HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

MÔN TOÁN - KHỐI 11

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

Thời gian: 180 phút

ĐỀ ĐỀ XUẤT

(Đề này có 05 câu; gồm 01 trang)

u1  2

Câu 1( 4 điểm ). Dãy số (un) xác định như sau: 
2

un 1  un  un  1,  n  ¥ *.
Chứng minh rằng

1

1
22

2015


 .
a  b b  c 2c  5a 39

Câu 4 (4 điểm). Một hàng cây vải gồm 99 cây thẳng hàng được đánh số cây theo thứ tự từ 1
đến 99. Ban đầu mỗi cây có một con ong đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có
hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược
nhau. Hỏi sau một số giờ, có hay không trường hợp mà
a) Không có con ong ở cây có thứ tự chẵn.
b) Có 50 con ong ở cây cuối cùng.
Câu 5 (4 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x 2  y 2   z 2  1  y 2 z 2  2016

.................HẾT.................
Họ và tên thí sinh ……………………….. SBD………………………


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
Câu

Nội dung chính cần đạt

Ý

Điểm

Ta có:

1,0
un+1 – un = un2 – 2un + 1 = (un – 1)2.



,
un un  1 un 1  1

(3)

Bây giờ từ (3), ta có:

0,5

n 
1
1
1 
1



 1
.




u
u

1
u


1
un 1  1

1

 un 1  1  22

1
22

n

n

(5)

(ở đây n = 2016).
Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n. Khi đó nó sẽ đúng với n =2016.

0,5

Do un nguyên dương với mọi n, (5) tương đương
n1

22  1  un 1  1  22 .
n

(6)

Với n = 1, n = 2 ta có:

k 1

k

k 1

k 1

 1  1)  22 .22

k 1

 22

k

Như thế với n = k + 1, ta thu được:

2 2  uk  2  1  2 2
k

k 1

k 1

 2 2  1  uk  2  1  2 2 .
k

(8)


C

N

2
Q

Gọi R là bán kính đường tròn (ABC). Vì D, E, F lần lượt là tiếp điểm

1,0

của đường tròn nội tiếp (C1) với các cạnh ABC nên AD, BE, CF đồng
quy.
Suy ra
Ta có

Khi đó :

(QFBA) = -1  NF 2  NB.NA  NO2  R2 .
(PEAC) = -1  ME 2  MA.MC  MO2  R 2 .

1,0


PO /( M )  MO2  ME 2  R 2 , PO /( N )  NO2  NF 2  R2  PO /( M )  PO /( N )

(2)
Từ (1) và (2) suy ra OI là trục đẳng phương của (M) và (N)

1,0


1

1,0

(Vì nếu b £ c thì
b2 + c 2 - 6bc = c(c - 4b) + b(b - c ) - bc < 0

Nếu b>c thì làm tương tự).
Do đó f(c) là hàm nghịch biến, suy ra
Câu
a
b
4
+
+
= g(a ).
a + b b + 4 5a + 8
b
20
g '(a ) =
(a + b)2 (5a + 8)2
b
20
b
1
6ab - a 2 - b2
³
=
=


1,0


Ta gán cho con ong đang ở cây nào thì có một thẻ ghi số thứ tự của cây
đó.

0,5

Gọi S(n) là tổng các số ghi trên thẻ của tất cả các con ong trong giờ thứ
n. Vì mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh nhưng
Câu
4

theo hai chiều ngược nhau nên S(n) không hề thay đổi.

0,5

Vậy S(n) = S(1) = 1 + 2 + 3 + …+ 99 = 50.99.

1,0

a) Vì có lẻ 99 con ong nên nếu không con ong nào ở cây có thứ tự chẵn

1,0

thì S(n) là tổng của 99 số lẻ,
tức là S(n) là số lẻ, mâu thuẫn. Vậy trường hợp này không xảy ra.
b) Nếu có 50 on ong ở cây cuối cùng thì S(n) > 99. 50, mâu thuẫn.
Vậy trường hợp này cũng không xảy ra.