ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn


LỤC
Trang
Lời cảm ơn .............................................................................................................. i
Danh mục các kí hiệu viết tắt .................................................................................. ii
Mục lục..................................................................................................................... iii
Danh mục các bảng ................................................................................................. vi
Danh mục các hình .................................................................................................. vii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN................................................. 5
1.1. Tư duy ............................................................................................................... 5
1.2. Tư duy sáng tạo ................................................................................................. 6
1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo .................................................... 9
1.3.1. Tính mềm dẻo ................................................................................................ 9
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn......................................................................................... 11
1.3.3. Tính độc đáo................................................................................................... 21
1.3.4. Tính hoàn thiện .............................................................................................. 22
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề .................................................................................... 25
1.3.6. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh................ 28
1.4. Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong
việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh ........................................................... 30
1.5. Kết luận chương 1 ............................................................................................. 32
Chƣơng 2: MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƢƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƢỚNG RÈN LUYỆN TƢ
DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH ................................................................... 33
2.1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình ................. 33
2.2. Sơ lược các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình và hệ
phương trình ............................................................................................................. 36
2.2.1. Phương trình đa thức, phân thức ................................................................36 ....
2.2.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.......................................................... 37
2.2.3. Phương trình vô tỷ.......................................................................................... 38

2.7.1. Phương pháp đồ thị ........................................................................................ 79
2.7.2. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ
vectơ trong mặt phẳng.............................................................................................. 84
2.7.3. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ
vectơ trong không gian............................................................................................. 89
2.8. Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng cho học sinh
thông qua hoạt động tìm tòi cái mới khi giải phương trình và hệ
phương trình ............................................................................................................. 95
2.9. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen
dần với nghiên cứu toán học .................................................................................... 100
2.10. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 105
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.............................................................
106

iv


3.1. Mục đích thực nghiệm ...................................................................................... 106
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm................................................................106 .....
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm...................................................................................... 106
3.2.2. Nội dung thực nghiệm.................................................................................... 107
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................................................... 109
3.3.1. Đánh giá định tính.......................................................................................... 109
3.3.2. Đánh giá định lượng....................................................................................... 110
3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm....................................................... 112
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 113
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 114

v



2
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ đường tròn u 
v2  9 và đường
Hì
nh
2.
3:
thẳng u  v  1  1  2m
………………………………………..
58
Hình 2.4:
Bảng biến thiên của hàm số f (x)  2x  x2 với 0  x 
2 ……… 63
Hình 2.5:
Miền mặt phẳng tọa độ chia bởi đường thẳng x  2 y 
4  0 …….. 80
Hình 2.6:

Đồ thị hàm số y  2 | x |  x2

…………………………………….
81
Hình 2.7:

Đường thẳng x  y  k và nửa đường tròn x2  y2 

1…………… 82
Hình 2.8:
Minh họa ví dụ

m t, lư ng thông tin bùng n . Cùng v i đó, nó đòi h i con ngư i ph i có tính năng
đ ng và có kh năng thích nghi cao v i s phát tri n m nh m v m i m t khoa h c kĩ
thu t, đ i s ng . . . Như v y rèn luy n kh năng sáng t o cho h c sinh là nhi m v
quan tr ng, c p thi t c a nhà trư ng ph thông.
M t khác, Toán h c là môn khoa h c cơ b n, là công c đ h c t p và nghiên c u
các môn h c khác. Toán h c có vai trò to l n trong s phát tri n c a các
1


ngành khoa h c kĩ thu t. Nó liên quan ch t ch và có ng d ng r ng rãi trong
nhi u lĩnh v c khoa h c, công ngh , kĩ thu t và đ i s ng.
Vì th , d y h c môn Toán

