Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Hồng Bàng
Mã số:………
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ LINH ĐA
Lĩnh vực nghiên cứu:
* Phương pháp dạy học bộ môn:

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD
TRONG BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình

 Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2012 – 2013
Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 1



A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhằm hưởng ứng phong trào ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy
để nâng cao chất lượng dạy và học. Tổng hợp những khó khăn và thuận lợi trong
thời gian qua, tôi đã viết nên SKKN này nhằm mục đích chia sẻ với các đồng
nghiệp đang giảng dạy môn toán một công cụ mạnh hỗ trợ một cách trực quan hình
ảnh mang tính chất động phục vụ cho công tác giảng dạy.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một ngành khoa học gắn liền với
những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có nhiều ý kiến
cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự
trừu tượng của ngôn từ. Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT đa số các
em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là những bài
toán về tập hợp điểm ( quỹ tích) .
Hiện nay có nhiều phần mềm toán học chuyên dụng có khả năng hỗ trợ cho
việc dạy và học. Phần mềm geometer’s Sketchpad (GSP) là một trong những ví dụ
điển hình về phần mềm hỗ trợ việc dạy và học hình học trên máy vi tính. Phần
mềm này cho phép chúng ta tạo ra các hình ảnh trong không gian 2 chiều, ở đó học
sinh có thể thấy được, dịch chuyển được, thao tác được như trên các vật thật, giúp
khám phá cái bản chất của nó. Đây chính là chức năng tạo đồ dung dạy học ảo của
máy vi tính.
Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, để tạo cho các em một
sự đam mê, thích thú và muốn khám phá những điều lý thú, kỳ diệu còn tiềm ẩn
bên trong môn học này, hơn nữa để giúp Thầy, cô đứng lớp tiết kiệm được thời
gian vẽ hình và giải thích bài giảng một cách trừu tượng, tăng thời gian thực hiện
các hoạt động, giúp học sinh có được một tiết học thoải mái, tự tin và hiệu quả
những hình ảnh động để học sinh quan sát, theo dõi, giúp các em dễ dàng phát hiện
vấn đề, đi tìm và lĩnh hội tri thức một cách hiệu quả và chính xác.
Với chức năng tạo đồ dùng dạy học ảo, tuỳ theo mức độ khai thác của giáo
viên và học sinh, có thể tạo ra từng hoạt động để sử dụng chúng như là phương tiện
để gợi động cơ hình thành kiến thức mới từ đó học sinh có thể hình thành và giải
quyết vấn đề, để học sinh dự đoán, tìm kiếm và có thể kiểm tra nhanh được kết quả

giảng dạy toán THPT những kinh nghiệm trong công việc ứng dụng geometer’s
sketchpad vào công tác giảng dạy toán của mình.
- SKKN này được viết ra cũng nhằm mục đích góp phần thực hiện chủ
trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.
Bản thân đã phần nào đó ứng dụng SKKN trong việc giảng dạy nhiều năm
qua và nhận thấy rằng một số nội dung trong SKKN này đã góp phần vào việc
đổi mới phương pháp giảng dạy cho bản thân và nâng cao chất lượng học tập của
học sinh.
Tôi hi vọng rằng SKKN này giúp cho giáo viên có thêm công cụ mạnh để
giải quyết các bài toán nói chung và bài toán quỹ tích nói riêng một cách trực quan
và chính xác các dạng toán thường gặp trong giảng dạy.
II. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
1. Sơ lượt một số thao tác cơ bản khi sử dụng công cụ của phần mềm.
1.1. Các yếu tố cơ bản của màn hình Geometer’s Sketchpad (GSP)

a. Thanh tiêu đề: Chứa tên file, nút phóng to thu nhỏ, đóng cửa sổ.
b. Thanh thực đơn: Chứa danh sách các lệnh.
Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 4


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

c. Thanh công cụ: Chứa các công cụ khởi tạo và thay đổi các đối tượng Geometric,
các công cụ này tương tự như compa, thước kẻ, bút viết hàng ngày của chúng ta.
d. Vùng Sketch: Là vùng làm việc chính của chương trình, là nơi để xây dựng, thao
tác với đối tượng hình học
e. Con trỏ: Chỉ ra vị trí hiện thời trên của sổ. Nó sẽ di chuyển khi ta di chuyển con
chuột.

