Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y =
1 x
2 2mx
2
+
++
x
với m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó
đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 là nh nhau.
Bài 2:
1) Giải phơng trình x
2
+
5
4 4x -
4
2
2
=
+
x
x
2) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của:
F = (x + y 2)
2
+ (x + ay 3)

x
)
a) Tính thể tích hình chóp theo b và x
b) Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
Bài 5: Cho Elip (E) có phơng trình:
1
4
y

9
22
=+
x
và M(1, 1)
Lập phơng trình đờng thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao
cho MA = MB.
Bài 6: Tính : I =
( )

+
+
1
0
6
4
1 x
1 dxx
hớng dẫn và biểu điểm chấm
Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT
Môn : Toán

cho y = 0

1 -
( )

1
1
2
+
x
= 0

(x+ 1)
2
= 1




=+
=+
1- 1 x
1 1 x






=


1 x
2 2x x
lim lim
2
x
x
y=
+
++
=



1 x
2 2x x
lim lim
2
x
x
y

* (D1): x = -1 là tiệm cận đứng vì
1
lim

x

x -

-2 -1 0 +

(C)
y + 0 - - 0 +
y -2 +

+

-

-

2

1.3- Đồ thị:
Gọi (C): y =
1 x
2 2x
2
+
++
x

(C)

oy = (0; 2)
(C)


2
2
1 x
2 - 2m 2x x

1 x
2 2mx x - 1 2m 2
+
++
=
+
++++
xx
Hàm số có cực đại, cực tiểu

y =
( )
2
2
1
2 - 2m 2x
+
++
x
x
có 2 nghiệm phân
biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm

m <
2

+ 2m . Khoảng cách từ A
1
và A
2
tới đờng thẳng
x + y + 2 = 0 sẽ bằng nhau.

2 2m 3x 2 2m 3x 2 y x 2 y
212211
++=++++=++
x

3(x
1
+ x
2
) = - (4m + 4)

3(-2) = - (4m + 4)

m =
2
1
(thoả mãn (*))
Vậy m =
2
1
0,75
0,5
0,25

2
+
5
2) -(x
4
2
2
=
x
x
2
+ 2x
2 -
2
x
x
+
5
2 -x
4x
-
2 -
2
2
2
=





2
2
=








xx
x

Đặt t =
2 -
2
x
x
, phơng trình trở thành:
t
2
4t 5 = 0



=
=
5 t
1- t

2
* Nhận xét: (x+ y 2)
2
0 ; (x + ay 3)
2
0 F 0
Xét hệ:



=+
=+
03
02
ayx
yx




=+
=+
03
2
ayx
yx
(I)

TH1: Hệ (I) có nghiệm D =
a1

2
+ 2t
2
1
+
2
1
)
4
1
+

= 2(t +
2
1
)
2
+
2
1

2
1
,

t.

Min F =
2
1

〉+
+
−
−
x
x
xx
(1)
* §iÒu kiÖn x > 0
NhËn xÐt: 2
x
+ 3
.
2
-x
> 1 v×



〈 −
〉
)..(2
3
loaix
x

(1) ⇔ 2log
x
x – log
2




+=
+=
)2..(2
)1...(2
CBA
cba

Theo ®Þnh lý Sin, ta cã:
2R
===
SinC
c
SinB
b
SinA
a
Thay vµo (1) : 2SinA = SinB + SinC ⇔ 2SinA =
2
C - B
Cos
2
C
2
⋅
+
B
Sin


→

∆
ABC ®Òu

a) Gäi O lµ t©m cña h×nh thoi ABCD
XÐt 2
∆
SAC vµ
∆
ADC
Cã AC chung, SA = SC = DA = DC = b
→
∆
SAC =
∆
ADC
→
SO = OD = OB
→
∆
ABC vu«ng t¹i S
Ta ®îc : BD =
b x SD
2222
+=+
SB
∆
ODC vu«ng t¹i O