đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
y=x
3
-(m+1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+

) .
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phơng trình sau :
x
2
- 2mx + 2
mx

+5 < 0. Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phơng trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:

ax
x
a
LogLogLogLogLog
xaaax
.4
2

2
).
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
2y

x
2
; y

-2x
2
+ 3x .
Chứng minh rằng : x
2
+ y
2


2.
Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:.......

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm.
Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x
0
;y
0
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m.

3
0
0
2
0
0
00
2
0
3
00
2
0
2
0
0
22
0
3
0
y
x
yxxx
xx
x
myxxxmxxmx
mmmxmmxmx

0.5đ


x





<


02
2
0)2(
S
g
0.5đ

23
05
062
2




<
+

m
m
mm





>

0
0
2
'
t
(t
2
là nghiệm lớn) 0.5đ

0.5d 5
0.5d
041
04
2
2






+
>


1
2
=+
x
xx
x
a
a
aaa
a
log
log
logloglog
log
22
2.
2
=+

0.5đ
Đặt : t =
x
a
log
, b=
2
log
a
.Ta đợc phơng trình:
)2(022

<-1 < b nên bị loại.

200)2(141
2
++
bbbbbbt

Vậy
20 b
2220
2
log

a
a
Vì a>0 nên a

2

0.5đ
-Nếu t< b thì (2)
02
2
=
tt
Vì t
)1(0

x
nên t=2

0.5d )(
2
0.5d )(
2
1
0.5d )0BPAP (vi )(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )(
2
1
PSPRPQtovecbaPS
k
PR
k
PQ
PSPR
k
PSBPPRAP
k
BSARk
BDAC
BPAPBDAC
BPBDAPAC

1đ
Mặt khác :theo giả thiết BDC =90
0

BDDC

(2)
Từ (1)và (2)

DADCABDDC )(
CDA =90
0
0.5đ
Hoàn toàn tơng tự :
ADB =90
0
0.5đ
Từ đó ta có :
AB
2
+ BC
2
+ CA
2
=2(AD
2
+BD
2
+CD
2

)
1đ
Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA.
0.5đ
Bài 5.(2điểm)
Từ giả thiết suy ra :

xxy
x
32
2
2
2
+
(1)
0.5đ
(Các điểm thoả mãn (1)là phần hình
phẳng
đợc tô đậm ở hình bên).
Hoành độ giao điểm của hai
Parabol:
0
4
3

5
6
y
1
=

+
với
5
6
0

x
0.5đ
Ta xét hàm số :
f(x)=4x
4
12x
3
+10x
2
trên






5
6
;0
f(x)=16x
3
-36x
2
+20x