Trang 5


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

* Chọn 2 đối tượng mà ta muốn xây dựng điểm giao của hai đối tượng đó bằng
công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh: Construct  Intersecsion hoặc ấn tổ hợp
phím: Ctrl I
c. Trung điểm
* Chọn đoạn thẳng bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh:
Construct  Midpoint hoặc ấn tổ hợp phím: Ctrl M
1.4.2. Đường thẳng
a. Đoạn thẳng
* Chọn 2 điểm bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh:
Construct  Segment
b. Tia
* Chọn 2 điểm bằng công cụ chọn ( chú ý thứ tự các điểm), sau đó thực hiện
lệnh: Construct  Ray hoặc chọn trên thanh công cụ.
c. Đường thẳng
* Chọn 2 điểm, sau đó thực hiện lệnh: Construct  Line hoặc chọn trên thanh
công cụ.
d. Đường thẳng vuông góc
* Chọn một hoặc nhiều điểm và chọn một hoặc nhiều đường thẳng |tia| đoạn
thẳng bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh: Construct  Prependicular Line.
e. Đường thẳng song song
* Chọn một hoặc nhiều điểm và chọn một hoặc nhiều đường thẳng |tia| đoạn
thẳng bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh: Construct  Parallel Line.
f. Đường phân giác
* Chọn 3 điểm bằng thanh công cụ ( Chú ý thứ tự của các điểm) , sau đó thực
hiện lệnh: Construct  Angle Bisector.

công cụ, sau đó lựa chọn màu trong thực đơn Display hoặc kích chuột phải chọn
Color.
1.4.5. Các công cụ đo đạc
a. Đo độ dài
* Chọn 1 hay nhiều đoạn thẳng cần đo đạc bằng công cụ chọn ( không chọn hai
điểm đầu mút ), sau đó thực hiện lệnh: Measure  Length.
° Chú ý: Giá trị độ dài sẽ được hiển thị trên màn hình.
b. Đo khoảng cách
Hiển thị khoảng cách giữa 2 điểm cho trước hoặc khoảng cách từ 1 điểm đến
1 đường thẳng.
* Chọn 2 điểm ( hoặc chọn 1 điểm và 1 đường thẳng) cần đo đạc khoảng cách
giữa chúng, sau đó thực hiện lệnh: Measure  Distance
° Chú ý: Giá trị độ dài sẽ được hiển thị trên màn hình.
c. Đo góc
* Chọn 3 điểm tạo thành góc ( Chú ý thứ tự các điểm được lựa chọn, điểm thứ 2
sẽ là đỉnh của góc), sau đó thực hiện lệnh: Measure  Angle
° Chú ý: Giá trị độ dài sẽ được hiển thị trên màn hình.
d. Đo bán kính
* Chọn đường tròn / cung tròn / hình quạt / hình viên phân bằng công cụ chọn,
sau đó thực hiện lệnh: Measure  Radius
° Chú ý: Giá trị độ dài sẽ được hiển thị trên màn hình.
e. Đo chu vi đường tròn
* Chọn đường tròn cần đo chu vi, sau đó thực hiện lệnh
Measure  Circumference
° Chú ý: Giá trị độ dài sẽ được hiển thị trên màn hình.
Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 7



từ trước.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 8


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

° Chú ý: Đơn vị đo góc ở đây được mặc định là độ và ta có thể điều chỉnh đơn
vị đo góc trong lệnh Preferences.
b. Phép vị tự
Trước khi thực hiện một phép vị tự một đối tượng với một tỷ số đã được thiết
lập trước, ta cần phải thiết lập trước một tỷ số.
* Đo độ dài 2 đoạn thẳng cần lập tỷ số, sau đó thực hiện lệnh:
Measure  Calculate
* Lập tỷ số

AB
bằng cách lấy AB chia cho CD
CD

* Chọn 1 điểm bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh:
Transform  Mark Center.
* Chọn đối tượng cần thực hiện bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh:
Transform  Dilate
Hội thoại Dilate xuất hiện: Ta chọn tỷ số vị tự.
+ Chọn By Fexed Ratio: ( Không chọn By Marked Ratio) cho phép ta nhập một
phân số với Tử số (New) và Mẫu số (Old ), phải nằm trong đoạn  10;10


Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 10


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

° Chú ý: Có 3 kiểu véctơ tịnh tiến, đó là :
d.1. By Rectangular Vector: Tịnh tiến theo véctơ gồm hai thành phần: chiều
ngang và chiều dọc. Chú ý: Véctơ phải quay theo chiều ngược kim đồng hồ.

* Phương pháp này đòi hỏi ta phải nhập hai thành phần của véctơ: chiều
ngang, chiều dọc
d.2. By Polar Vector: Tịnh tiến một đối tượng đi một khoảng xác định, và
theo một hướng (góc) xác định.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 11


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

* Với phương pháp này người dùng cần phải xác định véctơ tịnh tiến (góc
và khoảng cách)
d.3. By Maked Vector:

1.4.7. Tạo vết và tạo hình ảnh động
a.1. Tạo vết
* Chọn đối tượng cần tạo vết bằng công cụ chọn, sau đó thực hiện lệnh:

* Để vẽ các đường cônic trong file đang soạn ta mở file conic.gsp trong thư
mục Custom Tools. Từ cửa sổ Windows trên thanh công cụ, kích chọn file đang
soạn, kích vào biểu tượng

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trong ô khai báo có thể chọn các chế độ.

