Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tham gia nhóm : />
Hàm số

CỰC TRỊ HÀM SỐ [PHẦN 1 ]
§1. Các phương
trị
(Tài liệu bổpháp
trợ kiếntìm
thứccực
)
CTV: Lê Đức Thọ

A-Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho f : D 

và x0  D .

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao cho


 x0   a; b   D
.


 f  x   f  x0  x   a; b  \  x0 
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao cho


 x0   a; b   D

f  x0 
 x0 ; f  x0  
Điểm cực đại của f

Giá trị cực đại (cực đại) của f

Điểm cực đại của đồ thị hàm số f

Điểm cực tiểu của f

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f

Điểm cực trị của f

Cực trị của f

Điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm f có đạo hàm tại x0 . Khi đó: nếu f đạt cực trị tại x0 thì f '  x0   0 .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
 Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 ;


Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 .

b) Quy tắc 2:

thiên của hàm số như sau:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tham gia nhóm : />
x

-1

-∞
+

y'

0

0
_

+∞

Hàm số

Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị

y "  2x  2 ,

+) y "  1  4  0  hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là

y  1  3 ;
+) y "  3  4  0  hàm số đạt cực tiểu tại x  3 , giá trị cực tiểu tương ứng là
y  3  

23
.
7

Ví dụ 4. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y  x  sin 2 x  2 .
TXĐ 


.
y '  1  2 cos 2 x , y '  0  cos 2x 

1
2

 2x  


3

 2k  x  



Hàm số





+) y   k   4sin   2k   2 3  0  hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
6

3

x

6
6
2
 6




Ví dụ 5. [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu tại điểm x  0 ,

y  0   0 và đạt cực đại tại x  1 , f 1  1 .
Giải. Ta có y '  3ax 2  2bx 2  c . Từ giả thiết suy ra
 y '0  0
c  0

d  0
 y  0  0





3
a

2
b

c



Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
TXĐ: D =
Đạo hàm:

y  3  m  2  x 2  m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình

y  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

   0  0  4.3m  m  2   0  0  m  2
Bài 2: Cho hàm số: y 





1 3
x  mx 2  m 2  m  1 x  1
3

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x 1

TXĐ: D =
2
2
Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  1


Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại

x 1

Bài 3: Cho hàm số y  x  6 x  3  m  2  x  m  6
3

2

Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị.
b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
a) TXĐ: D =
Đạo hàm: y  3x  12 x  3  m  2 
2

Cho y  0  x  4 x  m  2  0 (*)
2

  4   m  2   2  m
Để hàm số có 2 cực trị thì:

  0  2  m  0  m  2

b) Chia f  x  cho f   x  , ta được:

2
1
f  x   3x 2  12 x  3  m  2   x    4 x  2mx  m  2


  m  2   4 x1 x2  2  x1  x2   1  0 (1)
2

12
 4,
3

Mặt khác:

x1  x2 

Do đó (1)

  m  2   4  m  2   2.4  1  0

x1.x2  m  2

2

17

m



2
4
  m  2   4m  17   0  
m  2

Tham gia nhóm : />
Hàm số

m  0


Hàm số có 2 cực trị
2
   m  1  3m  m  2   0
m  0
m  0



6
6
2
 m  1
2m  4m  1  0
1 
2
2

Gọi

x1 , x2

là 2 nghiệm của phương trình

(*)

m
m

 3m 2  5m  4  0  m  2  m 
Vậy: m  2  m 

2
(Nhận so với điều kiện)
3

2
3

x3 x 2
  mx
Bài 5: Cho hàm số: y 
3 2
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.
TXĐ: D =
Đạo hàm: y  x  x  m
2

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

xm

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12


 2

1

m


4

 m  2  m  0  m  2

1
m  
2


 m  2

Bài 6 Tìm m để hàm số y   m  2  x3  3x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có y '  3  m  2  x 2  6 x  m . y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

m  2  0  m  2 .

(1)

Khi đó y ' là tam thức bậc hai có  '  3  m2  2m  3 . y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

 '  0  m 2  2m  3  0  3  m  1.

1 và  2 


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tham gia nhóm : />
Hàm số


2 13
m 
13
.
 0 

2 13
m  
13

 x1  x2  m
x1 , x2 là các nghiệm của t  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có 
.
2
x
x


3
m

1
 1 2
Do đó








OA 1  m; 2  2m3   OA2  1  m  4 1  m3 ;
2

2

OB 1  m; 2  2m3   OB2  1  m  4 1  m3 .
2

2

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

OA  OB  OA2  OB 2  1  m  4 1  m3   1  m   4 1  m3 
2

2

2

2

m  0
.

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0;3m3  , B  2m; m3  . Ta có:

(1)



OA  0;3m3   OA  3 m3 .

(2)



Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA  d  B, Oy   2 m .

(3)

1
 OA  d  B; OA   3m 4 .
2
 48  3m 4  48  m  2 (thỏa mãn (1)).

Từ (2) và (3) suy ra SOAB 
Do đó: SOAB

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -