B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ TH Ị T H U H Ư Ờ N G

M ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI X A P x ỉ
PH Ư Ơ N G T R ÌN H TÍCH P H Â N T U Y E N t í n h
FREDHOLM

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

H à N ội-2016
2


B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ TH Ị T H U H Ư Ờ N G

M ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI X A P x ỉ
PH Ư Ơ N G T R ÌN H TÍCH P H Â N T U Y E N t í n h
FREDHOLM

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: P G S . TS. K huất Văn N inh

H à N ội-2016

lĩ


M ục lục

M ỏ đầu

1

1 K iến th ứ c ch u ấ n bị

4

2

1.1

Không gian metric

4

1.2

Không gian đinh chuẩn

7

1.3

Không gian Hilbert

13

1.8

Tích phân phụ thuộc tham số

14

M ộ t số p h ư ơ n g p h á p giải p h ư ơ n g tr ìn h tíc h p h â n tu y ế n
tín h F re d h o lm loại 2

16

2.1

Các phương pháp giải tích

16

2.1.1

16

Phương pháp nhân suy biến
iii


2.2

3


M ộ t số p h ư ờ n g p h á p giải p h ư ờ n g tr ìn h tíc h p h â n tu y ế n
tín h F re d h o lm loại 1

48

3.1

Phương pháp chính quy hóa|.

48

3.2

Phương pháp nhiễu đồng luân

51

K ế t lu ậ n

60

T ài liệu th a m k h ảo

61


M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học phương trình tích phân là một phương trình trong

thể.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương
trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm.
• Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải phương
2


trình tích phân tuyến tính Fredholm.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình có liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và
một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức.
• Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp
giải phương trình tích phân, phương pháp số.

6. Các kết quả dự kiến
Luận văn nhằm hệ thống một số phương pháp giải phương trình tích
phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng các phương pháp đó để giải một
số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ thể.


điểm X và y.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Một dãy các điểm (x n) , n = 1,2,... trong không gian
metric X được gọi là hội tụ đến điểm a & X nếu
lim d(a, x n) = 0.

n —¥00

Khi đó ta kí hiệu lim x n = a hoặc x n —»■a khi n —> 00 .
n —>OQ

Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Dãy điểm x n được gọi là dãy cơ bản trong không gian
metric X nếu với mọi e > 0 cho trước, tồn tại một số n ữ sao cho với
mọi n > n0 và m > n ữ ta đều có
d(xn, 'Em) ^ £•
Nói cách khác ta có
lim d(xn, x m) = 0.

n,m—
>00

Dễ thấy mọi dẫy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dẫy cơ bản.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều là dãy hội tụ tới một phần tử trong X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Cho ( X, d x ) và (Y, dy) là hai không gian metric tùy
ý. Ánh xạ f : X

Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a

với 0 < a < 1 sao cho với mọi x ,x ' G X ta đều có
dY{ỉ {x), ỉ {x' )) < adx {x,x').

1 —a

( 1.2)

ước lượng (1.2) chứng tỏ dãy x n,n e N là dãy Cauchy, m ặt khác X là
không gian metric đủ nên tồn tại duy nhất X* G X sao cho lim x n = X*.
n —>oo

Cho p -ỳ- oo trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1)
Ta lại có Xn + 1 = f ( x n) nên cho n

oo, ta có X* = f(x*). Vậy X* là điểm

mà f(x*) = X*.
Giả sử ngoài ra còn có X cũng có tính chất f ( x ) = X khi đó ta có
d(x*,x) = d( f ( x*) , f ( x) ) < ad(x*,x),
6


với

a

1.2

< 1. Từ đó suy ra

X* = X.

Vậy

£ X;

iv) \\x + y II < ||x|| + ||y|| với mọi, X, y e X .
Số lịa;II được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ

X

€ X.

Đ ịnh nghĩa 1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xấc định
trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức,
tùy theo p là thực hoặc phức).
Đ ịnh lý 1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi

X,

y € X

đặt
d(x,y) = ||z - y II .
Khi đó d là một metric trên X .
Đ ịnh nghĩa 1.8. Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến Xo £ X nếu lim IIx n —XoII = 0 . Khi đó ta kí hiệu
n —>00

lim x n =

n —> 00

Xo

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c > 0 sao cho
IIAx\\ < c ||a;|| , với mọi

X

£ X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . K í hiệu
C ( X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào C { X , Y ) hai phép toán:
+ Tỗng của hai toán tử A ,B £ £ ( X , Y) là toán tử, kí hiệu A + B xác
8


định bởi biểu thức
(A + B)(x) = A x + Bx, với mọi

X

e X.

+ Tích vô hướng của a € p ( p = M /ỉoặc p = C)

íoán tử A £

£ ( X , Y ) ỉà toán tử, kí hiệu a A được xác định bởi biểu thức
(a.A)(x) = a(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B e C ( X , Y ) , a A E C ( X , Y ) và hai phép
toán trên thỏa mẫn tiên đề tuyến tính. Khỉ đó tập £ ( X , Y ) trở thành


GX ;

= 9.