Trang 13


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

1.4.11. Đưa các ký hiệu thêm vào hình vẽ
* Để đánh dấu góc vuông, góc có một vòng, hai vòng, vẽ véctơ ta mở file :
Appearance Tools.gsp trong thư mục Custoom Tools. Từ cửa sổ Windows trên
thanh công cụ, kích chọn file đang soạn, kích vào biểu tượng
báo có thể chọn các chế độ.

Trong ô khai

1.4.12. Gõ công thức toán trong GSP
* Ta kích hoạt chế độ gõ chữ, xuống dòng cuối màn hình để nhập công thức
toán, chọn fonts chữ, cỡ
chữ…
1.4.13. Mở nhiều trang trên một file GSP
* Từ Menu file chọn Document Options, chọn Add Page, rồi chọn Balank Page.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa


lợi của Geometer’s Sketchpad 4.0 và các phiên bản mới. Từ các trang mới ta vừa
bổ sung và ta có thể dựng ngay các hình vẽ có ứng dụng trên các Scrips Tool ta
vừa xây dựng.
2. Đôi nét về bài toán quỹ tích.
2.1. Định nghĩa tập hợp điểm.
Một hình H được gọi là tập hợp điểm (quỹ tích) của những điểm M thỏa
mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất T.
2.2. Phương pháp giải toán tập hợp điểm.
Để tìm tập hợp các điểm M có tính chất T ta làm theo các bước sau:
* Bước 1: Tìm cách giải.
- Xác định các yếu tố cố định và không đổi.
- Xác định các điều kiện của điểm M.
- Dự đoán tập hợp điểm ( Vẽ một số trường hợp để biết quỹ tích đó là
đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn hay cung tròn)
* Bước 2: Trình bày cách giải.
+ Phần thuận: Ta chứng minh các điểm M có tính chất T đều
thuộc hình H.
+ Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng
tỏ M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu được)
+ Phần đảo: Chứng minh mọi điểm M’ bất kỳ thuộc hình B đều
có tính chất T.
3 . Ứng dụng của phần mềm vào một số bài toán quỹ tích.
Bài toán 1: Cho một đường tròn cố định tâm O và điểm A cố định bên ngoài
đường tròn. Một điểm M chuyển động trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm H
của AM.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 16


Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 17


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

Mô tả: Dựng đường tròn tâm O (Chọn biểu tượng
trên thanh công cụ),
dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn( Chọn 3 điểm A, B, C trên đường
tròn  construct  segment. Dựng cung tròn BC (chọn B, C  construct  Arc on
circle), lấy điểm D trên cung BC, dựng đoạn thẳng AD, dựng CH  AD (chọn C
và đoạn AD  construct  Prependicular line) .Thiết lập chế độ di động cho điểm
D (chọn D  Edit  Action Buttons  Animation) và chế độ tạo vết cho điểm
H(Chọn H  display  Trace). Khi D di động trên cung tròn BC thì điểm H
chuyển động theo quỹ tích là một cung tròn.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm M trên đáy BC dựng tia
vuông góc với BC, tia này cắt AB và AC tại P và Q. Gọi R và S là trung điểm các
đoạn thẳng PB và CQ. Tìm quỹ tích trung điểm E của RS khi M chạy trên đáy BC.

Mô tả: Dựng tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M trên cạnh BC, dựng
đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt AB tại R và cắt AC tại Q. Dựng
trung điểm R của BP (chọn B, P  construct  midpoint) và trung điểm S của CQ,
dựng đoạn thẳng RS, dựng trung điểm E của RS. Thiết lập chế độ chuyển động cho
điểm M(chọn M  Edit  Action Buttons  Animation) và chế độ tạo vết cho điểm
Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 18





Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

kích chuột phải rồi thực hiện lệnh : hide circle ).Thiết lập chế độ di chuyển cho
điểm C(chọn C  Edit  Action Buttons  Animation) và chế độ tạo vết cho điểm
E (Chọn E  display  Trace). Khi C di chuyển trên đường tròn thì điểm E sẽ di
chuyển theo quỹ tích là 2 đường tròn tiếp xúc nhau tại O.
Bài toán 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, hai điểm C và D nằm trên
nửa đường tròn sao cho OC vuông góc với OD (C thuộc cung AD). AD cắt BC tại
I; hai tia AC và BD cắt nhau ở P. Tìm tập hợp các điểm I và P khi hai điểm C và D
chuyển động trên nửa đường tròn.

