BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng Pháp dạy học môn Toán
Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2015


L

Loại

NXB
PPDH

Nhà xuất bản
Phƣơng pháp dạy học

PTDH

Phƣơng tiện dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TM

Thỏa mãn

Tr

Trang

1.1.4. Bồi dƣỡng năng lực giải toán ............................................................................... 9
1.2. Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh .................... 9
1.2.1. Khái niệm kĩ năng ................................................................................................ 9
1.2.2. Kĩ năng giải toán ................................................................................................ 10
1.2.3. Đặc điểm của kĩ năng ......................................................................................... 10
1.2.4. Sƣ̣ hiǹ h thành ki ̃ năng ......................................................................................... 11
1.2.5. Các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành kĩ năng .............................................. 11
1.2.6. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trƣờng THPT .............. 11
1.2.7. Mô ̣t số ki ̃ năng cầ n thiế t khi giải toán ................................................................ 12
1.3. Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai ................................................................... 14
1.3.1. Định nghĩa .......................................................................................................... 14
1.3.2. Định lý Vi-et và các ứng dụng ........................................................................... 14
1.3.3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai .................................................................. 15
1.3.4. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai............................................................ 15
1.3.5. Đồ thị hàm số bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  ............................................. 16
1.3.6. So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai ............................................ 16
1.3.7. So sánh hai số α, β với hai nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai.......................... 17
iii


1.4. Thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc hai
trong giải toán ở các trƣờng THPT............................................................................... 18
1.4.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 18
1.4.2. Đối tƣợng khảo sát.............................................................................................. 18
1.4.3. Nội dung khảo sát ............................................................................................... 18
1.4.3.1. Nội dung khảo sát giáo viên ............................................................................ 18
1.4.3.2. Nội dung khảo sát học sinh ............................................................................. 18
1.4.4. Phƣơng pháp khảo sát......................................................................................... 19
1.4.5. Kết quả khảo sát ................................................................................................. 19
1.4.5.1. Nhận xét đánh giá của GV và HS về sự cần thiết trong việc rèn luyện kĩ năng

2.2.5. Dùng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức ........................................ 50
2.2.6. Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. ...... 50
2.2.7. Sử dụng tam thức bậc hai để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa căn thức ..... 51
2.2.8. Sử dụng tam thức bậc hai để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối.................................................................................................................... 54
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................... 57
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 57
3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................... 57
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 57
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ....................................................................................... 57
3.3.2. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................... 58
3.4 Kết quả thực nghiệm............................................................................................... 58
3.4.1. Phân tích định tính .............................................................................................. 58
3.4.2. Phân tích định lƣợng........................................................................................... 59
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................................ 60
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 62

v


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới phƣơng pháp dạy và học hiện nay là một vấn đề cấp bách của ngành
giáo dục. Những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục đƣợc phản ánh trong nghị
quyết của Hội nghị lần thứ II của Ban chấp hành trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam
(khóa VIII) nhƣ sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng
những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa
xã hội có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, giữ gìn
và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng

học tối ƣu.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các trƣờng trung học phổ thông việc dạy học toán
còn chƣa sát với thực tế, bởi kỹ năng giải toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế cần
phải khắc phục, bên cạnh đó một phần do giáo viên chƣa trang bị đầy đủ các kỹ năng
cần thiết cho học sinh, giáo viên phải hiểu học sinh và biết khả năng của từng lớp, từng
đối tƣợng học sinh, sau đó dần dần trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ năng cơ bản
để học môn toán và các môn khác.
Trong toán học việc giải bài toán có một vai trò rất quan trọng, thông qua việc
giải bài tập toán tạo điều kiện cho học sinh hoạt động qua đó học sinh phải thực hiện
một số hành độnh nhất định bao gồm: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy
tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt động trí tuệ phổ
biến nhƣ: phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và những hoạt động ngôn
ngữ khác. Chính vì vậy rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề vô
cùng quan trọng trong dạy học ở các trƣờng phổ thông hiện nay phải đƣợc tiến hành có
kế hoạch, thƣờng xuyên, hệ thống bền bỉ dựa vào trình độ học sinh.
Trong chƣơng trình phổ thông hiện nay, tam thức bậc hai chiếm một vị trí quan
trọng. Đó là một trong những nội dung cơ bản của chƣơng trình đại số trung học phổ
thông. Tam thức bậc hai còn đƣợc ứng dụng rộng trong các nội dung học khác của
chƣơng trình toán trung học phổ thông, đƣợc áp dụng phong phú và đa dạng trong
nhiều dạng toán thƣờng gặp.
Khi dạy về tam thức bậc hai, ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức
cơ bản nhƣ: khái niệm tam thức bậc hai, định lí Vi-et, định lí về dấu tam thức bậc
hai… giáo viên còn phải rèn luyện một số kĩ năng giải toán khi sử dụng tam thức bậc
hai trong một số dạng toán thƣờng gặp.
Chính vì vậy chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam
thức bậc hai trong giải toán cho học sinh trung học phổ thông ”. Với mong muốn đề
xuất một số phƣơng án dạy học thích hợp để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc
2