nhà trư ng ph thông gi vai trò quan tr ng

trong vi c rèn luy n, b i dư ng tư duy sáng t o cho h c sinh.
T trư c đ n nay đã có nhi u tác gi trong và ngoài nư c quan tâm đ n v n đ b i
dư ng tư duy sáng t o cho h c sinh. Trong cu n "Sáng t o toán h c", Polya đã đi
sâu nghiên c u b n ch t c a quá trình gi i toán , quá trình sáng t o toán h c và đúc
rút nh ng kinh nghi m gi ng d y c a b n thân. Krutecxki đã trình bày các nghiên
c u c a ông v c u trúc năng l c toán h c c a h c sinh và nêu b t nh ng phương
pháp b i dư ng năng l c toán h c cho h c sinh trong cu n "Tâm lí năng l c toán h c
c a h c sinh".
nư c ta cũng có nhi u công trình c a các giáo sư Hoàng Chúng, Nguy n C
nh Toàn. . . nghiên c u v lí lu n và th c ti n vi c phát tri n tư duy sáng t o cho h c
sinh.
Có th th y r ng v n đ b i dư ng và phát tri n tư duy sáng t o trong gi ng d y b
môn Toán đã thu hút đư c s quan tâm chú ý c a nhi u nhà nghiên c u. Tuy nhiên,
các tác gi thư ng không đi sâu khai thác vào nghiên c u c th vi c phát tri n tư duy
sáng t o thông qua d y h c phương trình và h phương trình trong chương trình

Th i gian: Năm h c 2012 - 2013.
5. Đ i tư ng kh o sát
H c sinh các l p 11A1, 11A2 trư ng trung h c ph thông Xuân Đ nh, Hà N i.
6. Gi thuy t khoa h c
N u d y h c phương trình và h phương trình trong chương trình toán trung h
c ph thông theo các bi n pháp đ xu t trong sáng ki n kinh nghi m này thì s rèn
luy n và b i dư ng tư duy sáng t o cho h c sinh.
7. Đi m m i c a đ tài
- Trình bày cơ s lí lu n v tư duy sáng t o.
- Th c tr ng d y h c môn Toán ph n phương trình và h phương trình nhà
trư ng ph thông.
- Đ xu t đư c các bi n pháp d y h c gi i phương trình và h phương trình theo
đ nh hư ng rèn luy n tư duy sáng t o cho h c sinh .
- K t qu th c nghi m sư ph m cho th y đ tài có tính kh thi và hi u qu .

3


- K t qu c a đ tài có th làm tài li u tham kh o h u ích cho đ ng nghi p
và cho nh ng ai quan tâm đ n d y h c rèn luy n, phát tri n tư duy sáng t o cho h c
sinh.
8. C u trúc lu n văn
Ngoài ph n m đ u, k t lu n và khuy n ngh , danh m c tài li u tham kh o và
m c l c, lu n văn đư c trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ s lí lu n và th c ti n.
Chương 2. M t s n i dung d y h c phương trình và h phương trình theo
đ nh hư ng rèn luy n tư duy sáng t o cho h c sinh.
Chương 3. Th c nghi m sư ph m.

4

u phương ti n này có s lư ng càng l n, có d ng muôn màu muôn v , thì m c đ
sáng t o c a tư duy càng cao, thí d : lúc nh ng c g ng c a ngư i gi i v ch ra đư c
các phương th c gi i áp d ng cho nh ng bài toán khác. Vi c làm c a ngư i gi i có
th là sáng t o m t cách gián ti p, ch ng h n lúc ta đ l i m t bài toán tuy không gi i
đư c nhưng t t vì đã g i ra cho ngư i khác nh ng suy nghĩ có hi u qu ".
Trong [24], Tr n Thúc Trình đã c th hóa s sáng t o v i ngư i h c Toán: "Đ i v
i ngư i h c Toán, có th quan ni m s sáng t o đ i v i h , n u h đương đ u v i nh ng
v n đ đó, đ t mình thu nh n đư c cái m i mà h chưa t ng bi t. Như v y, m t bài t
p cũng đư c xem như là mang y u t sáng t o n u các thao tác gi i nó không b nh
ng m nh l nh nào đó chi ph i (t ng ph n hay hoàn toàn), t c là n u ngư i gi i chưa
bi t trư c thu t toán đ gi i và ph i ti n hành tìm hi u nh ng bư c đi chưa bi t trư c.
Nhà trư ng ph thông có th chu n b cho h c sinh s n sàng ho t đ ng sáng t o theo n
i dung v a trình bày.
Theo đ nh nghĩa thông thư ng và ph bi n nh t c a tư duy sáng t o thì đó là tư
duy sáng t o ra cái m i. Th t v y, tư duy sáng t o d n đ n nh ng tri th c m i
7


v th gi i v các phương th c ho t đ ng. Trong [15], Lene đã ch ra các thu c
tính sau đây c a tư duy sáng t o:

• Có s t l c chuy n các tri th c và k năng sang m t tình hu ng sáng t o.
• Nhìn th y nh ng v n đ m i trong đi u ki n quen bi t "đúng quy cách"
• Nhìn th y ch c năng m i c a đ i tư ng quen bi t.
• Nhìn th y c u t o c a đ i tư ng đang nghiên c u.
• K năng nhìn th y nhi u l i gi i, nhi u cách nhìn đ i v i vi c tìm hi u l i
gi i (kh năng xem xét đ i tư ng

nh ng phương th c đã bi t thành m t


• Tính nhu n nhuy n
• Tính đ c đáo
• Tính hoàn thi n
• Tính nh y c m v n đ
1.3.1.