Mô tả: Dựng nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa đường tròn
đó lấy điểm C, dựng đường thẳng qua O và vuông góc với OC. Đường thẳng vừa
dựng cắt nửa đường tròn tại điểm D. Dựng các đoạn thẳng BC và AD, 2 đường này
cắt nhau tại điểm I. Dựng các tia AC và BD, 2 tia này cắt nhau tại điểm P. Thiết
lập chế độ di chuyển cho điểm C và chế độ tạo vết cho điểm P và I. Khi C, D di
chuyển trên đường tròn thì điểm I, P sẽ di chuyển theo quỹ tích là các cung tròn.
Bài toán 8: Cho điểm O đường thẳng a không đi qua O. Tìm tập hợp các đỉnh B của
tam giác đều OAB, trong đó A a

Mô tả: Dựng tam giác đều ABO với O  (a) và A  (a) ( Ta có thể dựng
đường tròn tâm A, bán kính AO, dựng đường tròn tâm O, bán kính AO. Hai đường
Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 20


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

Trên đường tròn (O) lấy điểm M, dựng các đoạn thẳng MA, MB( construct
 segment) . Dựng tia AM( Chọn A, M construct  Ray) , trên tia AM lấy điểm I
sao cho MI = 2MB ( Ta đo độ dài đoạn MB, sau đó thực hiện tính: 2MB. Dựng
đường tròn tâm M, bán kính 2MB cắt tia AM tại điểm I, khi đó điểm I được dựng
ra thỏa mãn điều kiện MI = 2MB). Thiết lập chế độ di động cho điểm M (chọn
M  Edit  Action Buttons  Animation) và chế độ tạo vết cho điểm I (Chọn
I  display  Trace). Khi M di chuyển thì điểm I di chuyển theo quỹ tích là đường
tròn.
Bài toán 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm chuyển động trên đoạn
thẳng AB. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = BD. Đường vuông góc với ED tại E
cắt đường thẳng AC tại F. Tìm tập hợp các tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Mô tả: Dựng tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn AB lấy điểm D, trên tia
BC lấy điểm E sao cho BE = BD ( Ta đo độ dài đoạn thẳng BD, dựng đường tròn
tâm, B bán kính BD cắt BC tại điểm E thỏa mãn yêu cầu BD = BE).Dựng
EF  DE tại E, với F là một điểm nằm trên đoạn AC. Dựng đoạn AE, xác định tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ( tâm là giao điểm của 3 đường trung trực)
Thiết lập chế độ chuyển động cho điểm D(chọn D  Edit  Action
Buttons  Animation) và chế độ tạo vết cho điểm O (Chọn O  display  Trace).
Khi D di chuyển thì điểm O di chuyển theo quỹ tích là một đoạn thẳng.
Bài toán 12: Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định. A là điểm chuyển
động trên (O), M là trung điểm của AB. Tìm quỹ tích hình chiếu H của M trên AC.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 22


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích


(Ta dựng giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác OHM). Thiết lập chế độ
di chuyển cho điểm M và chế độ tạo vết cho điểm I. Khi M di chuyển thì điểm I di
chuyển theo quỹ tích là hai cung tròn.
Bài toán 14: Cho điểm A chuyển động trên cung lớn BC cố định của đường tròn
(O,R). Tìm tập hợp các tâm I đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC.

Mô tả: Dựng đường tròn tâm O, bán kính cố định R. Dựng cung tròn BC
(Chọn BC là cung lớn). Trên cung BC lấy điểm A, dựng tam giác ABC, dựng 3
đường phân giác trong của tam giác ABC, giao điểm của 3 đường phân giác là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Thiết lập chế độ di chuyển cho điểm A và chế
độ tạo vết cho điểm I. Khi A di chuyển trên cung BC thì điểm I di chuyển theo quỹ
tích là một cung tròn.
Bài toán 15: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn (O,R); A là điểm cố định
nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Kẻ phân giác OD của tam giác OAM.
Tìm tập hợp các điểm D.

Giáo viên: Nguyễn Thị Linh Đa

Trang 24


Ứng dụng phần mềm Geometer’s sketchpad trong bài toán quỹ tích

Mô tả: Dựng đường tròn tâm O, bán kính R ( dựng trước 1 đoạn thẳng, đo
độ dài đoạn thẳng đó. Dựng đường tròn tâm O, bán kính bằng độ dài đoạn thẳng
đó. Khi đó ta có một đường tròn cố định). Lấy điểm A trên đường tròn thỏa mãn
điều kiện OA = 2R ( Ta thực hiện dựng và đo độ dài bán kính R. Tính 2R. Dựng
đường tròn tâm O, bán kính 2R. Trên đường tròn vừa dựng lấy điểm A, dựng đoạn
thẳng OA, khi đó OA = 2R), dựng các đoạn thẳng AM, OM. Dựng đường phân
giác trong của góc MOA ( Chọn thứ tự M,O,A  construct  Angle ) cắt AM tại