TRUNG TM HONG GIA

C

NG TON

Học kì 1 Năm học 2016 2017

Biên soạn & Giảng dạy:
Ths. Lê Văn Đoàn




(sin x cos x )2 2 sin2 x
2


sin x sin 3x
2

2 4
1 cot x

4


1
x

2

B'

B'

C'
M
A

E

D

A

C

F
G

E
B

B

C

I


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

cosx

IV

III

I

II

III

IV

sin 

+

+

–

–

cos 

+

–


-

2. Công thức lượng giác cơ bản
tan . cot   1

sin2   cos2   1

1  tan2  

1
cos2 

1  cot2  

1
sin2 

3. Cung góc liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a




cot   a   tan a
2


Cung hơn kém


2



sin   a   cos a
2



cos   a    sin a
2


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 1 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Hệ qu

tan(a  b) 

tan a  tan b

1  tan a  tan b


 1  tan x

 1  tan x
và tan   x  
tan   x  

 4
4
 1  tan x
 1  tan x

5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đẫi

H b c

sin 2  2 sin   cos 

sin2  

1  cos 2

1  cos 2
1  cos 2

Nhân ba

 sin 3  3 sin   4 sin 3 

 cos 3  4 cos 3   3 cos 


tan 3 

3 tan   tan3 
1  3 tan2 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2 cos
sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 cos
2
2

cos a  cos b  2 sin

a b
a b
 cos

sin a  sin b

cot a  cotb 

sin(b  a )
sin a  sin b

Đặc biệt

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 2 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
 
 
sinx  cos x  2 sinx    2 cosx  
4

 4 

Mẫn: Tốn, Năm học:

–



2

ng giác của một số góc đặc biệt














sin 
cos 



tan 
cot 

kxđ
kxđ

Một điểm M thuộc đ ờng tròn l



TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
. Tính chất của hàm số
a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x  D thì x  D
và f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x  D thì x  D và
f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
b. Hàm số đ n điệu: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên tập (a;b)  .

 y  f (x ) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
 y  f (x ) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
c. Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f (x ) xác định trên tập hợp D, đ ợc gọi là hàm số tuần hồn nếu có số
T  0 sao cho với mọi x  D ta có (x  T )  D và (x  T )  D và f (x  T )  f (x ) .
 Nếu có số d ơng T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm
tuần hồn f .
. Hàm số y  sin x .

 Hàm số y  sin x có tập xác định là D    y  sin  f (x ) xác định  f (x ) xác định.
 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là 1  sin x  1 





 Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt





 k 2
2
sin x  0  x  k 
, (k  ).

sin x  1  x    k 2
2
sin x  1  x 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 4 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

3
2

x

5
2

–

Hình dạng đồ thị hàm số y  sin x
. Hàm số y  cos x .

 Hàm số y  cos x có tập xác định D    y  cos  f (x ) xác định  f (x ) xác định.
 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là 1  cos x  1 

 0  cos x  1
 0  cos2 x  1



 Hàm số y  f (x )  cos x là hàm số chẵn vì f (x )  cos(x )  cos x  f (x ), nên đồ thị
của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
 Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là cos(x  k 2)  cos x . Hàm số
y  cos(ax  b ) tuần hồn với chu kì To 

2

a




y

 Đồ thị hàm số



y  cos x 

2



3
2



5
2

x

–

. Hàm số y  tan x .

Hình dạng thị hàm số y  cos x
 



a

 Giá trị đặc biệt



tan x  0  x  k 



tan x  1  x 


, (k  ).
 k
4

tan x  1  x    k 
4



y

 Đồ thị hàm số y  tan x





 Hàm số y  cot x có tập xác định là D   \ k , k  , nghĩa là x  k ; (k  ) 
hàm số y  cot  f (x ) xác định  f (x )  k ; (k  ).

 Tập giá trị T  .
 Hàm số y  f (x )  cot x là hàm số lẻ vì f (x )  cot(x )   cot x  f (x ) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
 Hàm số y  cot x tuần hồn với chu kì To    y  cot(ax  b ) tuần hồn với chu
kì To 



a


 Giá trị đặc biệt





 k
2

cot x  1  x   k 
, (k  ).
4

cot x  1  x    k 
4

2

2

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

x

Page - 6 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số lượng giác
 Ph

ng pháp gi i. Để tìm tập xác định của hàm số l ợng giác ta cần nhớ

 y  tan f (x ) 

sin f (x )

ĐKXĐ


ĐKXĐ

 P (x )  0.