Các phần tử X, y , z , ... gọi là các nhăn tứ của tích vô hướng, số (x, y) gọi
là tích vô hướng của

X

và y. Các tiên đề i, ii, iii, iv,

tích vô hướng.
9

V

gọi là các tiên đề


Đ ịn h n g h ĩa 1.15. Không gian tuyến tính X trên trường p cùng với
một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Đ ịn h lý 1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi

X

G X , ta

đặt ỊỊa^ll = y/{x, X). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức
Schwarz)

nên nó có thể vô nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm đó có thể không
duy nhất.

1.4.2

P h ư ơ n g tr ìn h tíc h p h â n tu y ế n tín h F re d h o lm loại 2

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 có dạng
f ( s ) = f ( s) + X ị

K( s , t ) f ( t ) dt , s e D

(1.4)

Ja

trong đó D là tập đóng, bị chặn trên trường số thực. Hàm ẩn f ( s ) xuất
hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân, hạt nhân K ( s , t ) và hàm
f ( s ) là các hàm giá trị thực, A là tham số.
Khi f ( s ) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất.

1.5

Công thức cầu phương

Phương pháp cầu phương dựa trên sự thay thế tích phân xấp xỉ bằng
tổng tích phân. Chia đoạn [a, 6] bởi các điểm chia
a = x 0 < Xi < x 2 < x 3 < ■■■< x n = b
Công thức cầu phương có dạng
'66

Do đó không thể áp dụng khái niệm nguyên hàm để tính. Còn nếu ta
dùng định nghĩa tích phân thì phải thực hiện nhiều các tính toán. Trong
trường hợp này ta tính gần đúng tích phân xác định thông qua đa thức
nội suy P ( x ) của nó, tức là
I = Ị f ( x ) d x ~ í P(x)dx.
Ja

Ja

Chia đoạn [a, 6] bởi các điểm chia
a = x ữ < X\ < x 2 < £3 < • • • < x n = b
Xi

•7 • PT— 7
b —a
= a + ih, 1 = 0, n, h = ------ .
n

Khi đó ta có
rb

px1

I f(x)dx — I
Ja

px2

f(x)dx + /



Zo

12

X-XQ

_ Xl + yi --------- \dx.
Xí - x ữ
- Xl


_

X — Xq

Đăt t = — -----=>■ dx = hdt.
h
Khi X = Xq thì t = 0, khi X =

thì ị = 1.

X\

Vậy
f Xl _
í1
/ P{x)dx = / [2/0(1 - t) +
Jx0
/0

d x 2i- 2

r x 2i

f(x)dx « /

^
P(x)dx = -^{y2i- 2 + 4y2j-i + ỉ/2i)-

d x 2i _ 2

à

Vậy

/

6

n h
f ( x ) d x = ^ 2 f { x )dx ~ S n :=
^ f e -2 + 4y2ỉ-i + 2/2i)
2i—2
i= 0 Ò
b —a ,
(ỉ/o + 4t/i + 2í/2 + ••• + 4y2n-l + V 2 n )
6n
b —a
[yo + ỉ/2n + 2 ( t/2 + ... + 7/271-2) + 4(7/1 +
+ 2/2n-l)]6n


f ( x , y) dx, y e [c,d]

Ja

là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].
14


Đ ịn h lý 1.6. (Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số) Giả sử
f ( x , y ) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo X G [a, 6]
với mỗi y cố định thuộc đoạn [c,đ\. Hơn nữa f ( x , y ) có đạo hàm riêng
^Ậ-(x,y) là môt hàm liên tue tong hình chữ nhãt D. Khi đó tích phân
dy
phụ thuộc tham số

a

là một hàm khả vi.
Đ ịn h lý 1.7. (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số) Nếu
f i x , y ) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a,b] X [c,đ\ thì ta có
công thức
I{y)dy = í \

f ( x , y ) d x } dy =

Hay là

15



= 1,2,...,71 được giả thiết là những hệ độc

lập tuyến tính trong không gian C[a,b].
16


Nhân suy biến bao gồm các đa thức và nhiều hàm siêu việt. Chẳng
hạn các nhân t + s , t —s, sin (t + s), é ~ s... là các nhân suy biến.
Chú ý rằng nhân K ( s , t ) = ets tuy là nhân không suy biến nhưng ta
có thể xấp xỉ K ( s , t ) bằng nhân suy biến với độ chính xác tùy ý bằng
khai triển Taylor
eta

^
k\ ’
k=0

khi đó
cts)k
k\ ■

As
P h ư ơ n g p h á p giải

Xét phương trình tích phân tuyến tính


1

(2.4)


trong đó

Cị

= f b Bị(t)(pn(t)dt, %— 1 , 2 , n là các hằng số cần xác định.

Thay (2.4) vào (2.3), ta có

f(s) + \ ^ 2 ciAi(s) = X'^2 Ai(s) Ị Bị(t)(pn{t)dt + f(s)
•_1
i=l

•_-1

■/a

Ĩ=1

«=>/(s) + A5 ^ c¿A¿(s) = A 5 ^ Aj(s)
i=l
¿=1
¿=1
f/ £¿(í)
B,(t) /(*) + x ^ cj Aj(t

Bị(t)f(t)dt

«/ a

i=l

t

+ Am A iO O 2
1=1

Đặt

Và vì

cj ( f

j=i

a

■
'

/>&
/•&
fi=
Bi(t)f(t)dt, dij = / Bi(t)Aj(t)dt.
Ja
Ja