một số kĩ năng giải toán, nâng cao năng lực toán học và hứng thú cho học sinh. Giúp
học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính chủ động, tính tích cực trong việc
3


tiếp thu kiến thức mới góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học ở trƣờng THPT.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, mục lục và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 03 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán của
học sinh
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

4


Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THƢ̣C TIỄN

1.1. Lí luận về dạy học giải bài tập toán
1.1.1. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trƣờng phổ thông
Pôlya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất
nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu
thích hợp. Vì vậy cả trong trƣờng trung học cũng nhƣ trong các trƣờng chuyên nghiệp,
ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn
nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là
muốn nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán”.
a. Mục đích
Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến những tri thức
khoa học của nhân loại đƣợc tiếp thu thành những kiến thức của bản thân, thành công

vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ
dạy học toán ở trƣờng phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán
học có vai trò quyết định đối với chất lƣợng dạy học toán.”
b. Các chức năng của bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa
đựng một cách tƣờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đều hƣớng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của
ngƣời lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tƣ duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tƣ
duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ
phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trƣờng phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai
thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách
giáo khoa đã có dụng ý đƣa vào chƣơng trình. Ngƣời giáo viên phải có nhiệm vụ khám
phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sƣ phạm của mình.
1.1.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài toán
Trong môn toán ở trƣờng phổ thông có nhiều bài toán chƣa có hoặc không có
6


thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán.
Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần
truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho


toán nào đó.
7


-

Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).

-

Khai thác kết quả có thể có của bài toán.
Đề xuất bài toán tƣơng tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài toán.
Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng. Trong nhiều

trƣờng hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác. Vì vậy
“Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xem xét có sai
lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi
hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách
thƣờng xuyên”
Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bƣớc giải của Polya:
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2  (m  2) x  5m  1  0 . Tìm m sao cho phƣơng
trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x  1 .
Giải
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
GV: Nhận xét bài toán
HS: Phƣơng trình cho trong bài là phƣơng trình bậc hai. Yêu cầu của bài toán so
sánh nghiệm với một số cho trƣớc
Bước 2: Xây dựng chƣơng trình giải
GV: Để so sánh đƣợc nghiệm của phƣơng trình với số 1 ta phải làm thế nào?


2

Không có m thỏa mãn.
  0
m 2  16m  0

Trƣờng hợp 3: 1  x  x   S  
 m  16
1 2
1
m  0

 2

m  0
Vậy phƣơng trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x  1  
 m  16
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
GV: Bài toán trên còn cách giải nào khác không?
HS: Có thể đƣa ra các trƣờng hợp có 1 nghiệm, 2 nghiệm, rồi tính ra nghiệm cụ
thể rồi so sánh với số 1.
1.1.4. Bồi dƣỡng năng lực giải toán
Bài tập toán nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao
tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy học ngƣời thầy giáo phải chú trọng bồi dƣỡng
năng lực giải toán cho học sinh. Năng lực giải toán là khả năng thực hiện 4 bƣớc trong
phƣơng pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya.
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho họ khả năng
thực hiện bốn bƣớc theo phƣơng pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya. Điều này cũng
phù hợp với phƣơng pháp dạy học của nền giáo dục nƣớc ta hiện nay.

và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phƣơng pháp , đă ̣c biê ̣t là nhƣ̃ng phƣơng pháp có
tính chất thuật toán bằng cách lập phƣơng trình , tri thƣ́c và ki ̃ năng chƣ́ng m inh toán
học, kĩ năng hoạt động tƣ duy hàm, v..v… Tuy nhiên tùy theo nô ̣i dung toán ho ̣c mà có
nhƣ̃ng yêu cầ u rèn luyê ̣n ki ̃ năng khác nhau .
1.2.3. Đặc điểm của kĩ năng
Khái niệm kĩ năng đƣợc định nghĩa ở trên chứa đựng các đặc điể m sau:
- Bấ t cƣ́ ki ̃ năng nào cũng phải dƣ̣a trên cơ sở lý thuyế t đó là kiế n thƣ́c