A  0
 L u ý rằng 1  sin f (x ); cos f (x )  1 và A.B  0  

B  0

 Với k  , ta cần nhớ những tr ờng hợp đặc biệt


 k 2
2
 sin x  0  x  k 


 sin x  1  x    k 2
2

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 




Ví d


 cos x  0  x 



sin 3x
2  cos x


2
1  cos x
tan x  1

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 7 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d


y  cos 2x .

y

1  cos x

sin x

d


2 
y  tan 5x   
3 


e

y

2 tan 2x  5

sin 2x  1

f

y

g


l

y

1  sin x

1  cos x

a

y  cos

c

cos x  2

1  sin x
cot 2x
1  cos2 x



m y

x

sin x

n

c

y

y

2  x 2

sin 2x


tan 2x  
4 




1  sin x  

8 



b

y  2  4x 2  tan 2x .

d



y

cos x  2

3

cos x  cos 3x

g

y

i

y  2  sin x 

k



1  cos x
y  cot x   

6 
1  cos x


1

tan x  1



1  cot   x 
 3

y


 
2
tan 3x  

4 
y

2

Dạng toán 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số lượng giác
 Ph

ng pháp gi i.

 Dựa vào tập giá trị của hàm số l ợng giác, chẳng hạn
  1  sin x  1 

0  sin x  1
0  sin2 x  1

hoặc 1  cos x  1 


....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 9 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

  
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  sin6 x  cos 6 x  2, x   ;  
 2 2



Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................


y

4

1  3 cos2 x

h

y

i

y

j

y

l

y

k

BT .

y  5 3  cos 2x  4.
2

2


y   sin2 x  cos x  2.

b

y  sin4 x  2 cos2 x  1.

c

y  cos2 x  2 sin x  2.

d

y  sin 4 x  cos4 x  4.

e

y  2  cos 2x  sin2 x .

f

y  sin6 x  cos6 x .

g

y  sin 2x  3 cos 2x  4.

h

y  cos2 x  2 cos 2x .


q



y  2 sin x  2 sin   x   1.
 4


r



2 
y  2 cos 2x  cos 2x    3.

3 


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 10 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600


–


 2 

y  cos x  , x   ; 0 
 3 
3 



 
y  sin4 x  cos4 x , x   0;  
 6






3  
y  cot x   , x   ;   
 4
4 
4 



Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác


........................................................................................

........................................................................

.................................................................................

..................................................................

BT .

BÀI T P V N D NG
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a y  f (x )  tan x  cot x .
b y  f (x )  tan 7 2x . sin 5x .


9 

 
c y  f (x )  sin 2x 
d y  f (x )  2 cos3 3x   


2 
2 
e

y  f (x)  sin3(3x  5)  cot(2x  7).



Page - 11 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC


I. Phương trình lượng giác cơ bản
Với k  , ta có các ph ơng trình l ợng giác cơ bản sau

a  b  k 2

 sin a  sin b  

a    b  k 2
 tan a  tan b  a  b  k.

a  b  k 2
 cos a  cos b  

a  b  k 2

2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 



Ví d . Giải các ph ơng trình
a

1
sin 2x   
2


........................................................................

........................................................................................

........................................................................

BÀI T P V N D NG
BT .

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định
a
c

2

3


sin 2x    1.
6 

sin x  sin

b
d


 1
sin 2x    

h

2 sin(x  300 )  3  0.


2 cos 2x    2  0.

4 

j

(1  2 cos x )(3  cos x )  0.
2 sin 2x  2 cos x  0.

o sin 2x .cos 2x 

Mẫn: Tốn, Năm học:

1
 0.
4

–



cos x    1.
6 

cot(4x  35o )  1.


cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a

tan(a )   tan a

tan(  a )   tan a

cot(a )   cot a

cot(  a )   cot a

Cung h n kém 

Cung ph nhau


sin   a   cos a
2




cos   a   sin a
2



tan   a    cot a
2



cot   a    tan a
 2


tan(  a )  tan a
cot(  a )  cot a
Tính chu kỳ

sin(x  k 2)  sin x

cos(x  k 2)  cos x

sin x  (  k 2)   sin x

cos x  (  k 2)   cos x

tan(x  k )  tan x

cot(x  k )  cot x

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 13 -

3 


........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

Ví d
a

. Giải ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định



sin 3x  cos   x   0.
 3




Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định
a



sin 2x  cos   x  
 6


b



2 
9 
sin 3x    cos x   


3 
4 

c



cos 2x    sin x .
4 





3 

cot 2x    tan x   

4 
6 


h



tan 3x    cot x .
5 


 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết các cơng thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT .

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 14 -

cos 3x    cos x  0.

3 


sin 2x    cos x  0.
4 



tan 3x    tan 2x  0.

4 

Mẫn: Tốn, Năm học:

b
d
f
h




cos 2x     cos x 
3 










cos 4x    sin x    0.
3 
4 



l

tan 2x . tan 3x  1.

 Muốn bỏ dấu "  " trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết cơng thức cung góc liên kết dạng cung đối nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a
c
e
f
h

sin 4x  2 cos2 x  1  0.

cos 2x cos x  cos x  sin 2x sin x .
1  tan x
cot2x 

1  tan x


 4


sin 3x    sin   3x   3.
5 

5


 5


cos 3x    sin   3x   2.
3 

6


2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

a b
a b
 cos

2

Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì đ ợc hai cung mới là
a  b a b
;
 Do đó khi sử dụng nên nhẩm tổng và hiệu hai cung mới này tr ớc để
2
2
nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung cùng cung với hạng tử còn lại
hoặc cụm ghép khác trong ph ơng trình cần giải.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 15 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

. Giải ph ơng trình sin 5x  sin 3x  sin x  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................


e

sin 3x  cos 2x  sin x  0.

f

sin x  4 cos x  sin 3x  0.

g

cos 3x  2 sin 2x  cos x  0.

h

cos x  cos 2x  sin 3x .

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin 5x  sin x  2 sin2 x  1.

b

sin x  sin2x  sin 3x  1  cos x  cos2x.

c

cos 3x  2 sin 2x  cos x  sin x  1.



1  cos 2

 cos2  

1  cos 2

2

 cot2  

 L u ý đối với cẫng thức h b c của sin và cosin:
― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số

1  cos 2

1  cos 2

1
và cung góc tăng gấp đơi.
2

― M c đích của việc h b c hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhóm
hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức tổng thành tích sau khi hạ bậc sẽ
xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 16 -


Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG
BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin2 x 

c

cos2 x 

e

1

2

2 3

4

 7


a

b


 3
cos2 2x    

4  4

d

4 sin2 x  1  0.

f


 1
cos4 x  sin 4 x    
4  4


h

sin2 2x  cos2 3x  1.

j

cos2 x  cos2 2x  cos2 3x 


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
c

Mẫn: Tốn, Năm học:

2 sin2 2x  sin 7x  1  sin x .

 7
cos2 x  cos2 2x  cos2   3x   
3
 4

d

g

sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x.

h

tan2 x  sin2 2x  4 cos2 x .

i

cos2 3x .cos 2x  cos2 x  0.



— Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x th ờng gặp là
 1  sin 2x  sin2 x  2 sin x cos x  cos2 x  (sin x  cos x )2 .
 cos 2x  cos2 x  sin2 x  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos4x  sin4 x  (cos2 x  sin2 x )(cos2 x  sin2 x )  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos3x  sin 3 x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x ).

 1  tan x  1 

sin x
cos x  sin x


cos x
cos x

cos x
sin x  cos x


sin x
sin x




1
 cos x    sin x   
(sin x  cos x ).
4 

2

 cos3 x  cos x . cos2 x  cos x .(12  sin2 x )  cos x (1  sin x )(1  sin x ).
 sin 3 x  sin x .sin 2 x  sin x .(12  cos 2 x )  sin x (1  cos x )(1  cos x ).
 3  4 cos2 x  3  4(1  sin2 x )  (2 sin x )2  12  (2 sin x  1)(2 sin x  1).
 sin 2x  (1  sin 2x )  1  (sin x  cos x )2  12  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  1).

 2(cos4x  sin 4 x )  1  3 cos2 x  sin2 x  ( 3 cos x  sin x )( 3 sin x  cos x ).........
— Phân tích tam thức bậc hai dạng f (X )  aX 2  bX  c  a.(X  X1 )  (X  X 2 ) với X
có thể là sin x , cos x ,.... … và X1, X 2 là nghiệm của f (X )  0.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 18 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

. Giải ph ơng trình 2 cos x  3 sin x  sin 2x  3.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin 2x  3 sin x  0.

b

(sin x  cos x )2  1  cos x .

c

sin x  cos x  cos 2x .

d

cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 19 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

BT


i



1  tan x  2 2 sin x   

4 

j



cos x  cos 3x  1  2 sin 2x   

4 

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

2 sin2 x  3 sin x cos x  cos2 x  1. b

c

4 sin2 x  3 3 sin 2x  2 cos 2 x  4.

d

(cos x  1)(cos2x  2cos x )  2 sin2 x  0.



b

sin 2x  3  2 cos x  3 sin x .

c

2(sin x  2 cos x )  2  sin 2x .

d

sin 2x  sin x  2  4 cos x .

e

sin 2x  2 cos x  sin x  1  0.

f

sin 2x  2 sin x  2 cos x  2  0.

g

sin 2x  1  6 sin x  cos 2x .

h

sin 2x  cos 2x  2 sin x  1.

i


cos 3x  cos x  2 sin x cos 2x .

s

2 sin2 x  sin 2x  sin x  cos x  1.

t

cos x  tan x  1  tan x sin x .

u

tan x  sin 2x  2 cot2x .

