BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ THU HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2016
2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ THU HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội-2016

Đỗ Thị Thu Hường

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8

Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến
tính Fredholm loại 2

16

2.1

Các phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

16

Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . .
iii


2.2

3

tính Fredholm loại 1

48

3.1

Phương pháp chính quy hóa . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2

Phương pháp nhiễu đồng luân

51

. . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

iv


Mở đầu

• Vận dụng các phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm để giải một số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ
thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương
trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm.
• Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải phương
2


trình tích phân tuyến tính Fredholm.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình có liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và
một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức.
• Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp
giải phương trình tích phân, phương pháp số.

6. Các kết quả dự kiến
Luận văn nhằm hệ thống một số phương pháp giải phương trình tích
phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng các phương pháp đó để giải một

ấy, ký hiệu M (X, d). Các phần tử của một không gian metric được gọi
là điểm của không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các
điểm x và y.
Định nghĩa 1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian
metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞.
n→∞

Định nghĩa 1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản trong không gian
metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 sao cho với
mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có
d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều là dãy hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.5. Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric tùy
ý. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α
với 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, x ∈ X ta đều có
dY (f (x), f (x )) ≤ αdX (x, x ).
5


không gian metric đủ nên tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ .
n→∞

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1).
Ta lại có xn+1 = f (xn ) nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗ ). Vậy x∗ là điểm
mà f (x∗ ) = x∗ .
Giả sử ngoài ra còn có x cũng có tính chất f (x) = x khi đó ta có
d(x∗ , x) = d(f (x∗ ), f (x)) ≤ αd(x∗ , x),
6


với α < 1. Từ đó suy ra x∗ = x. Vậy x∗ là duy nhất.

1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.6. Một chuẩn, kí hiệu

·

trong X là một ánh xạ từ X

vào R thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X;
iv) x + y ≤ x + y với mọi, x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.

P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu A thỏa mãn
i) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;
ii) A(αx) = αAx, α ∈ P .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó nếu A chỉ thỏa mãn i) thì
A được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi
là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là
phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c ≥ 0 sao cho
Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
+ Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác
8


định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X.
+ Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó tập L(X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.


(x, x).

Định nghĩa 1.16. Ta gọi không gian tuyến tính H = θ trên trường P
là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
i) H là không gian tiền Hilbert;
ii) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x) với x ∈ X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.

1.4

Tổng quan về phương trình tích phân tuyến
tính Fredholm

1.4.1

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 có dạng
b

K(s, t)ϕ(t)dt, s ∈ D

f (s) = λ

(1.3)


Khi f (s) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất.

1.5

Công thức cầu phương

Phương pháp cầu phương dựa trên sự thay thế tích phân xấp xỉ bằng
tổng tích phân. Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b
Công thức cầu phương có dạng
n

b

ϕ (x) dx =
a

Ak ϕ (xk ) + Rn (ϕ)

(1.5)

k=0

trong đó Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương
n

(1.5), Rn (ϕ) - phần dư của công thức cầu phương (1.5), Ak ≥ 0,

Ak =
k=1

a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b
xi = a + ih, i = 0, n, h =

b−a
.
n

Khi đó ta có
b

x1

f (x)dx =
a

x2

f (x)dx +
x0

x3

f (x)dx + · · · +

f (x)dx +
x1

xn

x2


x − x0
⇒ dx = hdt.
h
Khi x = x0 thì t = 0, khi x = x1 thì t = 1.
Đặt t =

Vậy
x1

1

[y0 (1 − t) + y1 t]hdt =

P (x)dx =
x0

0

h2
(y0 + y1 ).
2

Tương tự ta có

xi−1
x1

h2
f (x)dx ≈ (yi + yi+1 ).


1.7

f (x) : x ∈ [a, b] .

Công thức Simpson

b−a
.
2n
Trên mỗi đoạn [x2i−2 , x2i ](i = 1, n) ta thay f (x) bằng đa thức nội suy
Chia đoạn [a, b] thành 2n phần bằng nhau với bước h =

Largrange P (x) bậc hai với các mốc nội suy x2i−2 , x2i−1 , x2i
(x − x2i−1 )(x − x2i )
(x2i−2 − x2i−1 )(x2i−2 − x2i )
(x − x2i−2 )(x − x2i )
+ y2i−1
(x2i−1 − x2i−2 )(x2i−1 − x2i )
(x − x2i−2 )(x − x2i−1 )
+ y2i
.
(x2i − x2i−2 )(x2i − x2i−1 )

f (x) ≈ P (x) = y2i−2

13


Từ đó

h
(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i )
3

b−a
(y0 + 4y1 + 2y2 + ... + 4y2n−1 + y2n )
6n
b−a
[y0 + y2n + 2(y2 + ... + y2n−2 ) + 4(y1 + ... + y2n−1 )].
=
6n
=

Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được Rn =

b
a f (x)dx

− Sn ≤

h4
M
(b − a) với M = max |f (4) (x)|, x ∈ [a, b].
180

1.8

Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.17. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x thuộc

∂y
phụ thuộc tham số
b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I(y) =
a

là một hàm khả vi.
Định lý 1.7. (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số) Nếu
f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] thì ta có
công thức
d

d

b

I(y)dy =
c

b

d

f (x, y)dx dy =
c

a

Chương 2
Một số phương pháp giải phương
trình tích phân tuyến tính
Fredholm loại 2
2.1
2.1.1

Các phương pháp giải tích
Phương pháp nhân suy biến

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II
b

ϕ(s) = f (s) + λ

K(s, t)ϕ(t)dt.

(2.1)

a

Ta xét (2.1) trong trường hợp K(s, t) là nhân suy biến hoặc khi K(s, t)
có thể xấp xỉ bởi một nhân suy biến.
Định nghĩa 2.1. Nếu nhân K(s, t) của phương trình tích phân được
n

Ai (s)Bi (t)(a ≤ s, t ≤ b) thì

biểu diễn dưới dạng K(s, t) = Kn (s, t) =
i=1

(ts)k
.
k!

Phương pháp giải
Xét phương trình tích phân tuyến tính
b

ϕn (s) = f (s) + λ

Kn (s, t)ϕn (t)dt,

(2.2)

a

trong đó Kn (s, t) là nhân suy biến
n

Kn (s, t) =

Ai (s)Bi (t).
i=1

Thay nhân Kn (s, t) có biểu diễn trên vào (2.2) ta được
n

b

ϕn (s) = λ

17

(2.4)


trong đó ci =

b
a Bi (t)ϕn (t)dt, i

= 1, 2, ..., n là các hằng số cần xác định.

Thay (2.4) vào (2.3), ta có
n

f (s) + λ

n

ci Ai (s) = λ
i=1

b

Ai (s)

Bi (t)ϕn (t)dt + f (s)
a

i=1

ci Ai (s) =

Ai (s)

Bi (t)f (t)dt + λ
a

i=1

i=1

Bi (t)

cj Aj (t) dt

a

⇔

j=1

n

b

ci Ai (s) =
i=1

Ai (s)


j=1

Đặt
b

fi =

b

Bi (t)f (t)dt, aij =
a

Bi (t)Aj (t)dt.
a

Và vì {A1 (s), A2 (s), ..., An (s)} độc lập tuyến tính ta có
n

ci = fi + λ

cj aij .
j=1

Hay
n

ci − λ

cj aij = fi , i = 1, 2, ..., n.
j=1