, bởi vì

cấ u trúc của ki ̃ năng bao gồ m : hiể u mu ̣c đić h - biế t cách tri thƣ́c đi đế n kế t quả - hiể u
nhƣ̃ng điề u kiê ̣n để triể n khai cách thƣ́c đó .
- Kiế n thƣ́c là cơ sở của ki ̃ năng , khi kiế n thƣ́c đó phản ánh đầ y đủ các thuô ̣c
tính của đối tƣợng, đƣơ ̣c thƣ̉ nghiê ̣m trong thƣ̣c tiễn và tồ n ta ̣i trong ý thƣ́c với tƣ cách
là công cụ của hành động . Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “cùng với vai trò cơ sở của
tri thức, cầ n thấ y tầ m quan trọng của ki ̃ năng” . Môn Toán là môn ho ̣c có đă ̣c điể m và
vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong nhà trƣờng phổ
thông. Vì vậy cần hƣ ớng vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩ năng . Kĩ năng chỉ
có thể đƣợc hình thành và phát triển trong hoạt động.
Qua đă ̣c điể m trên ta thấ y ki ̃ năng giải toán phải dƣ̣a trên cơ sở tri thƣ́c toán ho ̣c
(bao gồ m kiế n thƣ́c, kĩ năng, phƣơng pháp), do đó nói đế n ki ̃ năng giải toán không thể
tách rời với phƣơng pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó .
Tƣ̀ nhƣ̃ng vấ n đề trên chúng tôi quan niê ̣m ki ̃ năng sƣ̉ du ̣ng tam thƣ́c bâ ̣c hai bao
10


gồ m mô ̣t hê ̣ thố ng thao tác trí tuê ̣ và thƣ̣c hành để vâ ̣n du ̣ng tri thƣ́c (kiế n thƣ́c, phƣơng
pháp) của tam thức bậc hai vào việc giải các bài toán khác nhau , nhằ m đa ̣t đƣơ ̣c mô ̣t
số yêu cầ u của viê ̣c da ̣y ho ̣c chủ đề ƣ́ng du ̣ng của tam thƣ́c bâ ̣c hai
1.2.4. Sƣ ̣ hin

suố t chƣơng trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuê ̣. Cụ thể là rèn luyện và phát triển:
+ Tƣ duy logic và ngôn ngƣ̃ chin
́ h xác , trong đó có tƣ duy thuâ ̣t toán ;
+ Khả năng suy đoán, tƣ duy trƣ̀u tƣơ ̣ng và trí tƣởng tƣơ ̣ng không gian;
+ Nhƣ̃ng thao tác tƣ duy nhƣ phân tić h, tổ ng hơ ̣p, khái quát hóa…;
+ Các phẩm chất trí tuệ nhƣ tƣ duy độc lập, tƣ duy linh hoa ̣t và sáng ta ̣o.
- Coi tro ̣ng viê ̣c rèn luyê ̣n khả năng tin
́ h toán trong tấ t cả các giờ ho ̣c , nói chung
11


là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắ

n bó với viê ̣c rèn luyê ̣n các ki ̃

năng thƣ̣c hành (tính toán, đo đa ̣c, vẽ hình…).
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ : tính kiên trì , cẩ n
thâ ̣n, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh những sai lầm có thể gặp.
1.2.7. Mô ̣t số ki ̃ năng cầ n thiế t khi giải toán
Hê ̣ thố ng ki ̃ năng giải toán của ho ̣c sinh có thể chia làm ba cấ p đô ̣

: Biế t làm ,

thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể .
a) Nhóm ki ̃ năng chung
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán : Phân tích bài toán , làm rõ các dữ kiện đặt
ra. Nế u bài toán có tiń h chấ t là mô ̣t vấ n đề thì cầ n tim
̀ khâu nào còn chƣa biế t mô ̣t quy
tắ c tổ ng quát hoă ̣c mô ̣t phƣơng pháp có yế u tố thuâ ̣t toán để giải bài toán , xác định đó

̣ để nắ m vƣ̃ng và vâ ̣n du ̣ng kiế n thƣ́c ( mô ̣t thành phầ n của tƣ duy toán ho ̣c ),
kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngƣợc chiều song song với nhau giúp cho việc hình
thành các liên tƣởng ngƣợc diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận ;
+ Kĩ năng tính toán : Đây là điề u rấ t cầ n thiế t trong thƣ̣c tiễn