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

cos x  2sin x.(1  cos x )2  2  2sin x.

b

2(cos x  sin 2x )  1  4 sin x (1  cos2x ).

c


x
1  sin x cos x  2 sin x  cos 2  
2 

2

cos   x   sin 2x   

4 
2
4



g

sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x .

h

sin 3 x  cos3 x  2(sin5 x  cos5 x ).

i

2 sin 3 x  cos 2x  cos x  0.

j

5
sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos2x.
4

l



Điều kiện

a sin2 X  b sin X  c  0

t  sin X

1  t  1

a cos2 X  b cos X  c  0

t  cos X

1  t  1

a tan2 X  b tan X  c  0

t  tan X

a cot2 X  b cot X  c  0

t  cot X

X


 k
2

X  k

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 21 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos 4x  12 sin2 x  1  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

1
2
5
. Giải ph ơng trình  tan2 x 
  0.
2

f

2 cos2 x  3 cos x  2  0.

g

2 cos2 x  ( 2  2) cos x  2.

g

4 cos2 x  2( 3  2)cos x  6.

i

tan2 x  2 3 tan x  3  0.

j

2 tan2 x  2 3 tan x  3  0.

k

tan2 x  (1  3) tan x  3  0.

l

3 cot2 x  2 3 cot x  1  0.

m
BT

f

2 cos2 2x  5 sin 2x  1  0.

g

3 sin2 x  2 cos4 x  2  0.

h

4 sin 4 x  12 cos2 x  7.

i

4 cos 4 x  4 sin2 x  1.

j

4 sin 4 x  5 cos2 x  4  0.

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

2 cos 2x  8 cos x  5  0.

b

1  cos 2x  2 cos x .

c



ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
h
BT

BT

cos 2x  cos2 x  sin x  2  0.

a

3 cos2 x  2 cos 2x  3 sin x  1.

b cos 4x  12 sin2 x  1  0.

c

cos 4x  2 cos2 x  1  0.

d

16 sin2

e

cos 2x  2 cos x  2 sin2






cos2   x   4 cos   x   4.
3

6


x

2

x
 cos 2x  15.
2
x

2

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a



2 

cos 2x    3 cos x    1  0.

cos2x  3 sin 2x  3 sin x  4  cos x .

g

3 sin2x  3 sin x  cos2x  cos x  2. h


1 
1 
  7. j
4sin2 x  2   4 sin x 
sin x 
sin x 





4   2
2cos2 x  2   9
 cos x   1.
cos x  cos x


cos2 x 



1
cos x  1  

 3  2 tan2 x .
2
cos x
3
2

sin x

b

1
 3 cot2 x  5.
2
cos x

 3 cot x  3.

d

9  13 cos x 

3

cos x

f

1
2
5

c

cos x
 1  sin x .
1  sin x

d

1  cos x (2 cos x  1)  2. sin x
 1.
1  cos x

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 23 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

BT

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

f


o

sin 4x  2  cos 3x  4 sin x  cos x .

b

3tan2x 

e

3 sin 2x  2 sin x
 2.
sin 2x cos x

g

2 cos 2x  8 cos x  7 

h

1

cos x

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

cos2 x  cos3 x  1

cos2 x


5 sin   x   3(1  cos x )cot2 x  2.
2


g

3 sin2 x  2 sin x  3
 3  2 sin 3 x .
cot x

h

5sin x 

cos 3x  sin 3x
 3  cos2x.
1  2sin2x

k



3
1  tanx tan x 
tan
2
3
sin

x


Giả sử cos  

a
2

a b

2

, sin  

a
a 2  b2
b
2

2

sin x 



b
a 2  b2

cos x 

c
a 2  b2

 a.sin mx  b.cos mx  
, (a 2  b2  0)
PP
2
2


 Chia : a 2  b2 .
 a  b sin nx


 a.sin mx  b.cos mx  c.sin nx  d.cos nx, (a 2  b 2  c2  d 2 )

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 24 -