Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
Chương IV: GIỚI HẠN
Tiết 49-50-51:
§ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1.Kiến thức:
- Nắm được đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô
cực. Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt.
- Nắm được đònh lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thường gặp.
- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp.
- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bò của Gv:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bò một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trò của | u
n
| như trong SGK.
2.Chuẩn bò của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề, xen kẻ
hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1. Ổn đònh lớp.
Ổn đònh lớp và kiểm tra só số vắng, vệ sinh của lớp.

u =
n
n
, tức là dãy số
1 1 1 1 1
1, , , , ,..., ,...
2 3 4 5 n
Khoảng cách
n
-0 = u
1
u =
n
n
từ điểm u
n
đến
Trang 1
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
hiện)
HS: Thực hiện theo nhóm
GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra nhận xét
rằng khoảng cách từ u
n
đến số 0 nhỏ bao nhiêu tùy
ý, miễn là chọn số n đủ lớn
+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn 0.
điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn
là n đủ lớn.
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ

Đònh nghóa 2 (SGK)
Ví dụ : Cho dãy số (v
n
) với v
n
=
3n+1
n
, CMR:
n
n +
lim v
→ ∞
= 3
Giải
n
n +
lim (v 3)
→ ∞
−
=
n +
3n+1
lim ( 3)
n
→ ∞
−
=
n +
1

a).
n +
1
lim
n
→ ∞
= 0 ;
n +
1
lim
k
n
→ ∞
= 0 (k ∈ N
*
);
b).
n
n +
lim q
→ ∞
= 0 nếu q<1
Trang 2
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ
c). Nếu u
n
= c (hằng số) thì
n
n +

2+
n
1
-3
n
=
2
3
−
Ví dụ 2: Tìm lim
2
5n-2
3+4n
Giải
Ta có lim
2
5n-2
3n+4n
= lim
2
2
n(5- )
n
3
n ( +4)
n
= lim
2
n(5- )
n

CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là
CSN lùi vô hạn
2. Công thức tính tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn

1
u
S= ( q <1)
1-q
3. Ví dụ
a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn
(u
n
) với u
n
=
1
5
n
b) Tính S= 1+
2 3 4 n
1 1 1 1 1
... ...
2 2 2 2 2
+ + + + + +
Giải
Trang 3
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
HS: Làm việc theo nhóm
a)Ta có u

2
=
−
HĐ6
GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ đó dẫn
tới đònh nghóa
GV: Cho dãy u
n
= n
3
, hãy biểu diễn dãy lên trục
số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các số u
n
?.Từ
đó tổng quát hóa thành các giới hạn ở phần 2.
HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu hs nhớ
GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung ( hoặc chia tử
và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu, tích, thương
của các giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly 1.
HS: Làm sau đó lên bảng giải

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Đònh nghóa
(SGK)
Nhận xét: lim u
n
= +∞ ⇔ lim(- u
n

(1- ).5
n
= 0
b) Tìm lim (2n
2
+3n – 4)
Giải
Ta có lim (2 +3n – 4n
2
) = lim
2
2
2 3
n ( + - 4)
n n
Trang 4
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
= limn
2
. lim
2
2 3
( + - 4)
n n
= - ∞
V.CŨNG CỐ
- Đònh nghóa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực. Ghi
nhớ các giới hạn đặc biệt.
- Đònh lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Bài 1 :
Học sinh hiểu được ứng dụng thực tế của khái niệm
giới hạn trong một môn học khác
Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn của dãy
số .
Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi” .
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập này .
Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ thể hơn đối
với câu c ) chọn n
0
là một số cụ thể .
Bài 1 :
a)
1 2 3
1 1 1
; ;
2 4 8
u u u= = =
;…
bằng quy nạp ta chứng minh được
1
2
n
n
u =
b)
1
lim lim 0
2

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở
đi . Như vậy
n
u
nhỏ hơn
9
1
10
kể từ chu kì n
0

nào đó . Nghóa là sau một số năm ứng với chu
kỳ này , khối lượng chất phóng xạ không còn
độc hại đối với con người .
* Hoạt động 2 :
GV: Học sinh nhắc lại đònh nghóa giới hạn ?
GV: Một học sinh lên bảng trình bày . Em khác
nhận xét .Giáo viên sữa nhận xét cho điểm
Bài 2 :
Vì
3
1
lim 0
n
=
nên
3
1
n
có thể nhỏ hơn một số

