Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Cảm ơn  gửi tới www.laisac.page.tl 

C 
S
H
À
S
Á
H
Ả
Đ
K
Ố
X
R
O
N
N
Ứ
T
Đ
Ê
Y
U
H
C
S Ố 
M S 
À M 


k AB .kd  1
y y
; voi:k AB  2 1

x2  x1
Trungdiêm I  d

co

m

Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :

c.

4. Cho điểm I( x0 ; y0 ) . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công
 x  x0  X
 y  y0  y

thức chuyển trục là : 

oc
uo


- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với x  x0 là trục đối xứng thì : f( x  x0 )  f  x0  x  đúng với mọi x , thì ta
cũng thu được kết quả .
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 4  4 x3  7 x 2  6 x  4  C  . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối
xứng đó ? )
GIẢI
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

- Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0 ;0)
 x  x0  X
y  Y



OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

Y   x  x0   4  x  x0   7  x  x0   6  x  x0   4

song với trục Oy.
GIẢI
- Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0 ;0)
 x  x0  X
y  Y



OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

Y  X 4   4 x0  4  X 3   6 x02  3x0  m  X 2   4 x03  12 x02  2mx0  X  x04  4 x03  mx02

4  x  1  0
- Để là hàm số chẵn thì :  3 0 2

 x  1
 0
4 x0  120  2mx0  0 m  4

on

gb

II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải

b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI

- Phương trình (C) viết lại thành dạng : y  x  1 

1
x 1

 x  x0  X
 y  y0  Y



c.

OI
  IXY   
- Chuyển :  Oxy  

Y  y0   x0  X   1 

1
 x0  X   1

oc
uo

- Phương trình (C) trong hệ mới là :

co


gb

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GIẢI

on

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hàm số viết lại : y  1 

1
x 1

- Giả sử (C) có tâm đối xứng là I  x0 ; y0 


 x  x0  X
 y  y0  Y

kh

OI
- Chuyển :  Oxy  
  IXY   

Y  y0  1 

- Phương trình (C) trong hệ mới là :

co

CÁCH GIẢI
1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)

a  x0
m
b  y0

c.

- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 
2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .

 y ''( x; m)  0  x  a

 J  a; b 
 y  f ( x; m)
y  b

oc
uo

- Tìm tọa độ điểm uốn :  

a  x0
m
b  y0


 m  1
m  1
2m  2  0

on

gb

Ta có : y '  

- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .

2 x 2   m  4  x  2m  1
Cho hàm số y 
x2

 Cm 

kh

Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI

- Ta viết lại hàm số ; y  2 x  m 

1
. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
x2



- Để I là tâm đối xứng thì : 

- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .

m

- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 

oc
uo

IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua
điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI

on

gb

- Giả sử M  x0 ; y0   (C )  y0  f  x0  1
- Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
Nên ta có : yN  f  xN   2 
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số y  x3  mx 2  9 x  4 . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
GIẢI
Giả sử M  x0 ; y0  và N  -x 0 ;  y0  là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :

b. Giả sử M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2  thuộc (C) và I là trung điểm của M và N. Ta có :

co

 x1  x2  2 xI  0
 x2   x1

 N   x1 ;5  y1 

 y1  y2  2 yI  5  y2  5  y1

m

x2  x  2
Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số y 
x 1

M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :

 x12  9  x  3

- Với

oc
uo

c.


x12  x1  2


a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .
* Cách 1.
1
. Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2    C  . Nên ta có
x 1

y  y x  x  
2
2
 2 1  2 1  1 
; k 1
  1 
x2  x1
x2  x1   x1  1 x2  1 
 x1  1 x2  1 d

on

- Viết lại phương trình (C) y  x  1 
- k AB

kh

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :



 y1  y2  2 yI

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

 x1  x2  2 
 4

1
1

 x1  x2  2
x1  1 x2  1

 x1  x2  2   0  4  x  x  2  0
1 2 
 x1  1 x2  1

 x1  x2  6
 x1 ; x2 là 2 n 0 pt : X 2  6 X  4  0
x
x

.
4
 1 2



 g ( x; m)  2 x 2   m  1 x  m  0 (1) ( có 2 nghiệm khác 1)

2
   m  1  8m  0
Điều kiện : 
 m 2  6m  1  0  m  3  2 2  m  3  2 2(*)
 g (1; m)  2  m  1  m  1  0

Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
x1  x2
m 1
m 1



 xI  2
 xI  4
 xI  4


- Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I : 
 y   x1  x2  2m
 y   m  1  m  y  3m  1
I
I
 I
4
4


- Khi m=-1 (1) trở thành : 2 x 2  1  0  


1
1
1
1






x
y
1

2
2

1
2
2

 1 2  2

2

kh


  x  m 1  g ( x; m)  2 x 2   3  m  x  2  m  0  2  ( có hai nghiệm khác 1)
x 1
2
   3  m   8  2  m   0

 m 2  2m  9  o;  m  1  10  m  1  10(*)
 g (1; m)  2  3  m  2  m  1  0
x1  x2 3  m

 xI  2  4
- Gọi I là trung diểm của AB thì : 
 y   x  m  m  3  m  3m  3
I
 I
4
4

- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :

3m  3 3  m

 3;  2m  18;  m  9
4
4

6  14
6  14
12  14
 y1  
9 

đường thẳng d : y=x
b. Tìm m để Cm cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC.
GIẢI
x  0
x  m

gb

a. Ta có : y '  3x 2  3mx  3 x  x  m   0  
- Để tồn tại cực đại , cực tiểu : m  0 (*)

