để tìm tòi cách giải khác cho một bài toán:
a. Bằng cách nghĩ đến bài toán có nét tương tự với bài toán đang giải:
µ < 900 ) các tam giác vuông
µ < 900; C
Ví dụ: Vẽ về phía ngoài tam giác ABC ( B
·
·
cân ABD, ACE ( ABD
= ACE
= 90o ) gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ

từ D và E đến BC. Chứng minh: BI = CK.
- Nhận xét:
Rõ ràng ∆ BID có cạnh BI và ∆ CKE có cạnh CK không phải là hai tam
A
E
giác bằng nhau.
Một câu hỏi được đặt ra:

D

Có bài toán nào tương tự bài toán
này không ? Hoặc với một phần

I

B

·
= 500 + 100 = 60

Do đó ta vẽ ∆ EBC đều

A

(E và A cùng phía đối với BC) xuất hiện
I

·
·ABE = KBC
còn trong ví dụ 1b)
·
ta lại có BCA
- µA = 800 - 200 = 600

cũng là góc của tam giác đều

K
B

C

Do đó, mặc dù hai bài toán hoàn toàn khác nhau, nhưng sự tương tự trên ra cách
vẽ tam giác đều BEC
Giải:
A

Vẽ ∆ BEC đều (E và A cùng phía đối với BC)

tam giác.
Giải:
a) Qua A vẽ đường thẳng // BC

M

A

N

cắt BB', CC' ở N, M

B'

C'

ta có: = ;

O

= ; =

Nhân các đẳng thức trên từng vế, ta được điều phải chứng minh
B
A'
b) Chứng minh tương tự (câu a)
B'
Chú ý: Các hệ thức viết ở định lý.
Mênê-laúyt và các định lý Xêva như nhau.



Ta có: PA = PA'; P'A = P'A'
P'
A'

P

a

11


Theo quy tắc điểm PA + PB ≥ A'B
dấu "=" xảy ra khi P ∈ A'B mà P ∈ a nên
PA + PB nhỏ nhất khi P ≡ P'
·
Ví dụ 2: Cho xOy
điểm A nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy lần lượt hai

điểm B và C sao cho AB + BC + CA nhỏ nhất
Giải: Lấy A1 đối xứng với A qua Oy

A2

Lấy A2 đối xứng với A qua Ox
ta có: Ox là trung trực của AA2
Oy là trung trực của AA1
nên: CA = CA2; BA = BA1

x

F

G

P

vuông). Tìm điều kiện để MN + NP + PQ +
QM là nhỏ nhất.
A

Giải:

Q

D

Nối BD; NQ.Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của MN, NQ, PQ.
∆ BMN vuông tại B; BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MN
nên BE = ⇒ MN = 2BE
Tương tự

QP = 2 GD
MQ = 2 EF (EF là đường trung bình của ∆ MNQ)
NP = 2 FG (FG là đường trung bình của ∆ QNP)
MN + NP + PQ + QM = 2 (BE + EF + FG + GD) ≥ 2BD

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E, F, G ∈ [BD]
12




G

mc

b

C

Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta được
(ma + mb + mc) > a + b + c .
Bài 2: Trong tam giác ABC có chu vi 2P = a + b + c (a,b,c là độ dài 3 cạnh)
+ + ≥2(+ +)

CMR:

Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì ?
Giải:
Ta có P - a = - a = > 0
Tương tự

P-b>0
P-c>0

áp dụng bất đẳng thức Cauchy
P-a+P-b≥2
+ ≥
⇒

[(P-a) + (P-b)] [ + ] ≥ 4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
P-a + P-b ≥ 2
⇒

c ≥ 2

(1)

Tương tự:

b ≥

2

(2)

a ≥

2

(3)

Nhân từng vế của (1), (2), (3)
≥ (P-a) (P-b) (P-c)

⇒ (đpcm)
1

1



1

1

1
≥2
2ab
1

Vậy: ab + a 2 + b 2 = 2ab + a 2 + b 2 + 2ab ≥ 4 + 2 = 6
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = ½.
d) Nêu và giải toán tương tự với các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho ∆ ABC vẽ ở phía ngoài tam giác ấy, các tam giác đều ABD,
ACE. Tính góc tạo bởi các đường thẳng BE, CD
Bài toán tương tự: Thay "tam giác đều" bởi "tam giác vuông cân tại A)
14


Bài toán 2: Cho ∆ ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Gọi d là đường
thẳng đi qua A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Kẻ BH
và CK vuông góc với d. CMR tam giác MHK là tam giác vuông cân.
Bài toán tương tự: Thay "B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng đối nhau có bờ
d"
·
·
Giải: Ta có: AB = CA, BAH
= ·ACK (cùng phụ với CAK
) nên



d

Do đó ∆ MAH = ∆ MCK (cgc)
Từ đó chứng minh ∆ MHK vuông cân.
IV. Kiểm nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài trên đối với 45 học sinh của lớp 8C tôi nhận thấy
các em giải toán linh hoạt hơn, yêu thích học Toán, so sánh với lớp 8A cũng do
tôi giảng dạy nhưng không áp dụng đề tài có sự chênh lệch về chất lượng. Cụ
thể như sau:

Lớp
Lớp 8A (44HS)
(không áp dụng)

Lớp 8C (45HS)
(Áp dụng)

Điểm dưới 5
SL
%

Từ 5.0 – 6.5
SL
%

Từ 7 – 8.5
SL
%


35.6%

25

55.5%

15


C.KẾT LUẬN:
Từ vài kinh nghiệm nhỏ rút ra qua quá trình giảng dạy cũng bản thân tôi nhận
thấy: Để chất lượng giảng dạy đạt hiệu quả cao, người giáo viên cần đầu tư
nhiều thời gian và trí tuệ vào mỗi bài giảng. Từ đó bằng phương pháp đặc trưng
của bộ môn, chuyển tải đến học sinh những kiến thức trọng tâm một cách chính
xác, sâu sắc và hấp dẫn nhất.
Học sinh là yếu tố quan trọng cho thành công của mỗi giờ học nên cần
động viên, hướng dẫn, đôn đốc, kiểm tra một cách thường xuyên để các em có ý
thức và hứng thú trong học tập .
Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ
động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài
toán , tổng hợp và khái quát bài toán, từ đó hầu hết giải được các bài tập, xoá đi
cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát. Qua đó
rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và

16


học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu,
giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nâng cao và phát triển Toán 7,8,9.(Tác giả Vũ Hữu Bình)
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8-9(Tác giả Bùi Văn Tuyên)
3. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Số học, đại số, hình học
(Tác giả Nguyễn Vũ Thanh)
4. Các chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở (Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Thúy)
5. Phương pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị (Tác giả Nguyễn Văn
Dũng,Võ Quốc Bá Cẩn,Trần Quốc Anh)
6. Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ.

19