BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TrườngTHPT LONG KHÁNH
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT BÀI TOÁN
HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY CỦA KỲ
THI THPT QUỐC GIA.

Người thực hiện: Hà Lê Anh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Lĩnh vực khác:



Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015-2016



qua dạng toán chứng minh bất đẳng thức hình học trong tam giác bằng phương
pháp đại số hóa- lượng giác hóa
2) Một số kinh nghiệm giải hệ phương trình hai ẩn bằng phương pháp thế .
3) Phát huy tính tích cực , sáng tạo của học sinh qua bài toán hình học trong mặt
phẳng toạ độ Oxy .
4) Một số biện pháp giúp học sinh làm tốt bài toán hình học Oxy trong kỳ thi
THPT Quốc Gia .

2


MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT BÀI TOÁN
HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY CỦA KỲ THI
THPT QUỐC GIA.
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1) Trong kỳ thi THPTQG có bài toán hình học giải bằng phương pháp toạ độ
trong mp Oxy. Là loại toán đòi hỏi phát triển năng lực cao. Mức độ vận dụng tốt,
điểm 8 trên thang điểm 10.Bài toán này dùng để phát triển năng lực học sinh ,phân
loại học sinh giỏi , đáp ứng cho nhu cầu tuyển chọn nhân lực cao .Theo kết quả của
BGD-ĐT trong kỳ thi THPT năm học 2014-2015 tỉ lệ học sinh làm được bài này là
: 10% (Theo kết quả công bố của Bộ GD&ĐT). Có một nghịch lý là số học sinh
làm được bài này lại ít hơn số học sinh làm được câu điểm 9 là câu về phương
trình, hệ phương trình. Lý do là các em thường tiếp thu hình khó hơn tiếp thu đại
số và thời gian học cũng ít hơn. Trong thực tế là các em chưa hình thành được một
thuật toán giải loại toán này và các kỷ năng chứng minh hình học phẳng ( vốn học
từ lớp 9 ). Đó là khó khăn cơ bản mà học sinh gặp phải .
2) Bài toán hình Oxy là nối tiếp của bài toán hình học phẳng ở cấp THCS
dùng tư duy hình học và giải quyết bằng ngôn ngữ toạ độ Đề-Các trong mặt phẳng
Oxy. Như vậy mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất
của một bài toán hình học phẳng nào đó. Thông thường các bài toán dạng này đề

HD. H(-1;3), AE có phương trình : 4x+y +3 = 0. C( ; 4) Tìm toạ độ A,B,D ?

Tại sao ta phát hiện được AE ⊥ CE ? Chúng tôi hướng dẫn cho các em thấy, phải
tập trung vào mối quan hệ ba điểm là A, C, E của giả thiết. Từ đó bằng hình vẽ các
em đoán ra tính chất. Vậy dựa vào hình vẽ là một công cụ lợi hại để dự đoán tính
chất. Tôi luôn luôn tập dượt cho các em điều này.
3)Một khó khăn nữa đối với các em là chứng minh tính chất vừa đoán ra.
Điều này đòi hỏi thầy cô giáo phải có một thời gian ôn tập lại một số kỹ năng
chứng minh về hình học phẳng, nhất là chứng minh về tứ giác nội tiếp. Sau đây tôi
chia sẻ với các đồng nghiệp về chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng
phương pháp toạ độ, rất có hiệu quả với các em ở phần các giải pháp.
4) Sự hình thành tư duy và thuật toán .
Tại sao các em lúng túng khi làm loại bài tập này ? Theo tôi các em do ngại
khó nên ít tập dượt, mặt khác các em cũng chưa được trang bị một cách đầy đủ các
4


bước để giải bài tập. Do đó, trong tham luận này tôi muốn nêu ra một qui trình
giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. Việc khai thác các tính chất hình
học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra
bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải bài toán. Do “Mỗi bài toán hình học toạ
độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng”. Vì vậy
phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán
hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ
động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các
bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.
a. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu
cầu khả năng lựa chọn lời giải trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương
ứng.
b. Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực


ur ur

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 = 0

a1.b1 + a2 .b2
a12 + b12 . a22 + b22

II. Đường thẳng:
1)Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r r
Vectơ u ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song
song hoặc trùng với ∆.
r
r
Nhận xét:– Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r r
Vectơ n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
r
r
r r
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của ∆ thì u ⊥ n .
3)Phương trình tham số của đường thẳng
6

trình ax + by + rc = 0 thì ∆ có:
r
VTPT là n = (a; b) và VTCP u = (−b; a) hoặc u = (b; −a) .
r
– Nếu ∆ đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a; b) thì phương trình của ∆ là:
a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆:

x y
+ = 1.
a b

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
• ∆ đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y − y0 = k ( x − x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 .
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x + b1y + c1 = 0
 a x + b y + c = 0 (1)
 2
2
2
a
b
• ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ a1 ≠ b1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
2
2