, kinh doanh , kĩ

thuâ ̣t. Đòi hỏi tiń h đúng, tính nhanh, tính hợp lí. Đƣợc rèn luyê ̣n qua các bài luyê ̣n tâ ̣p ,
thông qua tính nhẩ m bàn tính , bảng số, máy tính. Rèn luyện kĩ năng ƣớc lƣợng khi sử
dụng máy tính điện tử bỏ túi, bƣớc đầ u kiể m tra kế t quả sau khi bấ m máy ;
+ Kĩ năng trình bày lời giải kho a ho ̣c, sƣ̉ du ̣ng biể u đồ , sơ đồ , đồ thi ̣, đo ̣c và vẽ
đồ thi ̣cho chính xác, rõ ràng;
+ Kĩ năng ƣớc lƣợng , đo đa ̣c có ý nghiã giáo du ̣c và ý nghiã thƣ̣c tiễn

, cầ n rèn

luyê ̣n cho ho ̣c sinh thói quen ƣớc lƣơ ̣ng khi sƣ̉ du ̣ng du ̣ng cụ đo trong thực tiễn;
+ Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn

: Học sinh đƣợc rèn luyện kĩ

năng này thông qua các bài toán có nô ̣i dung thƣ̣c tiễn hoă ̣c các bài toán có nô ̣i dung
không phải dƣới da ̣ng thuầ n túy toán h ọc mà dƣới dạng một vấn đề thực tế cần giải
quyế t .
c) Nhóm kĩ năng về tư duy
+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán : Sắ p xế p kiế n thƣ́c theo
trình tự giải, nhớ la ̣i và huy đô ̣ng kiế n thƣ́c và kinh nghiê ̣m hƣ̃ u ić h để giải toán . Phân
loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phƣơng pháp giải . Tâ ̣p hơ ̣p các dƣ̃ kiê ̣n, xác định
ẩn, biể u thi ̣qua các mố i liên hê .̣ Xác định rõ giả thiết, kế t luâ ̣n, phản ánh rõ các kí hiệu
trong bài toán. Biế t sƣ̉ du ̣ng các phƣơng pháp suy luâ ̣n và các thao tác tƣ duy khái quát

1.3. Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai
1.3.1. Định nghĩa
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng f  x   ax 2  bx  c  a  0 . 1
Nghiệm của tam thức bậc hai cũng là nghiệm của phƣơng trình bậc hai

ax 2  bx  c  0  a  0 
Biệt thức   b2  4ac (hoặc  '  b'2  ac ).
Nếu   0   '  0  phƣơng trình bậc hai vô nghiệm.
Nếu   0   '  0  phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép

x1 = x 2 = -

b æ b' ö
ç= - ÷
2a è
aø

Nếu   0   '  0  phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x1,2 =

-b ± D æç -b'± D ' ö÷
=
÷.
2a çè
a
ø

1.3.2. Định lý Vi-et và các ứng dụng
a) Định lý Vi-et


Dấu của f(x)

0

af  x   0, x  R

0

af ( x)  0, x  

b
;f
2a

 b 
   0
 2a 

af  x   0, x   x1 ; x2 

  0 phƣơng trình f(x) = 0 có hai

af  x   0, x   ; x1    x2 ;  

nghiệm x1  x2

1.3.4. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
+ Định lý: Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  và một số thực  .
Nếu af     0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 (x1  x 2 ) và x1    x 2 .


nghiệm nằm trong khoảng (; ) nghiệm kia nằm ngoài đoạn  ;  là f    f   0.

15


1.3.5. Đồ thị hàm số bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0 

0

0

0

y

y

O

x

y

O

b
2a

x

1
2
2
af     0
16

x

y

b

2a

Phƣơng trình có nghiệm

Phƣơng trình vô

x2

a0

a0

a0

x1

O


x x  
1
2
2
af     0

3)

f     0

  x  x  S
1
2
 
2

4)

f     0

x  x    S
1
2
 
2

1.3.7. So sánh hai số α, β với hai nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai

f  x   ax 2  bx  c  a  0 
1)


  0

af     0
  x  x    af     0
1
2

  S  

2

5)

  0

S
 x  x   
1
2
2
af     0

6)

  0

S
x  x   
1

- Nhận xét, đánh giá của HS về sự cần thiết rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức
bậc hai trong giải toán;
- Các biện pháp và mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong
giải toán ở bản thân;
- Những khó khăn mà các em thƣờng mắc phải trong quá trình rèn luyện kĩ
năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán;
- Đánh giá của HS về mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong
giải toán ở trƣờng học.

18