1 3
m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
2
1
0  m3
y y
1
- Tính : k AB  A B  2   m2 ; kd  1 .
2
x A  xB
m0

on

- Gọi A(0;

kh

0m m

k AB .kd  1  m 2 .1  1 
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì : 
 2
 1 3 m ;  m   2
I  d
 yI  xI
 m 
2
4

Thỏa mãn điều kiện (*).
Trang 8

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

3
2

1
2

b. Nếu Cm cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì : x3  mx 2  m3  0 1 , có ba nghiệm.
Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
x1 , x2 , x3 . Áp dụng vi ét cho phương trình (1).

co


x
.
x

0
1
1


 2  1 3 1 3

 1 2 2 3 3 1 a

  x1.x3  2 x22  2 m 2   x1.x3   m 2
2
4


 x  x .x    1 m3

d
1 3
2
1
3
m  0
 x1.x2 .x3     m

1  1 2 
1 3

b. Tìm m để trên Cm có hai điểm A,B sao cho : 5 x A  y A  3  0;5 xB  yB  3  0 . Tìm m để A,B
đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 . Có nghĩa là A,B
nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 .Nhưng A,B lại nằm trên Cm , cho nên A,B là giao của d'

1

gb

 x2   m  2 x  m  1
2
 5 x  3  g ( x; m)  4 x   m  10  x  m  2  0

với Cm .  

x 1
 y  5 x  3
 y  5x  3


on

  m 2  4m  68  0

 m  R .
(
1;
)


8
 8 

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d'
vuông góc với d rồi ).
m  10 5  5m  26 
34
.

 9  0;  m 
8
8
13

kh


Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số y 

x 2  mx  2m  3
x2

 Cm 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 9

c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực
đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI


1
  x  x0   x0  1 
x0  2
  x0  2  


x
1
1
2  x0   x0  1 
 0
- Nếu   x  2 tại điểm A , thì y A  1 
2 
x0  2
x0  2
  x0  2  

x 
 A  2;  0 
x0  2 

1

2


S

x
1
1
y A  yI . xB  xH   0  1 2 x0  2  2
2
2 x0  2

1 2
.2 x0  2  2  dvdt 
2 x0  2

on

Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c.Ta có : y ' 

 2 x  m  x  2    x 2  mx  2m  3 x 2  4 x  3
 x  1

0
2
2
 x  2
 x  2
 x  3

kh



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
  1
k MN .kd  1 2.     1

   2
 m 1

J
d

2  2  m  4   8  0


m

Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d .

co

V. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

oc
uo

c.



I  d
 y ' y  k  x  x '   b


 2
 2 

 2

kh

on

Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được
một phương trình có dạng y'=g(x') .Đó chính là phương trình của (C') cần tìm .

Ví dụ 1. Cho hàm số y 

C. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
x2  x  3
1
 x 1 
x2
x2

C 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1).

x'
 y  2 yI  y '  y  2  y '
1
Vậy (C') có phương trình : y  x  5   C '
x
4
x
5
Ví dụ 2. Cho hàm số y   3x 2   C 
2
2

m

- Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C)
qua I thì A và B đối xứng nhau qua I

b. Gọi A  x; y    C   y 

x4
5
 3 x 2  ; B  x '; y '   C '
2
2

c.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2)
GIẢI

4

on

gb

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0
GIẢI
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d

kh

 y  y'  1 
.    1
 y  y '  2  x  x ' 1

 y  y '  2  x  x ' 
k AB .kd  1  x  x '  2 





1
'
2
'

2

 1  0
 2
 2 
 y  2 x  y ' 2 x '
5 y  3 y ' 4 x ' 4
;


2 y  x  x ' 2 y ' 2 5 x  3 x ' 4 y ' 4
10
10
 4 x ' 3 y ' 4  4 y ' 3 x ' 4  5 
Từ phương trình hàm số : 5 y  5 x  5 
5 x  10
4 y ' 3 x ' 4  10


Trang 12

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Ví dụ 4 . (ĐHLâm Ngiệp -2001 ). Cho hàm số y 

3x  1
x 3


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :

oc
uo

c.

 y y'
.  1  1
k AB .kd  1  x  x '
y  y'  x  x'
 y  x  y ' x '
; 



 x  y  x ' y '  6
 y  x   y ' x ' 6
I  d
x  x'  y  y' 3  0
 2
2
 y   x ' 3
10

on

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
- Ta có : y'+y=2.2. Suy ra : y=4-y' .
4
4
;  y '  1  x '
x ' 2
x ' 2
4
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y  1  x 
x2

kh

- Do A thuộc (C) , cho nên : 4  y '  x ' 3 

Ví dụ 6. Cho hàm số y  2 x(4  x)  C 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox. Chứng minh rằng (C) cắt
(C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608

Trang 13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác


x  2

y2
 y  2x  4  x
2
2
2

  y  2 x  8 x  y  2  x  4 x  4   8 

 1(*)
4
8
 y   2 x  4  x 
 y 2  2 x 2  8 x


BÀI TẬP TỰ LUYỆN

oc
uo

Bài 1.( Đề 27). Cho hàm số y  x 4  4ax3  2 x 2  12ax  Ca 
Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy.
Bài 2.( Đề 66). Cho hàm số y 

x 2  3x  4
2x  2

C 

Bài 6. ( HVKTQS-99). Cho hàm số y  x  x 2  x  1  C 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) : y 

2 x 2   m  4  x  2m  1
Bài 7. ( ĐH-Luật -99 ). Cho hàm số y 
x2

Trang 14

x2  2  2
qua đường thẳng y=2
x2

 Cm 

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608