·
·
cos(∆1 , ∆2 ) = cos(n1, n2 ) = r r =
n1 . n2
a12 + b12 . a22 + b22

• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 .
• Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì:
+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.
8) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Chú ý:

7


Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , ∆) =

ax0 + by0 + c
a2 + b2

• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(ax N + byN + c) > 0 .
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < 0 .
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:


8


Tính chất bị “ẩn “trong bài toán là AE vuông góc CE. Bước qua được chốt này
coi như đặt được một chân vào “cung cấm”.
dùng kiến thức hình phẳng để chứng minh AE ⊥ CE là khá khó với các em, vì
phải lấy thêm trung điểm của AB. Bởi vậy tôi cho các em lập hệ trục toạ độ có gốc
A và D nằm trên chiều dương trục hoành, D(2a;0) a>0, B(0;b) b> 0. Tìm toạ độ C,
uuur uuu
r

E qua a, b rồi tính AE.CE là xong.
Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chử nhật ABCD , đỉnh B thuộc
đường thẳng d : 2x – y + 2 = 0 , C thuộc đường thẳng d’ :x – y – 5 = 0
9 2
) , K(9 ;2) lần lượt là trung điệm của AH
5 5

H là hình chiếu của B xuống AC . M( ;

và CD . Tìm toạ độ của B ,C biết hoành độ của C lớn hơn 4.
Phân tích :
Trong bài toán này có tính chất là BM ⊥
KM . Để giải quyết khó khăn khi chứng
minh tôi cho các em dùng phương pháp
toạ độ bằng cách chọn hệ trục toạ độ Bxy
với A(a ;0) a > 0 ; C( 0 ;c) c > 0 dể dàng
uuuu
r uuuur

*Tìm tòi lời giải:

10


M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm
B; G; M em tìm tọa độ điểm nào? Từ đó các em tìm được tọa đọ điểm M.
AD là phân giác trong của góc A, B là điểm biết tọa độ thuộc AB, vậy điểm K đối
xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác các
em phát hiện K thuộc AC.
Do M và K là các điểm thuộc AC vậy phương trình AC viết được, suy ra tọa độ A
và C.
*Lời giải:
Tìm tọa độ M ( xM ; yM ) ,theo tính chất trọng tâm G, có:
uuuur

2 uuuuur
BG = BM ⇔
3


7
 xM =
2

 y =1
 M

Tìm tọa độ K đối xứng với B qua AD. I là trung điểm BK ⇒ I (
uuuur


AD là phân giác góc A, H thuộc AB. K là điểm đối xứng với H qua AB ⇒ K
thuộc AC. Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi
qua K và vuông góc với BE ⇒ phương trình AC ⇒ tọa độ A. Do A và H xác định
được tọa độ nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC ⇒ tọa
độ C.
*Lời giải:
K là điểm đối xứng với H qua AD ⇒ K (-3;1). AC qua K và vuông góc với BE ⇒
phương trình AC: 3x + 4 y + 7 = 0 , tọa độ A (5;7), CH qua H và vuông góc với AH
có phương trình 3x + 4 y + 7 = 0 . Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

−10
 x = − 3
3x + 4 y + 7 = 0
⇔
.

3x − 4 y + 13 = 0
y = 3

4

 −10 3 
; ÷.
Vậy C 
 3 4

Bài toán 2: Dùng tính chất hai đường thẳng vuông góc.
uur


hình vẽ ta phán đoán AM⊥BN. Nếu điều này đúng thì “giải quyết”xong điểm B.
Khi tìm được B thì lập được phương trình BC từ đó tìm được C.
*Lời giải:
+Chứng minh AM⊥BN.
Cách 1: Hướng dẫn các em chứng minh tam giác vuông ABM bằng tam giác
vuông BCN.
uuuuuruuuur

Cách 2: Hướng dẫn các em chứng minh AM .BN = 0
uuur 12 −16
uuur 32
uuuruuur
14
) ; B(2b-6; b)⇒ BI = ( − 2b; − b) ; AI .BI = 0 ⇔b=4⇒B(2;4)
+ AI = ( ;
5 5
5
5

+Phương trình BC: 2 x − y = 0 ⇒C(c;2c). Do BC=AB⇒c=0 hoặc c=4. Vậy C(0;0)
hoặc C(4;8).
Ví dụ 4.
13


Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A∈(d):
x − y − 4 = 0 . M(4;0)∈ BC; N(0;2)∈CD sao cho tam giác MAN cân tại A. Xác định
tọa độ các đỉnh hình vuông.
*Tìm tòi lời giải:



uuuur

Nếu A,B,C thẳng hàng thì AB và AC cùng phương ⇔ AB =k AC .
14


Khi hai véc tơ cùng phương ta khai thác được hai phương trình, đây là một lợi thế
không nhỏ. Khi giả thiết cho hai điểm xác định tọa độ, chúng tôi cho học sinh phát
hiện xem có điểm nào khả nghi trên đường thẳng qua hai điểm đó không ? Nếu có
thì tiến hành so sánh hai véc tơ tạo thành.
Đường thẳng Ơ-le được học sinh học ở lớp 10(phần vectơ). Đây là một tính chất
nói về ba điểm thẳng hàng. Chúng tôi sau khi cho các em ôn tập lại tính chất đó.
Để khai thác tính chất này, chúng tôi cho các em làm các ví dụ sau đây:
Ví dụ 5.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, có tâm đường tròn ngoại

4 5
1 8
tiếp I ( ; ) , trực tâm H ( ; ) và M(1;1) là trung điểm cạnh BC. Xác định A,B,C.
3 3
3 3

*Tìm tòi lời giải:
Gỉa thiết của bài toán đưa đến một liên tưởng về đường thẳng Ơ-le đó là ba điểm
uuuur

uuur

thẳng hàng H,G,I với G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có HG = 2GI , từ đấy xác

9
+Tọa độ B(-1;2), C(3;0) hoặc B(3;0), C(-1;2).
Ví dụ 6 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( −1;4 ) ,
I ( −3;0 ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và M ( 0; −3) là trung điểm BC. Viết
phương trình AB, biết B có hoành độ dương.

uuuuu
r

uuuur

Tìm tòi lời giải:
Nếu ở ví dụ 11 ta hướng dẫn học sinh
tìm toạ độ trọng tâm G thông qua mối
quan hệ 3 điểm thẳng hàng H, G, I thì
bài tập này, chúng ta hướng sự suy nghĩ
của học sinh vào cách tìm trực tiếp
điểm A thông qua mối quan hệ giữa
uuuur
uuuuu
r
AH với IM . Dễ dàng các em dự đoán
uuuuu
r
uuuur
được AH = 2.IM . Đến đây điểm A
được giải quyết xong. Khi đó, viết được
phương trình đường tròn ngoại tiếp
∆ABC và phương trình BC. Dĩ nhiên
tính được toạ độ B và ta viết được

16


1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
Khai thác khoảng cách đưa đến cho bài toán một phương trình. Dạng khoảng cách
được ẩn dưới dạng cạnh hình vuông, đường cao tam giác, diện tích tam giác.
Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) , trọng tâm
G ∈ (d ) : x + y − 2 = 0 . Diện tích tam giác ABC bằng 27 . Viết phương trình AC.
2
Tìm tòi lời giải:
Để viết phương trình AC ta chỉ
cần xác định C. Để xác định C
ta phải xác định G. Do
G ( t;2 − t ) nên G chỉ cần một
phương trình với ẩn t. Diện tích
tam giác chắc chắn có liên quan
đến khoảng cách từ C đến AB.
Theo giả thiết khoảng cách này
xác định được. Vậy khoảng
cách này liên quan đến G chỗ nào? Vấn đề là chỗ đó. Theo tính chất trọng tâm


Làm cách nào để lập được một phương trình cho ẩn a? Rõ ràng là khoảng cách từ
p 10
M đến AN là tính được. Gọicạnh hình vuông là p ta có AN =
3
2
5p
Diện tích tam giác AMN là
12
p 10
p 10 3 5
MH =
⇒
=
⇒ p =3 2
4
4
2
3 10
⇒ AM =
⇒ A ( 1; −1) , A ( 4;5)
2
Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng qua một điểm cho trước và tạo với
đường cho trước một góc xác định.
Khi một đường thẳng di qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một
góc được xác định, thì phương trình đường thẳng đó viết được phương trình.Dấu
hiệu sử dụng kết quả này là giả thiết cho phương trình một đường thẳng và đường
thẳng ‘’đối tác’’ còn lại đi qua một điểm biết tọa độ.
*Trong mặt phẳng cho tam
giác ABC:

2

18


3a = 4b

⇔ 12a 2 − 7ab − 12b 2 = 0 ⇔ 

 4a = −3a

*Khi 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 có phương trình: AB: 4 x + 3 y + 1 = 0
Phương trình AC: 3x − 4 y + 7 = 0
* Khi 4a = −3b
Phương trình AB: 3x − 4 y −18 = 0
Phương trình AC: 4 x + 3 y − 49 = 0
Trường hợp này AB, AC, BC đồng quy nên loại.
Do đó phương trình AB: 4 x + 3 y + 1 = 0 , AC: 3x − 4 y + 7 = 0 .
Ví dụ 10:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho P ( −7;8) và hai đường thẳng ( d1 ) : 2 x + 5 y + 3 = 0;

cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng ( d3 ) đi qua P
29
tạo với d1, d 2 một tam giác cân tại A có diện tích S =
2
Tìm tòi lời giải:

( d2 ) :5x − 2 y − 7 = 0

Dễ dàng thấy d1 ⊥ d 2 , vậy ∆ABC cân tại A thì ∆ABC chính là tam giác vuông cân

19


Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu bài
toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán.
Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác vuông ABC vuông
tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC. D là điểm đối xứng của
B qua H. K là hình chiếu vuông góc của C lên AD. Giả sử h(-5 ; -5), K( 9 ; - 3) và
trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm toạ độ điểm A
(Trích Đề thi THPTQG – 2015 )

Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán
Do điểm M ∈ x – y + 10 = 0. Vậy M phải là đối tượng mà các em phải xem xét. Từ
đó các em phát hiện được mối quan hệ ba điểm H, M, K là tam giác HMK cân
tại M. Với phát hiện này ta tìm được toạ độ M(0;10)
Từ hình vẽ ta dự đoán A, K đối xứng với nhau qua HM. Nếu điều này đúng thì tìm
được toạ độ A. Hướng học sinh vào chứng minh MH là trung trực của AK
⇔ HA = HK

20


+ Chứng minh HA ⊥ HK
+ Viết phương trình đường thẳng AK
+ Tìm giao điểm AK với HM
+ Tìm toạ độ A
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

+ Tìm toạ độ B
+ Viết phương trình BC
+ Tìm toạ độ C
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB,
BC, biết CM cắt DN tại I (

22 11
; ) . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH
5 5

7
cắt CD tại P( ;1) . Biết xA < 4 , tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông
2

M

A

B

I

E

N

H
D


H = AP ∩ DN , H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D

+ Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra toạ độ điểm
P = AH ∩ DC , P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C
uuur uuur

+ AB = DC suy ra toạ độ điểm B
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
∆MBC = ∆NCD ⇒ CM ⊥ DN

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED
= EI, mà H là trung điểm của DI ⇒ EH ⊥ DI ⇒ AH ⊥ DN ,
mà CM ⊥ DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình
bình hành, do đó P là trung điểm DC ⇒ tứ giác AMPD là hình chữ nhật
⇒ IE =

1
1
DM = AP ⇒ ∆AIP vuông tại I
2
2

23


Ta có ∆ADI cân tại A ⇒ AI = AD = DC = 2 IP ( do tam giác DIC vuông tại I)
⇒ AI = 2 IP

Đường thẳng AI qua I và vuông góc với PI nên có phương trình 3 x + 4 y − 22 = 0 .
t = 0


D

K

C

Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:
∆ABE = ∆ADF ⇒ AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là đường trung

tuyến ⇒ AM ⊥ EF . Do đó 3 điểm A, E, F thuộc đường tròn tâm M bán kính MA
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán
24


+ Chứng minh AM ⊥ EF ; A, E, F thuộc đường tròn tâm M
+ Viết phương trình EF: qua M và vuông góc AM
+ Viết phương trình đường tròn (C) tâm M bán kính MA
+ E, F là giao điểm của đường thẳng EF và đường tròn (C), suy ra toạ độ E, F
+ Viết phương trình CD đi qua F, K. Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc
với CD, suy ra toạ đô D = AD ∩ CD
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
∆ABE = ∆ADF ⇒ AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là đường

trung tuyến ⇒ AM ⊥ EF . Do đó 3 điểm A, E, F thuộc đường tròn tâm M bán kính
MA
Đường thẳng EF qua M và vuông góc EA nên có phương trình x − 2 y + 8 = 0 .
Phương trình đường tròn tâm M, bán kính MA là ( x + 4)2 + ( y − 2)2 = 20
x + 2 y− 8 = 0


9 2

các đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, d 2 : x − y− 5 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4.

25