ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ TƯƠI

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn



Phương trình

PTVN

Phương trình vô nghiệm

TDPP

Tư duy phê phán

TDST

Tư duy sáng tạo

THPT

Trung học phổ thông

VP

Vế phải

VT

Vế trái

4




2.3. Phát triển tư duy sáng tạo.........................................................................53
2.3.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải......................................53
2.3.2. Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới................60 2.4.
Kết luận Chương 2...................................................................................63
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................64
3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm...............................................................64
3.1.1. Mục đích................................................................................................64
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm.............................................................................64
3.2. Nội dung thực nghiệm..............................................................................64 3.3.
Tổ chức thực nghiệm................................................................................64 3.3.1.
Đối tượng...............................................................................................64 3.3.2.
Quy trình tổ chức thực nghiệm..............................................................64 3.3.3.
Thiết kế dạy học thực nghiệm...............................................................65
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm..................................................................66
3.4.1. Phân tích kết quả thực nghiệm..............................................................66
3.4.2. Những kết luận rút ra từ thực nghiệm...................................................74
3.5. Kết luận Chương 3...................................................................................75
KẾT LUẬN....................................................................................................76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................77
PHỤ LỤC..................................................................................................... 79

6


DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1. Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT Ngô Quyền...................21
Bảng 1.2. Đánh giá về nội dung "Phương trình vô tỉ" trong chương trình.....22
Bảng 1.3. Thống kê kết quả học tập................................................................22

cơ sở rà soát và tổ chức lại các nội dung và hình thức dạy học. Vẫn là bám sát
những kiến thức và kỹ năng, thái độ cần đạt đã quy định trong

8


chương trình hiện hành, nhưng hoàn toàn có thể tổ chức lại, áp dụng các
phương pháp dạy học khác nhau nhằm phát triển năng lực cho học sinh.
Mặt khác, ở nước ta trong nhận thức của phần đông giáo viên và học
sinh thì dạy toán là dạy các quy tắc, các kỹ năng giải bài toán. Cũng vì lý do
tương tự mà ngay cả sinh viên tốt nghiệp các trường đại học ở nước ta khi tiếp xúc
với thực tế họ thường tỏ ra rất yếu kém về khả năng vận dụng kiến thức vào
giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Vì vậy, việc dạy cho học sinh phương pháp
tư duy giải quyết các vấn đề thực tế là rất cần thiết.
Phương trình - Bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp
trong các kỳ thi ở cấp 2, 3 và đại học, đặc biệt là phương trình vô tỉ. Phương
trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú về đề bài cũng như lời giải. Một bài
phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải đều có ý nghĩa
riêng của nó.
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: " Phát triển một số năng lực tư
duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương
trình vô tỉ ".
2. Mục đích nghiên cứu
Dạy học phương trình vô tỉ để phát triển năng lực tư duy toán học cho
học sinh trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất: Nghiên cứu lý luận của năng lực tư duy toán học.
Thứ hai: Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển
năng lực tư duy toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương
trình vô tỉ ở trường THPT.

- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Những giải pháp trên có thể được áp dụng rộng rãi với các trường
THPT trong cả nước và đáp ứng được yêu cầu nâng cao chất lượng dạy và học
môn Toán ở trường THPT.
9. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

10


- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc tài liệu, nghiên
cứu các văn bản về năng lực, tư duy, năng lực tư duy và phát triển năng lực tư duy
toán học cho học sinh THPT.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra - khảo sát
bằng phiếu hỏi, tổng kết kinh nghiệm.
- Nhóm phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê và
phân tích thống kê.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
được trình bày theo 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp sư phạm góp phần phát triển một số năng lực tư
duy toán học cho học sinh.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

11


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc
cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì
chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng
lực).
Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ
khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương
ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Xã
hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế
hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt
động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu
sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích
ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo
ra các kết quả "vật chất" mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có
bản chất nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người tương tác
qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng.
1.2.1.2. Khái niệm năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học. Năng lực được hiểu
như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những
yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt
động đó.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá
thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện được qua hành động và đánh giá
được nó qua kết quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng

13


14


1.2.2.2. Đặc điểm tư duy
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc
điểm cơ bản sau:
+ Tính có vấn đề của tư duy.
Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Đó là những tình
huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những phương tiện,
phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không đủ để đạt được mục
đích đó.
Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá
nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, nghĩa
là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu
tìm kiếm.
+ Tính gián tiếp của tư duy.
Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ.
Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối
liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác những
phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá
nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp chúng
ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác
chúng một cách trực tiếp được.
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những
thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc bản
chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó khái quát các sự
vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất vào
một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng

trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ,
thao tác tư duy là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác
sau:

16


+ Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách
một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên
kết nhiều vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là
hai mặt của một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự.
So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất
hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện
tượng.
Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để
từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối
tượng kia.
+ Trừu tượng hóa.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm
không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa
tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động).
+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của
khái quát hóa.

phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn.
Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan
trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic.
+ Tư duy trừu tượng.
Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng.
Tư duy trừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở

18


việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một
cách sáng tạo vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
+ Tư duy biện chứng.
Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện
chứng. Do đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng,
có tính quy luật. Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là một
nhiệm vụ của môn học.
+ Tư duy phê phán.
Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học luôn
tìm được hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khuôn, máy
móc.
+ Tư duy sáng tạo.
Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư
duy, việc tư duy sáng tạo giúp cho người học không bị gò bó trong không gian
tri thức của người thầy đặt ra.
Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
1.2.3. Năng lực tư duy
1.2.3.1. Khả năng và năng lực
Khả năng là điều có thể thực hiện được hoặc đạt được những hành động

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát
triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà
còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi
học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân
tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,.. do đó có tác dụng rèn luyện cho
học sinh những hoạt động này.

20


Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Các phẩm chất trí tuệ
quan trọng cần rèn luyện cho học sinh là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng
tạo.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ luận văn chúng tôi sẽ tập trung vào nghiên
cứu việc rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển một số
năng lực tư duy vì các hoạt động trí tuệ cơ bản có mối quan hệ hữu cơ với các
năng lực tư duy toán học.
1.2.4.1. Một số thao tác hoạt động trí tuệ
a. Phân tích và tổng hợp
Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những
bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng
theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn về
đối tượng toán học ấy.
Tổng hợp là một thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc
hợp nhất những bộ phận của đối tượng toán học đã được phân tích thành một
chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn.
b. Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là thao tác tư duy mà chủ thể chỉ tập trung chú ý vào
những tính chất cơ bản nhất, đặc trưng nhất, thuộc và chỉ thuộc lớp đang

phát sinh từ quan sát, kinh nghiệm, nhận xét, lập luận hoặc giao tiếp, như
đường dẫn đến sự tin tưởng và hành động.
- Tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kỹ lưỡng việc có
thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ về sự việc và mức độ tin cậy trước khi chấp
nhận hay từ chối.
Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại:
Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân
tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh
nghiệm, chứng cứ, thông tin, và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng - sai, tốt

22


- xấu, hay - dở, hợp lý - không hợp lý, nên - không nên, và rút ra quyết định,
cách ứng xử cho mình.
b. Biểu hiện của năng lực tư duy phê phán
- Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm. Có khả năng đề xuất các câu hỏi.
- Đánh giá tính hợp lý của các cách đặt, giải quyết vấn đề. Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau. - Có khả năng đưa ra
các quyết định.
- Có khả năng nhận ra các thiếu xót, sai lầm.
- Có khả năng sửa chữa sai lầm.
1.2.4.3. Tư duy sáng tạo
a. Khái niệm tư duy sáng tạo
Có nhiều cách định nghĩa tư duy sáng tạo
- Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hình ảnh, những ý tưởng,
những sự vật mới và chưa có từ trước.
- Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có
hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
- Tư duy sáng tạo là sự nhạy bén trong việc nhận ra các vấn đề, các
thiếu hụt trong kiến thức, các bất hợp lý trong các thông tin hiện có, tìm cách

vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như
quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp
khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ
quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và
xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,
hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy
nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến

24


thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh
nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng quen biết.
+Tính nhuần nhuyễn (Fluency).
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh,
đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý
tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được
đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng
nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong
trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần
nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm
được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một