Học sinh có thể thay đổi chỗ ngồi , giáo viên quy
đònh thời gian cho các em làm bài . Tổ nào mặt
bằng khá hơn giáo viên giao cho câu c và câu d .
Bài 3 :
a)
1
6
6 1 6
lim lim 3
2
3 2 2
3
n
n
n
n
−
−
= = =
+
+
.
Trang 6
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN
Sau khi học sinh làm xong giáo viên hoàn chỉnh lại
bài cho các em , cho điểm các tổ . Đây là các dạng
bài tập cơ bản .
Giáo viên có thể tổng quát cho các em
.
lim ( 0, 0)

2
n n
n n
n
n
+ −
+ −
= =
+ +
+
c)
3
3
5
5
3 5.4
4
4
lim lim lim 5
2
4 2
1
1
1
4
2
n
n
n n
n

− +
− +
= =
−
−
* Hoạt động 4
GV: Học sinh nhắc lại công thức tính tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn .
( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn 1 )
GV: Một học sinh lên làm câu a . Các em còn lại
theo dõi và nhận xét bài của bạn .
( Dự đoán công thức của u
n
và chứng minh bằng
phương pháp quy nạp ).
Giáo viên sữa bài và gọi một em khác lên làm câu
b , giáo viên nhận xét rồi cho điểm .
Bài 4 :
a)
1 2 3
2 3
1 1 1 1
; ; ;
4 4 4 4
n
n
u u u u= = = =
.
b) theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn ta có :

1 11
1
10
u
S
q
−
= = = −
−
 
− −
 ÷
 
* Hoạt động 6 :
GV: Sữa bài này.
Bài 6 :
2
2 2 2
1,020202... 1 ... ...
100 100 100
n
a = = + + + + +
2
2 101
100
1 1
1
99 99
1
100

;
c)
1
2
−
;
d)
+∞
;
* Hoạt động 8 :
GV: Gợi ý cho các em
Gọi hai học sinh lên bảng làm bài các em ở dưới
làm bài và nhận xet kết quả của bạn .
Bài 8 :
a)
( )
lim 3 1
3 1
lim
1 lim 1
n
n
n n
u
u
u u
−
−
=
+ +

+
= =
−
−
V. CỦNG CỐ :
 Kó năng khi làm một bài toán tìm giới hạn của một dãy số
 Kó năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số
 Nắm bắt một số công thức cơ bản
Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố :
Câu 1 : Cho dãy số
3 3
1
n
a n n= + − . Kết quả đúng là :
A.
lim 0
n
a =
B.
1
lim
3
n
a =

C .
1
lim
2
n

bằng
A. 0 B. 1 C.
1
2
D. 2
Câu 4 : Trong các dãy số sau đây , dãy số nào có giới hạn ?
A.
sin
n
u n=
B.
os
n
u c n=
C.
( )
1
n
n
u = −
D.
1
2
n
n
u =
VI. Dặn dò :
Về soạn bài giới hạn của hàm số .
Trang 8
Tổ Toán – Trường THPT Châu Thành ĐS & GT 11-CƠ BẢN

f x
x
−
=
−
.
1. Cho biến x những giá trò khác 1 lập thành dãy số
( )
, 1
n n
x x →
như trong bảng
sau :
x
2
1
x =
3
2
2
x =
4
3
3
x =
5
4
4
x =
...

f x
( )
f x
n
...
?
→
Khi đó ,các giá trò tương ứng của hàm số
( ) ( ) ( )
1 2
, ,..., ,...
n
f x f x f x
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là
( )
( )
.
n
f x
a) Chứng minh rằng
( )
2 2
2 .
n n
n
f x x
n
+
= =
b) Tìm giới hạn của dãy số

= −
.
HS: nêu cách chứng minh bằng đònh nghóa .
GV: các em nhận xét
0 0
lim ?; lim ?
x x x x
x c
→ →
= =
HS:
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c
→ →
= =
Gv: yêu cầu học sinh giải thích .
Ví dụ :
Cho hàm số
( )
2
4
2
x
f x
x
−
=

Ta có :
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
4
lim lim lim
2 2
n n
n
n n
x x
x
f x
x x
+ −
−
= =
+ +
( )
lim 2 4
n
x= − = −
NHẬN XÉT :
0 0
0
lim ; lim
x x x x
x x c c