Tính m m d o

Tính m m d o c a tư duy là năng l c d dàng đi t ho t đ ng trí tu này
sang ho t đ ng trí tu khác, t thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, v n d
ng linh ho t các ho t đ ng phân tích, t ng h p, so sánh, tr u tư ng hoá, khái quát
hóa, c th hoá và các phương pháp suy lu n như quy n p, suy di n, tương t , d
dàng chuy n t gi i pháp này sang gi i pháp khác, đi u ch nh k p th i hư ng suy
nghĩ khi g p tr ng i.
Ví d 1.3.1. Gi i phương trình
1+
.

1 − x2

(1 − x)2 −

(1 + x)3

= 2+

1 − x2

Phân tích, tìm tòi l i gi i:
Đi u ki n: −1 ≤ x ≤ 1.

1 + uv u3 − v3 = 2 + uv

1 + uv (u − v) u2 + v2 + uv = 2 + uv
u2 + v2 + uv (u − v) (2 + uv) = 2 + uv
2
√
u2 − v2 = 2.

Như v y, vi c gi i phương trình đã cho chuy n v vi c gi i h phương trình h u
t đơn gi n
√
u2 − v2 = 2
√
2
2
u − v = 2.
√
√
T đây, ta có u2 = 1 − x = 1 + 2
2 hay x = − 2 .
2
√
2.
V y nghi m c a phương trình là x = − 2
Tính m m d o c a tư duy còn là năng l c thay đ i d dàng, nhanh chóng
tr t t c a h th ng tri th c chuy n t góc đ quan ni m này sang góc đ quan ni m
khác, đ nh nghĩa l i s v t, hi n tư ng, g t b sơ đ tư duy có s n và xây d ng
phương pháp tư duy m i, t o ra s v t m i trong nh ng quan h m i,
10


Ví d 1.3.2. Gi i h phương trình
√

√
x+9+ 7−y = 4
√
√
y + 9 + 7 − x = 4.

11


L i gi i. Cách 1: T h phương trình đã cho, ta suy ra
√

⇔
Xét hàm s f (t) =
Ta có

√

x+9+
√

7−y =

√
x+9− 7−x =

√

x=7⇒y=7

⇔

x = −9 ⇒ y = −9.

V y h phương trình có hai nghi m (−9; −9) và (7; 7).
Cách 2: H phương trình đã cho tương đương v i h phương trình sau đây
√

√
x+9+ 7−y
√
√
y+9+ 7−x
⇔

2

= 16
2
= 16

√
√
x+y+2 x+9 7−y = 0
√
√
x+y+2 y+9 7−x = 0



x = −9 ⇒ y = −9.

V y h phương trình có 2 nghi m (−9; −9) và (7; 7).
Cách 3: Xét các trư ng h p sau đây
√
√
√
√
TH1: N u x > y thì ta có x + 9 > y + 9 và 7 − y > 7 − x suy ra
√

7−y >

x
Mà

√
y + 9 + 7 − x.

√
x+9+ 7−y = 4
√
√
y + 9 + 7 − x = 4,

nên 4 > 4 (Vô lý).
TH1: N u x < y thì ta có
√
Mà

⇔ −x2 − 2x + 63 = 0 ⇔

x = −9 ⇒ y = −9.

13


V y h phương trình có 2 nghi m (−9; −9) và (7; 7).
Cách 4: T h phương trình đã cho ta có
√
Ta có

√

√
x+9+ 7−x +

√
x+9+ 7−x

7−y+
2

y + 9 = 8.

(1.2)

√
√
= 16 + 2 x + 9 7 − x ≥ 16.

7−y+

(1.4)

y + 9 ≥ 8.

V y đ (1.2) x y ra thì (1.3) và (1.4) ph i x y ra d u b ng, t c là
√

√

=0
√ x+9 7−x
√
y+9 7−y = 0

⇔

(x + 9) (7 − x) = 0
(y + 9) (7 − y) = 0







⇔



2

 z + v2 = 16
14

(3)
(4).